從“教教材”到“教好教材”①
——以人教版“角的比較和運算”為例

談 發(fā) 聶淑媛

(1. 洛陽市第五十五中學(xué) 471009；2. 洛陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 471934)

1 前言

自《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年級)》頒布后，基于新課標(biāo)編寫、修訂的各版本教材如雨后春筍.在遵循核心規(guī)則的前提下，各版本特色鮮明，許多教師在準(zhǔn)備具體授課內(nèi)容時，通常會收集幾種不同版本的教學(xué)材料，相互對比加以印證融合，進(jìn)而做出教學(xué)設(shè)計.教育主管部門也比較推崇教師結(jié)合本校的具體情況，做好校本研究.教育資源的極大豐富，既給教學(xué)提供了便利條件，也對教師提出了更高要求[1].作為教學(xué)一線的普通教師，和制訂課標(biāo)、編寫教材的大師相比，對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識、對課標(biāo)的領(lǐng)悟還有些許欠缺，教師們基于不同版本教材博采眾長尚存一定的難度.因此，在“用教材教而非教教材”的共識下，教師的一般做法是，完成課本基本內(nèi)容后，匯總不同練習(xí)題作為提高和補(bǔ)充，看似蜜蜂采蜜，實則貪多嚼不爛，易導(dǎo)致課堂主次不分或頭重腳輕.筆者認(rèn)為，一線教師要對教材有足夠的敬畏之心，備課的首要前提是備好教材，僅僅熟知教材內(nèi)容是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，教師需要潛心研讀教材，準(zhǔn)確理解其編寫意圖，深度體會教材蘊(yùn)藏的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)呈現(xiàn)模式，及其滲透的數(shù)學(xué)文化傳承思想[2]，在融會貫通的基礎(chǔ)上，逐漸達(dá)成從“教教材”到“教好教材”的目標(biāo).

從教初中數(shù)學(xué)25年來，筆者始終堅持以課程標(biāo)準(zhǔn)為本，以教材為中心，從三個層面反復(fù)仔細(xì)研讀教材和教師教學(xué)用書：首先，通讀從小學(xué)到高中的數(shù)學(xué)教材，建構(gòu)整個中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的大教育觀；其次，重點研讀初中數(shù)學(xué)教材，更清晰地認(rèn)知所教學(xué)段數(shù)學(xué)知識的實質(zhì)；第三，對授課章節(jié)進(jìn)行逐段逐句地研讀剖析，深刻理解教學(xué)內(nèi)容，領(lǐng)悟?qū)＜业木帉懤砟?，合理汲取專家的教學(xué)意見和建議，進(jìn)而選取適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法和教學(xué)策略[3].現(xiàn)以人教版“角的比較和運算”為例，呈現(xiàn)筆者對教材的認(rèn)知以及相應(yīng)的教學(xué)設(shè)計思路，供同行商榷.

2 對教材的研讀與解析

“角的比較和運算”是七年級上冊第四章第三單元第二節(jié)的內(nèi)容，第四章“圖形認(rèn)識初步”是初中數(shù)學(xué)幾何部分的起始章，是系統(tǒng)學(xué)習(xí)平面幾何知識的開端，第三單元“角”位于“多姿多彩的圖形”和“直線、射線、線段”之后，學(xué)生對基本幾何圖形的學(xué)習(xí)方法以及圖形性質(zhì)的研究方式有了初步體驗，“角的比較與運算”是本單元的第二節(jié)，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了“角”，系統(tǒng)掌握了角的相關(guān)概念.以此為起點和背景，首先對本節(jié)的教材內(nèi)容進(jìn)行解讀分析.

(1)簡潔引言中蘊(yùn)含著豐富的教學(xué)信息

根據(jù)圖1中標(biāo)注[1]的內(nèi)容，首先能夠讀出下述信息：從教學(xué)內(nèi)容上來講，角的比較方法有度量法、疊合法兩種方法；從教學(xué)策略上看，可以采取與線段進(jìn)行類比的教學(xué)手段.同時，標(biāo)注[2]清晰地定義了如何利用疊合法比較角的大小，為教師演示、講授疊合法提供了具體操作方法，因此，教材既詳述了教學(xué)目標(biāo)與教學(xué)內(nèi)容，也明確了教學(xué)策略與教學(xué)方法[4]，可謂語言簡練、內(nèi)容飽滿、信息豐富.

圖1

(2)留白“思考”引發(fā)的數(shù)學(xué)思想方法——數(shù)形結(jié)合

教材的思考欄，如圖2所示，不僅從形上直觀說明了兩角和與差的意義，而且利用數(shù)學(xué)符號簡捷表示，在圖形和等式之間建立了一種對應(yīng)關(guān)系.通過簡單的幾何計數(shù)，讓學(xué)生明確認(rèn)識到：兩個角的和與差仍然是一個角.借助圖形分析數(shù)量關(guān)系，把概念的幾何意義與角度的數(shù)量表示緊密相連，使之易于推證：兩角和與差的度數(shù)即為其度數(shù)的和與差，達(dá)成數(shù)、形的有機(jī)結(jié)合.

圖2

(3)貌似平淡的探究應(yīng)帶來無限創(chuàng)意

對于圖3的探究部分，如果僅僅認(rèn)為是用三角尺拼出了一些特殊角，則對課本內(nèi)容的理解過于機(jī)械膚淺，把圖2和圖3中包含的“圖4.3-7”與“圖4.3-8”相互對比，教師至少應(yīng)該拓展到以下研究視角：①強(qiáng)化兩角和與差的概念；②兩個特殊角的和與差；③選取兩角的多種組合模式；④對角的大小的幾何直觀認(rèn)識；⑤對于兩角的選取，以及其它類似問題，都可以從特殊情形自然過渡到一般情形.

圖3

(4)類比下的概念教學(xué)——全方位的詮釋

圖4

(5)思維縝密、前后照應(yīng)的例題和習(xí)題

根據(jù)圖5中教材例1的安排，至少可以解讀出三層意思：①對兩角和與差的拓展，其中，角可以選取特殊的平角；②度分秒的計算；③為下一節(jié)的兩角互補(bǔ)提供鋪墊.例2是一道經(jīng)典老題，包含了度分秒的除法計算，結(jié)合前面所講角度的和差倍計算，至此出現(xiàn)了角的所有運算種類.計算過程中，需要對度的余數(shù)繼續(xù)進(jìn)行除法運算，且完美運用了度分秒計算的退位法則，有別于加減法的進(jìn)位和借位，使得度分秒的計算法則完整、全面.

圖5

教材課堂練習(xí)與習(xí)題的選取，也體現(xiàn)了編寫專家的良苦用心與精益求精，比如練習(xí)3，既是例1的有機(jī)結(jié)合，為后續(xù)的互補(bǔ)互余做好鋪墊，又是本節(jié)教學(xué)內(nèi)容的高度融合.平角狀態(tài)下的角平分線，既是角平分線性質(zhì)運用的一個補(bǔ)充，又為直角的出現(xiàn)提供了自然途徑.本題中兩角之和為直角與例1中兩角之和為平角，都可視為下節(jié)課余角和補(bǔ)角的儲備知識.

3 研透教材后的教學(xué)設(shè)計

根據(jù)上述對教材內(nèi)容的研讀分析，結(jié)合教師教學(xué)用書細(xì)致琢磨研討，反復(fù)深度加工教學(xué)內(nèi)容、深入挖掘數(shù)學(xué)思想、精雕細(xì)琢教學(xué)方法[5]，設(shè)計了如下教學(xué)過程：

教學(xué)環(huán)節(jié)1：角的大小比較

教學(xué)活動：教師展示自制教具——利用紙板做成的兩個角的模型，引導(dǎo)學(xué)生觀察，直觀感知其大小，并大致估計兩個角的度數(shù).師生共同把兩個角畫在黑板上，借助量角器度量出它們的度數(shù)，如圖6所示.

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生從“數(shù)”和“形”的不同視角感知角的大小，不僅巧妙滲透了數(shù)形結(jié)合的思想方法，而且由教學(xué)實踐逐漸螺旋上升到理論認(rèn)知：從數(shù)量上看，度數(shù)越大則角越大；從形上看，開口越大則角越大.

注：兩個角的度數(shù)分別是∠1=48°30′、∠2=27°48′，對其度數(shù)的設(shè)定看似無心、實則有意[6]，為后續(xù)角的和差計算中的進(jìn)位和借位埋下伏筆.

圖6

教學(xué)活動：對于比較角的大小的第二種方法——疊合法，類比于線段長短的比較，教師首先借助實物教具演示操作，然后在黑板上示范幾何作圖，結(jié)果如圖7.

圖7

設(shè)計意圖：由舊知到新知的類比遷移，是學(xué)生最易于接受和掌握的學(xué)習(xí)形式之一.從直觀到抽象的不同操作方法，不僅強(qiáng)化了對于疊合法的實質(zhì)性理解，亦為后續(xù)學(xué)習(xí)兩角的和與差做好鋪墊.

教學(xué)環(huán)節(jié)2：角的加減運算

問題1：觀察圖7中有幾個角，并判斷它們之間的關(guān)系.

設(shè)計意圖：引申教材內(nèi)容，在“形”上強(qiáng)化兩角的和與差，引導(dǎo)學(xué)生理解兩角的和與差仍然是一個角.

問題2：圖7中∠AOC=48°30′，∠AOB=27°48′，求∠BOC的度數(shù).

設(shè)計意圖：再次強(qiáng)調(diào)數(shù)形結(jié)合，引出兩角差的概念及計算，同時分散度、分、秒的計算難度.

問題3：把問題2進(jìn)一步改編為“已知：∠AOC=48°30′，∠AOB=27°48′，求∠BOC的度數(shù).”

設(shè)計意圖：通過題目條件的自然銜接、變動，巧妙過渡到分類討論，一方面訓(xùn)練了學(xué)生的發(fā)散思維，同時引入兩角和的新知識點，在圖7的基礎(chǔ)上增加了第二種情況，如圖8所示.師生共同解決問題，借助演算展示、書寫糾錯、過程剖析等，如圖9，實現(xiàn)兩角的和與差、度分秒的計算、進(jìn)位和借位、數(shù)與形四個方面的有機(jī)結(jié)合，全面提升學(xué)生觀察類比、數(shù)學(xué)運算和邏輯推理的綜合能力.

圖8

問題4：用給定的∠1和∠2還可以拼出來多少度數(shù)的角？

設(shè)計意圖：可以拼出2∠1、3∠2或2∠1-∠2等這兩個角的任意代數(shù)和，學(xué)生的思路徹底被打開，在其求知欲望高漲、情緒亢奮之時，強(qiáng)化角的和差倍的作圖與計算.同時，教師適時地拔高引申：如果作某個角一邊的反向延長線，即得該角的補(bǔ)角，對應(yīng)圖5中所顯示的例1，亦是下節(jié)課互補(bǔ)互余的前奏.

問題5：借助你常用的三角套尺，可以如何畫出15°、75°的角？還能畫出哪些度數(shù)的角？

設(shè)計意圖：把學(xué)生的思維從幾何抽象拉回到現(xiàn)實情境，從一般到特殊，化理論上角的和差倍計算為三角尺的拼接操作，既鞏固了角的和差概念，又培養(yǎng)了學(xué)生的動手能力，有助于其直觀感知角的大小，提升其估計角的大小的實踐能力，高效達(dá)成數(shù)學(xué)抽象、直觀想象的學(xué)科核心素養(yǎng)[7].

教學(xué)環(huán)節(jié)3：角的平分線

教學(xué)活動：把事先準(zhǔn)備好的兩個角進(jìn)行對折，使得角的兩邊重合，由折線引入角平分線的概念.

設(shè)計意圖：借助實物教具引出角平分線的定義，這種具體操作可加深學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的形象化理解，也是對教材中探究活動的有效利用，使得定義角的平分線、畫角的平分線兩個過程合二為一[8]，教學(xué)活動更順暢，有事半功倍之效.

教學(xué)活動：已知兩個角可以求出角的和差倍，怎樣求已知角的一半的度數(shù)？引出例1: 計算27°48′÷2.

設(shè)計意圖：基于“由形到數(shù)”的思想設(shè)計新例題，不僅繼續(xù)讓學(xué)生直接感知角的大小，形成了關(guān)于角的和差倍分的完整類型，而且對角的“分”專門做計算練習(xí)，通過不同解法，如圖10，強(qiáng)調(diào)剖析計算的易錯點，分散化解運算難點，切實提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力和數(shù)據(jù)分析能力.

教學(xué)活動：類比角的平分線，如何定義角的三等分線、四等分線，甚至更高數(shù)量的其它等分線？把一個周角分別進(jìn)行二等分、三等分、四等分、五等分、六等分，每一份應(yīng)該是多少度？

設(shè)計意圖：培養(yǎng)學(xué)生的類比模仿能力，把被等分的角從一般角具體到特殊的周角，因為周角在以后的學(xué)習(xí)生活中更常見，對周角的等分有更強(qiáng)的實用性，很自然地過渡到下述例2.

教學(xué)活動：例2：把一個周角7等分，每一份是多少度的角(精確到分)？

設(shè)計意圖：對于角度運算的這道經(jīng)典題目，為凸顯除法運算的退位問題，結(jié)合具體除的過程(可參見圖5中的例2)，輔以豎式運算，如圖11所示，可引導(dǎo)學(xué)生清晰理解度的余數(shù)需要繼續(xù)再除的情況，退位過程更加直觀.

圖11

教學(xué)環(huán)節(jié)4：綜合提高

教學(xué)活動：例3：已知：如圖12，∠1=48°，OD是∠AOC的平分線，求∠BOD的度數(shù).

圖12

設(shè)計意圖：為綜合運用本節(jié)課所有內(nèi)容，自行設(shè)計補(bǔ)充例題，不同的解題思路既可以提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力，同時，七年級的學(xué)生初學(xué)幾何，對邏輯推理以及相關(guān)的幾何書寫還較為生疏，類似的綜合訓(xùn)練可有效培養(yǎng)學(xué)生的幾何素養(yǎng).

教學(xué)環(huán)節(jié)5：小結(jié)與練習(xí)

教學(xué)活動：師生共述，本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些知識？采取了什么樣的學(xué)習(xí)方法？還有哪些體會？并布置課堂練習(xí)和課后作業(yè).

設(shè)計目的：強(qiáng)化學(xué)生的歸納和總結(jié)能力，檢查了解學(xué)生的吸收情況，動態(tài)評價課堂效果.

教育界一直提倡“教學(xué)有法、教無定法”，根據(jù)不同的教學(xué)內(nèi)容，選取適合本校師生的相應(yīng)具體方法，竊以為教材是教學(xué)內(nèi)容的“本”；同樣，教學(xué)專家提出的“用教材教，而不是教教材”，竊以為很多教師尚未完全走出“教教材”的層面，與課標(biāo)修訂、教材編寫專家的期望和設(shè)想還有很大差距，從“教教材”到“用教材教”的首要前提是“教好教材”，其間的路還很漫長.