橢圓軌道繩系衛(wèi)星系統(tǒng)釋放的類反步法控制

仲小清，金雪松，王 敏，李曉磊，孫光輝

(1.中國空間技術(shù)研究院 通信衛(wèi)星事業(yè)部，北京 100094； 2.中國航天科技集團 宇航部，北京 100048；3.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，哈爾濱 150001)

繩系衛(wèi)星系統(tǒng)(tethered satellite system，TSS)是由太空系繩和通過太空系繩連接到一起的太空設(shè)備構(gòu)成，如衛(wèi)星、空間站或太空操縱手等[1].TSS適用于許多空間任務(wù)，如軌道轉(zhuǎn)移[2]、碎片清除[3]、深空探索[4]等.執(zhí)行任何一個TSS任務(wù)的首要條件就是能夠?qū)⑾道K連接的設(shè)備釋放到指定的位置，即，釋放是繩系衛(wèi)星系統(tǒng)的基本操作之一.但是，由于柔軟的系繩只能提供張力而不能提供支撐力，且被釋放子設(shè)備上的推進器功率較小，實現(xiàn)穩(wěn)定和快速釋放是相當(dāng)具有挑戰(zhàn)性的[5].因此，深入研究繩系衛(wèi)星系統(tǒng)的釋放過程是具有重要意義.

為了獲得更好的釋放性能，許多控制方法在繩系衛(wèi)星系統(tǒng)中得到了應(yīng)用，例如滑模控制[6]、魯棒控制[7]、反饋線性化等[8].反步法(backstepping)控制形成于上世紀(jì)90年代，是一種相對新型的控制方法[9].Backstepping控制方法的優(yōu)點是有較高的自適應(yīng)性和穩(wěn)定性，但缺點是其設(shè)計過程需要逐步迭代，只能應(yīng)用于嚴(yán)格反饋系統(tǒng)[10].這一缺點極大地限制了Backstepping方法的應(yīng)用范圍.因為繩系衛(wèi)星系統(tǒng)不是嚴(yán)格反饋系統(tǒng)，故Backstepping在TSS中的應(yīng)用較少.例如鐘睿等[11]研究了退步控制的張力控制方法，彭鵬[12]利用微分同胚變換將繩系衛(wèi)星系統(tǒng)動力學(xué)模型轉(zhuǎn)換為嚴(yán)格反饋系統(tǒng)，然后設(shè)計了Backstepping控制器.但是該文中采用了微分同胚變換使得控制器設(shè)計過程非常繁瑣且控制器變量含義不明確. 本文致力于在吸收Backstepping控制方法思想的基礎(chǔ)上，提出一種可以應(yīng)用于繩系衛(wèi)星系統(tǒng)釋放過程且設(shè)計簡單明確的控制方法.

另一個在繩系衛(wèi)星系統(tǒng)研究中存在的問題是大部分研究都假設(shè)TSS運行軌道為圓軌道[13-15].但是在實際系統(tǒng)中，絕大部分空間飛行器的飛行軌道都是橢圓軌道.在橢圓軌道上運行時，由于地球引力隨著TSS位置的變化會存在周期性攝動，而攝動的存在會導(dǎo)致基于圓軌道設(shè)計的控制器失效，無法在實際系統(tǒng)中應(yīng)用[16].因此本文主要著力于橢圓軌道上繩系衛(wèi)星系統(tǒng)釋放過程的建模和控制方法研究.

本文針對上述問題，提出了一種基于橢圓軌道非線性模型的類反步非線性控制方案.其中，利用Euler-Lagrange力學(xué)方程，建立了橢圓軌道TSS釋放的動力學(xué)模型；構(gòu)造了一種基于坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的量綱為1的變換用于簡化動力學(xué)方程；基于動力學(xué)模型設(shè)計了類反步非線性控制器并進行了仿真實驗.

1 TSS動力學(xué)建模

如圖1所示，本文考慮一類實際太空實驗中廣泛采用的雙星系統(tǒng)，且運行在橢圓軌道上；該系統(tǒng)一般由母衛(wèi)星、子衛(wèi)星和系繩組成[17].為了獲得子衛(wèi)星釋放過程的動力學(xué)模型，本文建立了兩個坐標(biāo)系O1xyz和O1x′y′z′，分別是軌道坐標(biāo)系和機體坐標(biāo)系.軌道坐標(biāo)系O1xyz原點為TSS的質(zhì)心，O1x軸指向TSS在軌道平面內(nèi)的前進方向，O1z軸指向地心向下，O1y軸的指向由右手定則確定.機體坐標(biāo)系O1x′y′z′的O1z′軸沿著系繩指向子衛(wèi)星，且可通過旋轉(zhuǎn)與坐標(biāo)系O1xyz重合，即O1x′可以通過O1x繞著O1y軸旋轉(zhuǎn)角θ得到，O1y′可以通過O1y繞著O1x軸旋轉(zhuǎn)角φ得到.

為便于分析系統(tǒng)模型及簡化控制器的設(shè)計步驟，文中做出如下合理假設(shè).

假設(shè)1在TSS子衛(wèi)星釋放過程中，系繩長度尺度遠(yuǎn)大于衛(wèi)星尺度，故在釋放過程中將兩個衛(wèi)星視為質(zhì)點.并把地球當(dāng)作一個完美的球體，從而地球質(zhì)心與它的幾何中心重合.

假設(shè)2母衛(wèi)星的質(zhì)量遠(yuǎn)大于子衛(wèi)星的質(zhì)量.此時，在子衛(wèi)星釋放過程中，母衛(wèi)星能夠保持名義軌道.

假設(shè)3 系繩是無彈性且無質(zhì)量的.

圖1 TSS幾何模型

考慮系繩是極其柔軟的，因此當(dāng)繩變形或彎曲時，母衛(wèi)星無法對子衛(wèi)星施加控制力.所以在子衛(wèi)星釋放過程中，系繩必須始終處于拉緊狀態(tài)，即系繩張力始終大于0.且在釋放過程中，系繩張力必須小于系繩最大可承受張力.根據(jù)這一特點，系繩在展開期間可視為剛性桿，稱為啞鈴模型[18].

在推導(dǎo)動力學(xué)模型之前，首先介紹一些必要的符號.O為地球地心，R為距離OO1.μe、f分別為地球重力場系數(shù)和真近點角.母衛(wèi)星質(zhì)量和子衛(wèi)星質(zhì)量分別為m1和m2，而系統(tǒng)總質(zhì)量為m=m1+m2.用于描述TSS系統(tǒng)狀態(tài)變量有3個，分別為l、θ和φ.其中，l為兩個衛(wèi)星之間系繩的長度，θ為面內(nèi)角，φ為面外角.基于上述假設(shè)及符號，可得到TSS系統(tǒng)在子衛(wèi)星釋放過程的動能和勢能如下[19]：

(1)

(2)

式中：kf=1+ecosf.其中，e為開普勒軌道的偏心率；τt為系繩的張力；τθ、τφ分別為控制面內(nèi)角和面外角力矩.根據(jù)分析可知，τt始終為正，τθ和τφ可正可負(fù).這3種廣義力矩的取值類型并不相同使得控制器的設(shè)計難度加大.此外，式(2)中存在質(zhì)量、長度以及弧度等多種量綱，不利于仿真驗證，因此有必要進行進一步化簡.

2 類反步非線性控制器設(shè)計

2.1 問題描述

為了解決如上所述問題并簡化仿真過程，設(shè)計量綱為1的變換如下[20]：

(3)

式中，ρ為一個正常數(shù).利用式(3)的變換，可以得到量綱為1的規(guī)范型Euler-Lagrange動力學(xué)模型為

其中各矩陣如式(4)所示，根據(jù)動力學(xué)方程，顯然下式成立：

至此，本文得到了橢圓軌道繩系衛(wèi)星系統(tǒng)釋放過程的動力學(xué)模型.該模型中參數(shù)均為量綱為1的參數(shù)，為后續(xù)仿真實驗開展奠定基礎(chǔ).

2.2 控制器設(shè)計

從本文關(guān)于橢圓軌道上繩系衛(wèi)星系統(tǒng)動力學(xué)方程的推導(dǎo)可以看出，該系統(tǒng)是非嚴(yán)格反饋系統(tǒng)，各個狀態(tài)之間存在著很強的耦合關(guān)系，傳統(tǒng)的Backsteping方法無法直接應(yīng)用[11].因此，需要提出一種新型的非線性控制方法，具體表述為定理1.

定理1設(shè)計子衛(wèi)星釋放類反步非線性控制器為

式中，矩陣E表示為式(5)，式中k1到k6均為正常數(shù).則在該控制器作用下，繩系衛(wèi)星系統(tǒng)的狀態(tài)參數(shù)λ、θ和φ是漸進穩(wěn)定的.

q=(λθφ)T,

(4)

(5)

式(5)中的各項誤差定義如下：

證明構(gòu)造系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)如下：

代入定理1中的控制輸入，可得:

式中，k1～k6均為正常數(shù)，故Lyapunov函數(shù)的導(dǎo)數(shù)始終小于等于0.即

因此，在類反步非線性控制器作用下，子衛(wèi)星釋放過程是漸進穩(wěn)定的.

3 仿真分析

為了分析類反步非線性控制方法的有效性，本文將基于橢圓軌道繩系衛(wèi)星系統(tǒng)的動力學(xué)實施兩種控制方法的仿真和對比.這兩種控制方法分別是類反步非線性控制和PID控制，為了便于表示，分別稱這兩種方法為BLN和PID.首先給出本次仿真中雙星TSS系統(tǒng)的相關(guān)參數(shù)，見表1.

表1 TSS系統(tǒng)參數(shù)

在仿真實驗中，本文選取BLN控制器的設(shè)計參數(shù)如下：

k1=0.1,k2=2,k3=1,k4=2,k5=2,k6=1.

選取PID控制器的設(shè)計參數(shù)如下：

kpλ=8,kdλ=15,kiλ=0.01,
kpθ=10,kdθ=15,kiθ=0.05,
kpφ=5,kdφ=1,kiφ=0.

由此，本文可以給出在兩種控制器作用下繩系衛(wèi)星系統(tǒng)的釋放曲線如圖2～圖3.圖2(a)顯示了量綱為1的系繩長度的變化，而圖2(b)展示了釋放過程面內(nèi)角的動態(tài)特性.面外角和系繩量綱為1的張力曲線如圖3(a)和圖3(b)所示.

圖2(a)所示為在兩種控制器作用下，繩系衛(wèi)星系統(tǒng)繩長曲線.總體上來看，兩種控制器都能穩(wěn)定地釋放子衛(wèi)星，使之達到期望值.但對比來看，PID雖然能夠到達期望值，但是無法穩(wěn)定在該數(shù)值，而是在該數(shù)值附近小幅度波動.相反，BLN可以穩(wěn)定在期望位置.產(chǎn)生該現(xiàn)象的原因是，與理論上的圓軌道相比，橢圓軌道存在時變的參數(shù)項，PID控制無法消除橢圓軌道時變參數(shù)對繩系衛(wèi)星系統(tǒng)產(chǎn)生的影響.而BLN在控制器設(shè)計過程中引入了名義模型，從而抑制了周期性攝動的影響.從時間上來看，在BLN控制和PID作用下，繩系衛(wèi)星系統(tǒng)的繩長度分別在0.8和1.6個軌道周期后穩(wěn)定在期望值.圖2(b)所示為在兩種控制器作用下，繩系衛(wèi)星系統(tǒng)面內(nèi)角的變化過程.總體上來看，兩種控制器都能穩(wěn)定地控制子衛(wèi)星的面內(nèi)角.但是無論是從精度還是速度的角度來看，BLN方法的控制效果均優(yōu)于PID控制.

圖2 量綱為1的系繩長度和量綱為1的面內(nèi)角變化曲線

Fig.2 Variation curves of dimensionless tether length and dimensionless in-plane angle

繩系衛(wèi)星系統(tǒng)面外角的動態(tài)過程如圖3(a)所示.通過觀察兩種控制下面外角的變化過程，本文可以得到相同的結(jié)論，即BLN和PID都能穩(wěn)定地控制面外角，但是前者的控制效果更好.如圖3(b)展示了兩種控制下系繩張力的變化.可以看出，兩種情況下，系繩的張力均在合理范圍之內(nèi).而BLN方法下系繩張力變化更加迅速，可以更快地響應(yīng)控制輸入.子衛(wèi)星到達指定位置后，兩種控制器輸出的系繩張力趨于一致.

圖3 量綱為1的面外角和系繩張力變化曲線

Fig.3 Variation curves of dimensionless out-of-plane angle and tether tension

從仿真結(jié)果和分析中可以看出，總體上BLN和PID方法都能夠穩(wěn)定地控制TSS系統(tǒng)釋放子衛(wèi)星的繩長、面內(nèi)角和面外角.進一步地，BLN方法控制子衛(wèi)星的釋放效果要明顯優(yōu)于PID方法.

4 結(jié) 論

1)為了解決橢圓軌道上繩系衛(wèi)星系統(tǒng)的子衛(wèi)星穩(wěn)定釋放的問題，本文首先建立了橢圓軌道上雙星繩系衛(wèi)星系統(tǒng)釋放的動力學(xué)模型，并設(shè)計了一種全新的量綱為1的變換對動力學(xué)模型進行了化簡，方便了后續(xù)控制器的設(shè)計和仿真.并且，實際系統(tǒng)中絕大部分衛(wèi)星軌道都是橢圓軌道，本文建立的橢圓軌道模型較理想的圓軌道模型具有更大的實用價值.

2)針對普通反步法無法應(yīng)用于非嚴(yán)格反饋系統(tǒng)的問題，本文提出了類反步非線性控制方法來控制TSS系統(tǒng)子衛(wèi)星的釋放.該方法利用橢圓軌道上繩系衛(wèi)星系統(tǒng)的動力學(xué)方程來設(shè)計控制器.一方面解決了在嚴(yán)格反饋系統(tǒng)上無法應(yīng)用Backstepping控制的問題，另一方面通過引入動力學(xué)模型到控制器中能夠改善其控制效果.

3)在橢圓軌道雙星繩系衛(wèi)星模型上對類反步非線性控制方法進行了仿真驗證，仿真結(jié)果表明類反步非線性控制可以穩(wěn)定高效地控制子衛(wèi)星釋放的過程.并且相對于PID控制，類反步非線性控制可以取得更優(yōu)異的控制效果.