類比推理法在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

劉懿輝

(延安大學(xué)西安創(chuàng)新學(xué)院 計算機學(xué)院，陜西 西安 710100)

0 引言

高等數(shù)學(xué)是大學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)課程，屬于工科類專業(yè)的必修課程，作為大學(xué)生學(xué)習(xí)其他專業(yè)知識的重要工具，教師在講解其相關(guān)概念、理論、定理等過程使用類比推理方法(下文簡稱“類推法”)，能夠啟發(fā)學(xué)生思維，對其創(chuàng)新能力的提升具有重要意義.

1 類比推理法概念和模式

1.1 概念

類推法主要是找出兩個對象存在的相似、相同等屬性，進而展開類比，推斷出在其他屬性方面也存在類似之處的系列推理過程.這種方法對個別現(xiàn)象展開觀察，與歸納推理方法相似.但同時此方法屬于由特殊向特殊方向的推理，因此，與歸納推理由特殊向一般的過程不同.類推法分為完全類推和不完全類推兩種形式.其中，完全類推指的是對兩種事物展開相同對比，不完全類推是對兩種事物展開不完全相同的比較.在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，使用此方法能夠使學(xué)生更好地發(fā)現(xiàn)、解決問題，通過向?qū)W生傳授學(xué)習(xí)方法，逐漸培養(yǎng)學(xué)生思維，提高其解題能力.

1.2 模式

2 在大學(xué)數(shù)學(xué)中應(yīng)用類比推理法的意義

高等數(shù)學(xué)具備嚴謹?shù)睦碚撓到y(tǒng)，教材中主要以概念講解、性質(zhì)介紹、公式呈現(xiàn)和定理證明等內(nèi)容為主.教學(xué)環(huán)節(jié)，教師需要重點通過推理方式為學(xué)生傳授知識，進而培養(yǎng)大學(xué)生的邏輯思維.使用類推法可從數(shù)學(xué)歷史發(fā)展的角度，對各種數(shù)學(xué)問題展開觀察和類比，通過總結(jié)，找出問題解決途徑.因此，應(yīng)用類推法進行教學(xué)(以下把這種方法稱為類推教學(xué)法)能夠結(jié)合實際學(xué)情，從學(xué)生興趣入手，重點培養(yǎng)大學(xué)生的學(xué)習(xí)、鉆研和創(chuàng)新等能力，此方法的應(yīng)用具有如下三點意義：首先，講授高等數(shù)學(xué)知識時，使用類推教學(xué)法，能夠結(jié)合實際問題，創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)大學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，并提出新的可能性或者問題，利用自身已掌握的知識，以全新的視角發(fā)現(xiàn)事物獨有的同類特點，在復(fù)習(xí)以往知識的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)新的知識；其次，使用類推教學(xué)法，能夠引導(dǎo)學(xué)生對問題的本質(zhì)展開探究，從多個維度對問題展開分析.高等數(shù)學(xué)當中涉及多個概念、多種公式，利用此方法學(xué)生可更好地學(xué)習(xí)抽象概念，展開創(chuàng)新，對完善大學(xué)生的數(shù)學(xué)思維有重要作用；最后，使用類推教學(xué)法，可清晰地向?qū)W生呈現(xiàn)出數(shù)學(xué)知識之間的邏輯關(guān)系以及形成過程，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系知識本質(zhì)，展開創(chuàng)新，學(xué)習(xí)更多解決問題的方法.

3 大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中類比推理法的應(yīng)用

3.1 概念類比

3.1.1 積分概念

在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，概念主要指的是研究對象本質(zhì)的抽象表達，即通過概念講解將對象本質(zhì)揭示出來.類推法作為啟發(fā)性的教學(xué)方法，能夠更好地揭示積分相關(guān)概念.高等數(shù)學(xué)中積分概念共分為7個種類，分別為定積分、二重積分、三重積分、第一類曲線積分、第二類曲線積分、第一類曲面積分、第二類曲面積分，每一個積分概念對應(yīng)一類概念，并且相互之間存在緊密聯(lián)系.上述積分概念組成大致相同，在講解以上概念的過程中常利用幾何知識，結(jié)合物理意義進行講解.首先引入例題，分析問題、研究解題思路，利用分割思想、近似求和，最終取極限值進行定義，從而揭示積分概念內(nèi)涵.因此，可利用定積分的概念，展開類比，講解其他種類的積分概念，啟發(fā)學(xué)生自主總結(jié)其他積分概念.學(xué)生通過已知的概念，可掌握積分相關(guān)概念本質(zhì)，進而更好地學(xué)習(xí)其他概念.

此外，高等數(shù)學(xué)的常微分方程中，方程通解存在相似性質(zhì).例如根據(jù)一階線性非齊次方程通解等于其對應(yīng)的齊次微分方程通解和該非齊次微分方程特解之和，使用類推法展開推理，可獲得如下結(jié)論，即二階線性的非齊次方程，其通解等于對應(yīng)齊次微分方程通解和該非齊次微分方程特解之和.

3.1.2 指數(shù)函數(shù)

3.2 定理類比

3.2.1 微積分定理

3.2.2 廣義積分

3.3 空間平面類比

數(shù)學(xué)家Geore Polya曾經(jīng)說過，“類比在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程是個領(lǐng)路人，能夠根據(jù)平面幾何知識解決立體幾何相關(guān)問題”，即通過相似的條件推導(dǎo)出類似結(jié)論，這一觀點在平面和空間二者的類比中應(yīng)用明顯.

3.4 無限的類比

部分數(shù)學(xué)問題難以通過有限次運算進行精確求解，此時需要找出無限變化趨勢，通過規(guī)律將問題求解出來，高等數(shù)學(xué)中微積分就是利用此思想建立的.大學(xué)生已經(jīng)掌握部分初等數(shù)學(xué)的求解方式，可以解決部分有限問題，對于分析、求解無限問題時，即可使用類推思維.在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，從有限向無限過渡，單純使用類比推導(dǎo)方法可能獲取的結(jié)果并不精準，對此可結(jié)合實際情況對結(jié)果展開適當?shù)男拚M而獲得正確的結(jié)論.

4 結(jié)語

總之，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，通過類推法能夠指導(dǎo)學(xué)生不斷深入地思考、系統(tǒng)地歸納數(shù)學(xué)知識，同時將不同層次知識串聯(lián)起來，強化記憶效果.通過數(shù)學(xué)教學(xué)過程概念和定理的類推，啟迪學(xué)生觸類旁通，舉一反三，提高了學(xué)生的思維能力，教學(xué)成效明顯.