數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與“數(shù)與代數(shù)”教學(xué)①

王曉峰 周海東

(1．江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)教師發(fā)展中心 215021；2．江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)星洋學(xué)校 215021)

代數(shù)是研究數(shù)、數(shù)量、關(guān)系、結(jié)構(gòu)與代數(shù)方程(組)的通用解法及其性質(zhì)的數(shù)學(xué)分支，是一門(mén)具有豐富內(nèi)容并且與現(xiàn)實(shí)世界、與學(xué)生的生活、與其他學(xué)科聯(lián)系十分密切的學(xué)科．它為數(shù)學(xué)本身和其他學(xué)科的研究提供了語(yǔ)言、方法和手段．“數(shù)與代數(shù)”是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》(以下簡(jiǎn)稱(chēng)《標(biāo)準(zhǔn)》)主要的課程內(nèi)容，包括數(shù)的概念、數(shù)的運(yùn)算，數(shù)量的估計(jì)；字母表示數(shù)，代數(shù)式及其運(yùn)算；方程、方程組、不等式、函數(shù)等．?dāng)?shù)與式、方程與不等式和函數(shù)，都是研究現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系和運(yùn)動(dòng)、變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，可以幫助人們從數(shù)量關(guān)系的角度來(lái)認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)世界，是未來(lái)公民必備的重要基礎(chǔ)知識(shí)．

數(shù)學(xué)源于對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的抽象，通過(guò)抽象得到了數(shù)學(xué)的研究對(duì)象，基于抽象結(jié)構(gòu)，通過(guò)符號(hào)運(yùn)算、形式推理、模型構(gòu)建等數(shù)學(xué)方法，理解和表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界中事物的本質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律．義務(wù)教育階段，隨著學(xué)段的增加，數(shù)與代數(shù)的內(nèi)容逐漸在擴(kuò)充，思維形式也從具象逐漸過(guò)渡到抽象，且抽象的程度越來(lái)越高，解決的問(wèn)題也越來(lái)越復(fù)雜，這就造成部分學(xué)生對(duì)數(shù)與代數(shù)的學(xué)習(xí)產(chǎn)生了困難．

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是學(xué)生通過(guò)動(dòng)手動(dòng)腦，以“做”為支架的數(shù)學(xué)教與學(xué)的活動(dòng)方式，是在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生運(yùn)用有關(guān)工具，通過(guò)實(shí)際操作，在認(rèn)知與非認(rèn)知因素參與下進(jìn)行的一種發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論、理解數(shù)學(xué)知識(shí)、驗(yàn)證數(shù)學(xué)結(jié)論的數(shù)學(xué)活動(dòng)．?dāng)?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)具有直觀性，能將抽象的代數(shù)知識(shí)的形成過(guò)程可視化，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)的感性認(rèn)識(shí)；數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)具有操作性，強(qiáng)調(diào)動(dòng)手操作和動(dòng)腦思考相結(jié)合，能將離身思辨變?yōu)榫呱眢w驗(yàn)；數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)具有過(guò)程性，能讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)與代數(shù)的抽象、運(yùn)算、推理與建模等過(guò)程．因此，通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)可以讓學(xué)生在活動(dòng)中建構(gòu)知識(shí)體系、掌握數(shù)學(xué)方法、形成代數(shù)思維．

1 通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)理解概念本質(zhì)

概念是反映事物本質(zhì)屬性的思維形式，正確的概念是科學(xué)抽象的結(jié)果．?dāng)?shù)與代數(shù)中的概念一般來(lái)源于現(xiàn)實(shí)的生活實(shí)踐，是從現(xiàn)實(shí)中抽象概括出來(lái)的．教師在進(jìn)行概念教學(xué)時(shí)，應(yīng)根據(jù)學(xué)生已有的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，從現(xiàn)實(shí)中尋找實(shí)物模型或通過(guò)實(shí)驗(yàn)幫助學(xué)生對(duì)概念形成感性認(rèn)識(shí)，讓學(xué)生在經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、推理、歸納的過(guò)程中抽象出概念，揭示概念的本質(zhì)，從而正確、清晰地理解概念．

例如，函數(shù)概念的理解．函數(shù)是“數(shù)與代數(shù)”的重要內(nèi)容，是由常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)的體現(xiàn)，是數(shù)學(xué)思維上的一次飛躍，也是義務(wù)教育階段學(xué)生比較難理解和掌握的數(shù)學(xué)概念之一．為此，借助數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)“函數(shù)發(fā)生器”，可以幫助學(xué)生建立函數(shù)概念．“函數(shù)發(fā)生器”是指具有這樣功能的盒子(數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)工具)：從盒子上方開(kāi)口插入一張卡片，這張卡片可以自然地從下方的一個(gè)出口滑出，但卡片的正反面正好調(diào)換．這樣，我們可以在一組卡片正面寫(xiě)上一個(gè)數(shù)(如1，3，5，7，…)，反面相應(yīng)寫(xiě)上另一個(gè)數(shù)(如2，4，6，8，…)，教師可以演示函數(shù)發(fā)生的過(guò)程：輸入一個(gè)x(如“1”)，輸出一個(gè)唯一的y(如“2”)．這樣，利用“函數(shù)發(fā)生器”，既可以幫助學(xué)生直觀地了解函數(shù)概念的本質(zhì)特性——聯(lián)系和變化，又可以促進(jìn)對(duì)函數(shù)概念的文本理解．

再如，無(wú)理數(shù)概念的理解．無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn)源于古希臘畢達(dá)哥拉斯(Pyethagoras，公元前582-497)學(xué)派，因其隱含 “無(wú)限”和“不循環(huán)”，一直被人們看成“霧中花”，說(shuō)不清、道不明．直到19世紀(jì)，才由戴德金、柯西、維爾斯塔拉斯等數(shù)學(xué)家構(gòu)造嚴(yán)密的實(shí)數(shù)理論，消除了人們對(duì)無(wú)理數(shù)的神秘感．事實(shí)上，初中學(xué)生對(duì)無(wú)理數(shù)的感念理解存在同樣的障礙．張奠宙教授曾將無(wú)理數(shù)的概念納入超經(jīng)驗(yàn)數(shù)學(xué)(憑現(xiàn)實(shí)生活的情景無(wú)法達(dá)到的數(shù)學(xué))的范圍，認(rèn)為超經(jīng)驗(yàn)數(shù)學(xué)不合常理，所以學(xué)起來(lái)比較困難．為此，可以借助下面的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生親歷無(wú)理數(shù)的構(gòu)造過(guò)程，幫助學(xué)生感悟從有限小數(shù)到無(wú)限循環(huán)小數(shù)再到無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，在比較中理解無(wú)理數(shù)的本質(zhì)含義．

其次，通過(guò)寫(xiě)小數(shù)游戲(或者利用Excel軟件產(chǎn)生隨機(jī)小數(shù))讓學(xué)生體會(huì)到無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是真實(shí)存在的．全班每位同學(xué)準(zhǔn)備10張紙條，分別寫(xiě)上數(shù)字0、1、2、…、9后放入不透明的袋子中．每位同學(xué)在自己的袋子中隨機(jī)抽出一張紙條，依次報(bào)數(shù)后再放回，教師在3.0的后面按順序?qū)懮蠄?bào)出的數(shù)字．按照這樣的方式不斷地抽下去，再把報(bào)出的數(shù)字不停地記下去，就可以得到一個(gè)無(wú)限小數(shù)，并思考這個(gè)無(wú)限小數(shù)的小數(shù)點(diǎn)后的數(shù)字會(huì)循環(huán)出現(xiàn)嗎？為什么？

最后，嘗試構(gòu)造無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，進(jìn)一步體會(huì)到無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是客觀存在的．按照每?jī)蓚€(gè)1之間依次增加一個(gè)0構(gòu)造一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)1.010 010 001…，嘗試再寫(xiě)一個(gè)類(lèi)似的無(wú)限不循環(huán)小數(shù)．

經(jīng)歷這樣的實(shí)驗(yàn)過(guò)程之后，學(xué)生即能真實(shí)體會(huì)到“無(wú)理數(shù)就在自己身邊”、“無(wú)理數(shù)是大量存在的”，亦可以把握住無(wú)理數(shù)無(wú)限和不循環(huán)的特征．從而接受無(wú)理數(shù)的客觀存在，理解無(wú)理數(shù)的概念．

2 通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)發(fā)展運(yùn)算能力

運(yùn)算能力指的是根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力．運(yùn)算包含算理與算法．算理指的是運(yùn)算的理論依據(jù)，由數(shù)學(xué)概念、定律和性質(zhì)等構(gòu)成，是運(yùn)算過(guò)程中的思維方式，主要解決“為什么這樣算”的問(wèn)題．算法是依據(jù)算理提煉出來(lái)的運(yùn)算方法和規(guī)則，是人為規(guī)定的操作方法，主要解決“怎樣計(jì)算”的問(wèn)題．算理是算法的基礎(chǔ)，算法是算理的具體體現(xiàn)．算理為運(yùn)算提供了正確的思維方式，保證了運(yùn)算的合理性和可行性；算法為運(yùn)算提供了便捷的操作程序和方法，保證了運(yùn)算的正確性和快速性．算理與算法相輔相成，共同決定了運(yùn)算能力的形成與發(fā)展．為此，教學(xué)中可從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)基礎(chǔ)出發(fā)，通過(guò)動(dòng)手操作探索具體情境中蘊(yùn)藏的規(guī)律，充分展開(kāi)對(duì)算法的必要性與合理性、算理的客觀存在性的感悟與認(rèn)識(shí)，讓學(xué)生在探索的過(guò)程中真正理解算理、掌握算法，并在此基礎(chǔ)上通過(guò)訓(xùn)練形成運(yùn)算技能(包括估算)，發(fā)展運(yùn)算能力．

例如，分式的基本性質(zhì)的探索．教學(xué)中分式的基本性質(zhì)往往都是利用類(lèi)比的方法，猜想出分式具有與分?jǐn)?shù)類(lèi)似的基本性質(zhì)．類(lèi)比是合情推理，其結(jié)果是或然的，但證明卻往往又無(wú)從下手，教學(xué)會(huì)陷入困境．為此，可以借助“剪拼長(zhǎng)方形紙片”的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)解決這個(gè)問(wèn)題．

操作1：將兩個(gè)面積為S、寬為a的長(zhǎng)方形紙片按圖①方式拼接成一個(gè)大長(zhǎng)方形，大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為多少？若繼續(xù)拼接，你有何發(fā)現(xiàn)？請(qǐng)利用等式描述你的結(jié)論．

操作2：將一個(gè)面積為S、寬為a的長(zhǎng)方形紙片按圖②方式裁剪成兩個(gè)小長(zhǎng)方形，小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為多少？若繼續(xù)裁剪，你有何發(fā)現(xiàn)？請(qǐng)利用等式描述你的結(jié)論．

圖1

圖2

這樣，借助長(zhǎng)方形紙片先將抽象的分式轉(zhuǎn)化為直觀的幾何圖形，再根據(jù)剪拼前后圖形中隱含的數(shù)量之間的關(guān)系，通過(guò)演繹推理的方式證明了猜想，得到了分式的基本性質(zhì)．另外，利用類(lèi)似的實(shí)驗(yàn)還可以探索分式的加法運(yùn)算法則．

再如，有理數(shù)的加法法則的探索．?dāng)?shù)式運(yùn)算法則的掌握，不能依賴(lài)死記硬背，應(yīng)以理解為基礎(chǔ)，在應(yīng)用中不斷鞏固．教學(xué)中應(yīng)注重建立法則與學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)與知識(shí)基礎(chǔ)的聯(lián)系，組織學(xué)生開(kāi)展實(shí)驗(yàn)、操作、嘗試等活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)通過(guò)觀察、思考、分析，抽象概括出運(yùn)算法則．“有理數(shù)的加法法則”是初中引入“負(fù)數(shù)”概念后學(xué)生對(duì)小學(xué)已經(jīng)獲得的數(shù)的運(yùn)算法則基礎(chǔ)上的發(fā)展和深化．為此，利用正負(fù)數(shù)可以表示“意義相反的量”，通過(guò)設(shè)計(jì)“點(diǎn)在數(shù)軸上的移動(dòng)”實(shí)驗(yàn)活動(dòng)探索有理數(shù)的加法法則．

操作1：把筆尖放在數(shù)軸的原點(diǎn)，沿?cái)?shù)軸先向左移動(dòng)5個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右移動(dòng)3個(gè)單位長(zhǎng)度，這時(shí)筆尖停在“-2”的位置上．用數(shù)軸(圖3)和算式可以將以上過(guò)程及結(jié)果分別表示為：(-5)+(+3)=-2．

圖3

操作2：把筆尖放在數(shù)軸的原點(diǎn)，沿?cái)?shù)軸先向右移動(dòng)3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向左移動(dòng)2個(gè)單位長(zhǎng)度，這時(shí)筆尖停在“1”的位置上．用數(shù)軸(圖4)和算式可以將以上過(guò)程及結(jié)果分別表示為：(+3)+(-2)=+2．

圖4

操作3：把筆尖放在圖5中數(shù)軸的原點(diǎn)，沿?cái)?shù)軸先向左移動(dòng)3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向左移動(dòng)2個(gè)單位長(zhǎng)度，這時(shí)筆尖的位置表示什么數(shù)？請(qǐng)用數(shù)軸和算式分別表示以上過(guò)程及結(jié)果．

圖5

再做一些類(lèi)似的試驗(yàn)活動(dòng)，并寫(xiě)出相應(yīng)的算式．

這樣，借助人人都可以動(dòng)手操作的筆尖在數(shù)軸上兩次移動(dòng)的方法，可以讓學(xué)生直觀感受兩次連續(xù)運(yùn)動(dòng)中點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向與移動(dòng)的距離對(duì)實(shí)際移動(dòng)效果產(chǎn)生的影響，通過(guò)“形與數(shù)”的轉(zhuǎn)換，歸納出有理數(shù)加法運(yùn)算法則，學(xué)生對(duì)有理數(shù)加法運(yùn)算法則的理解會(huì)更加深刻．

3 通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)形成符號(hào)意識(shí)

符號(hào)意識(shí)是學(xué)習(xí)者在感知、認(rèn)識(shí)、運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)方面所作出的一種主動(dòng)性反應(yīng)，是一種積極的心理傾向．建立符號(hào)意識(shí)有助于學(xué)生理解符號(hào)的使用是數(shù)學(xué)表達(dá)和進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的重要形式．?dāng)?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)可以為學(xué)生提供豐富的情境，讓學(xué)生在實(shí)驗(yàn)的過(guò)程中抽象出數(shù)學(xué)符號(hào)，幫助學(xué)生獲得運(yùn)用符號(hào)表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律的體驗(yàn)，促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)使用符號(hào)進(jìn)行運(yùn)算和推理，提高運(yùn)用符號(hào)解決問(wèn)題的意識(shí)與能力，發(fā)展代數(shù)思維．例如，可以通過(guò)下面的拼圖實(shí)驗(yàn)，在問(wèn)題解決的過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)．

問(wèn)題1：如圖6是邊長(zhǎng)為8的正方形紙片，把它剪成4塊，按圖7重新拼合，這4塊紙片恰好能拼成一個(gè)長(zhǎng)為13、寬為5的長(zhǎng)方形嗎？

學(xué)生觀察圖6、圖7后，一般會(huì)直觀地判斷成“可以拼成”．通過(guò)分析與計(jì)算，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)圖6中正方形的面積為64，圖7中長(zhǎng)方形的面積為65，面積不相等，因此不能拼成．這樣，學(xué)生就產(chǎn)生了認(rèn)知沖突．為此，教師可將一張較大的正方形紙片，按圖6的方式分割，再按圖7的方式拼合，通過(guò)觀察，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)：圖中直角三角形的斜邊與直角梯形的腰不在同一條直線上，兩個(gè)直角三角形的兩條斜邊與兩個(gè)直角梯形的兩條腰組成了一個(gè)狹長(zhǎng)的平行四邊形縫隙，它的面積正好是1．由于視覺(jué)的關(guān)系，這四條線段似乎在同一條直線上，于是得到了“可以拼成”錯(cuò)誤結(jié)論．進(jìn)而，引導(dǎo)學(xué)生再做如下思考．

圖6

問(wèn)題2：將一個(gè)正方形紙片按上述方式進(jìn)行裁剪后，再重新拼合，能否拼成一個(gè)長(zhǎng)方形？若能，又該如何裁剪？

圖7

圖8

圖9

圖10

該實(shí)驗(yàn)中的問(wèn)題1體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的證偽與證實(shí)，問(wèn)題2是對(duì)問(wèn)題1的深入與延伸，兩者共同構(gòu)成了一個(gè)完整的正方形剪拼成等面積的長(zhǎng)方形的探究過(guò)程．學(xué)生通過(guò)觀察、猜想、操作、推理、驗(yàn)證，思維由形到數(shù)、再由數(shù)到字母，逐步獲得了升華．顯然，這樣的數(shù)學(xué)活動(dòng)有利于學(xué)生符號(hào)意識(shí)的形成與發(fā)展．

4 結(jié)束語(yǔ)

著名數(shù)學(xué)教育家弗賴(lài)登塔爾曾經(jīng)這樣描述數(shù)學(xué)的表達(dá)形式：“沒(méi)有一種數(shù)學(xué)的思想，以它被發(fā)現(xiàn)時(shí)的那個(gè)樣子公開(kāi)發(fā)表出來(lái)．一個(gè)問(wèn)題被解決后，相應(yīng)地發(fā)展為一種形式化技巧，結(jié)果把求解過(guò)程丟在一邊，使得火熱的發(fā)明變成冰冷的美麗．”事實(shí)上，數(shù)學(xué)課本由于表達(dá)的需要，往往以邏輯嚴(yán)密的學(xué)術(shù)形態(tài)出現(xiàn)，呈現(xiàn)出冰冷的美麗，讓學(xué)生望而生畏．教學(xué)的任務(wù)就是把它們重新顛倒過(guò)來(lái)，使它們借助自然形態(tài)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)轉(zhuǎn)化為學(xué)生容易接受的教育形態(tài)呈現(xiàn)出來(lái)．在“數(shù)與代數(shù)”的教學(xué)中，注重學(xué)生親歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、推理、交流、反思等活動(dòng)，感悟概念、法則、性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)、形成與應(yīng)用過(guò)程，形成主動(dòng)利用符號(hào)進(jìn)行表達(dá)、分析與解決問(wèn)題的意識(shí)，才能讓“冰冷的美麗”綻放為“火熱的思考”，而這種學(xué)習(xí)體驗(yàn)恰恰是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)可以提供的．