感受數(shù)學(xué)之美 體驗(yàn)分類思想

粘藝思

數(shù)學(xué)之美之所以在生活中隨處可見，正是因?yàn)樗切实谋磉_(dá)，是效用的體現(xiàn)。正如我們生活中隨處可見的等腰三角形模型：衣架，斜拉索橋，交通標(biāo)志，金字塔的側(cè)面等。等腰三角形中蘊(yùn)含了數(shù)學(xué)中的對稱之美及分類討論的數(shù)學(xué)思想方法。筆者現(xiàn)就一堂等腰三角形的分類討論習(xí)題課與大家共同探討。

1.教學(xué)目標(biāo)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011）》明確提出，通過學(xué)習(xí)等腰三角形的有關(guān)知識，學(xué)生需要了解等腰三角形的概念，探索并證明等腰三角形的性質(zhì)定理，探索并掌握等腰三角形的判定定理。本節(jié)課是在學(xué)習(xí)了等腰三角形的有關(guān)性質(zhì)定理之后，圍繞等腰三角形的分類討論開展的內(nèi)拓展，讓學(xué)生通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，感受到等腰三角形的對稱之美，體驗(yàn)分類討論的數(shù)學(xué)思想方法。

2.教學(xué)過程設(shè)計(jì)

2.1環(huán)節(jié)1：問題思考引出分類

師：等腰三角形是否是軸對稱圖形？若是，請你畫出它的對稱軸，并告訴老師它有幾條對稱軸？

生1：等腰三角形是軸對稱圖形，它有一條對稱軸。

生2：當(dāng)它是等邊三角形時(shí)，有三條對稱軸。

師：等腰三角形中蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)中的對稱美，其實(shí)以上兩個(gè)同學(xué)的答案就是已經(jīng)對等腰三角形進(jìn)行了分類。

在環(huán)節(jié)二的基礎(chǔ)上，將等腰三角形的分類討論代入到稍微復(fù)雜的圖形分析問題中，問題3利用等邊對等角，當(dāng)△PBC是等腰三角形時(shí)若PC=PB；若PC=BC；若PB=BC。再利用三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可求出∠APC。

問題4將等腰三角形的分類討論與動點(diǎn)問題相結(jié)合，考察學(xué)生動手作圖與圖形分析的能力。當(dāng)△PBC是以PB為腰的等腰三角形時(shí)，由于固定一腰，情況將分為：若PB=BC；PB=PC；若PC=BC再將分類討論結(jié)合動點(diǎn)運(yùn)動長度AP= 2t，BP=6-2t，求出t。

學(xué)生疑惑：問題4的分類中，比較好入手的是PB=BC和PB=PC，對于如何利用PC=BC這個(gè)條件求出PB的長度，學(xué)生往往忽略將CD⊥AB與PC=BC結(jié)合起來利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)求出PB的長度。

教師感悟：問題3考察學(xué)生的基礎(chǔ)幾何分析能力，學(xué)生完成情況較好；問題4在問題3的基礎(chǔ)上，將動點(diǎn)結(jié)合分類討論，學(xué)生遇到動點(diǎn)問題就會產(chǎn)生畏懼感，教師要引導(dǎo)學(xué)生在解決動點(diǎn)問題過程中，要化動為靜，畫出動態(tài)情況下對應(yīng)的靜態(tài)模型，標(biāo)出對應(yīng)線段長度，再進(jìn)行圖形分析，涉及線段的長度，往往需要結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理等與求線段長度有關(guān)的定理進(jìn)行處理。

2.4環(huán)節(jié)4：拓展創(chuàng)新綜合分析

本題的難點(diǎn)在于動點(diǎn)P不是單純地在一條線段上運(yùn)動，而是在折線運(yùn)動，此時(shí)作圖分類尤其關(guān)鍵，按照點(diǎn)P的運(yùn)動路徑，若△BCP為等腰三角形，可以分為以下幾類：

（1）點(diǎn)P在線段AC上，此時(shí)由于∠C=90o，故只有BC= PC一種情況如圖（1），此時(shí)P走過的路程為線段PC的長度，PC=BC=3，進(jìn)而可以求出t。

（2）點(diǎn)P在線段AB上，此時(shí)有可能出現(xiàn)三種情況①PB=BC；②PB=PC；③BC=PC如圖（2）。此時(shí)三種情況下求t，只需求出P走過的路程（AP+AC）再除以速度。

學(xué)生疑惑：復(fù)雜的分類討論應(yīng)該如何入手才能做到不重不漏？分類討論后，針對圖（2）②與圖（2）③的情況，沒有尋求到如何將PB=PC和BC=PC轉(zhuǎn)化成求解AP的思路。

教師感悟：分類討論的不重不漏主要要和學(xué)生強(qiáng)調(diào)分類的依據(jù)。本題中的分類依據(jù)有兩個(gè)，一個(gè)是點(diǎn)P所在的線段，一個(gè)是構(gòu)成△BCP的等腰三角形哪兩條邊為腰。分類討論可在確定一個(gè)大分類下再進(jìn)行子分類，比如本題中可先確定大分類為兩類：點(diǎn)P在線段AC上；點(diǎn)P在線段AB上。再分別在這兩個(gè)大分類的前提下進(jìn)行等腰三角形腰的分類討論即可做到不重不漏。

圖（2）②的情況主要是由PB=PC這個(gè)已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，得到∠PBC=∠PCB，進(jìn)而由等角的余角相等得出∠PCA=∠A，從而得到AP=PC=BP。但在教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)有學(xué)生通過過點(diǎn)P分別作BC和AC的垂線段構(gòu)造矩形從而證明全等而證得，對于正確的證法也應(yīng)該給予肯定。

圖（2）③中，將圖形繞點(diǎn)C將線段AB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至水平線即可轉(zhuǎn)化成問題4的情況，此時(shí)便可以發(fā)現(xiàn)需要過點(diǎn)C作AB邊上的高CH，通過等面積法求出CH的長度，就與問題4相同，最后就可以通過勾股定理和等腰三角形的三線合一求出BH，進(jìn)而求出AP的長度。在教學(xué)過程中，教師要教學(xué)生懂得將未知的問題化歸成已知的幾何模型去解決，提高學(xué)生的幾何分析能力。

2.5環(huán)節(jié)5：總結(jié)課堂思維提升

遇到等腰三角形的幾何問題，可如下思考

3.課堂反思教學(xué)提升

等腰三角形的學(xué)習(xí)和應(yīng)用是中考的重難點(diǎn)，本節(jié)課主要圍繞等腰三角形的分類討論展開。在整體教學(xué)中，教師應(yīng)該著重培養(yǎng)學(xué)生的三觀。（1）基礎(chǔ)觀：幾何問題的分析是一個(gè)層層遞進(jìn)的過程，這要求學(xué)生有扎實(shí)的基礎(chǔ)幾何功底，對于本節(jié)課而言，教學(xué)中常用到的知識，等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理……都要求教師在教學(xué)中教會學(xué)生在做題的過程中懂得聯(lián)想知識，應(yīng)用相應(yīng)知識解決問題。（2）文理觀：隨著中考閱讀量的增加，題目的冗長對學(xué)生解題提升了一定的難度，遇到如問題5中復(fù)雜的幾何問題，教學(xué)中應(yīng)注重文字語言到數(shù)學(xué)語言的分析與轉(zhuǎn)化，必要時(shí)，可將文字所提示的情況轉(zhuǎn)化成幾何圖形，方便分類討論進(jìn)行分析，這要求學(xué)生有基礎(chǔ)的文字轉(zhuǎn)化能力與作圖技巧。（3）數(shù)理觀：數(shù)學(xué)的思維在本節(jié)課的分析中必不可少，題目萬變，蘊(yùn)含的思想不變。這要求教師在教學(xué)過程中不僅要教學(xué)生怎么做，更要教學(xué)生為什么這樣做。因此。數(shù)學(xué)思想的滲透尤其關(guān)鍵。例如本堂課由等腰三角形的對稱之美引入遇到等腰三角形腰不確定，分類討論，分類討論的一般思路是要確定分類標(biāo)準(zhǔn)，不重不漏，教學(xué)生如何做到不重不漏。分類后幾何問題的分析解決需要運(yùn)用到化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，如何聯(lián)想與運(yùn)用幾何知識，都是教師在教學(xué)中應(yīng)該給予學(xué)生的指導(dǎo)。

（晉江市華僑中學(xué)，福建泉州362200）