無黏性土中鉆孔徑向卸荷收縮理論解

趙春風，費 逸，趙 程，吳 悅，王有寶

(1.同濟大學 地下建筑與工程系，上海 200092； 2.巖土及地下工程教育部重點實驗室(同濟大學)，上海 200092)

鉆孔灌注樁在豎向成孔過程中所形成的鉆孔孔壁自由面，會使孔周地層徑向應力得到釋放，往往導致鉆孔孔壁收縮和產(chǎn)生塌孔、斷樁等現(xiàn)象，影響樁身質量.考慮土體徑向應力的卸荷效應在鉆孔灌注樁樁基工程中不可忽視.徑向卸荷引起的柱孔收縮與不同深度的徑向土壓力有密切關系，很多學者對土壓力進行了研究.Tatiana等[1]綜合比較了柱孔孔周土壓力分布的理論公式及實驗進展.馬英明[2]總結了如下3個土壓力計算理論：平面擋土墻主動土壓力理論，如似液地壓公式，但該公式不能反映孔徑的影響；拱效應理論，如夾心墻土壓力公式，該理論表明水平土壓力隨深度呈指數(shù)函數(shù)變化，到一定深度趨于一定值；空間軸對稱極限平衡理論，該理論考慮了土體圓環(huán)效應，如Berezantsev土壓力公式.鄭榕明等[3]在Berezantsev土壓力公式的基礎上對Haar-Von Karman假定進行了修正，引入了變量的土壓力系數(shù)，最后求解出主動土壓力的通解.Cheng等[4-5]在計算擋土墻土壓力時考慮了墻土壁面摩擦、邊坡角度、超荷載和土體黏聚等因素，得到了主動土壓力特征方程的數(shù)值解.Liu等[6]假定側壓力系數(shù)為線性變化，采用切向應力系數(shù)的滑移線方法，得到了軸對稱條件下的單樁樁周主動土壓力表達式.Prater[7]采用軸對稱條件下的庫倫楔形理論，假定孔周土體呈圓錐形破壞面，求解了土體徑向和切向的土壓力值.趙春風等[8]采用彈性徐變理論來描述混凝土變形特性，得到鉆孔灌注樁深部樁周徑向土壓力隨時間變化的解析式.陳志堅等[9]通過樁身混凝土對樁周土擠密作用的模型試驗研究，給出了鉆孔灌注樁樁側壓力的分布和變化規(guī)律.另一方面，對于小孔擴張理論的研究雖已較多[10-11]，但對于鉆孔收縮的研究并不多見.Yu等[12-13]考慮土體的剪脹性，推導了柱(球)孔收縮的孔周應力位移場的大應變解，解釋了砂土中的旁壓卸載實驗.溫世游等[14]考慮了土體的應變軟化特性，推導出孔周存在彈性區(qū)、軟化區(qū)和塑性區(qū)的柱(球)孔收縮理論解.溫世游等[15]忽略了塑性區(qū)的彈性變形，得到了排水條件下球形空腔收縮問題的彈塑性解答.以上研究多集中于樁身土壓力的確定或某一斷面問題的解答，未對鉆孔過程中徑向應力松弛導致的孔壁收縮形成的沿深度方向塑性區(qū)范圍及孔壁位移變化情況進行研究.

Zhao等[16]采用彈脆塑性軟化模型對黏性土中鉆孔徑向卸荷沿深度方向變化的問題進行了理論推導，但該文只探討了黏性土體情況.文獻[17]考慮了土體靜止側壓力系數(shù)K0的影響，采用相關聯(lián)流動法則，對鉆孔收縮過程中孔周存在兩種應力狀態(tài)而產(chǎn)生兩個塑性區(qū)的情況進行了分析，但該工況局限于摩爾庫倫屈服準則中.

基于此，采用平面應變條件下的SMP屈服準則，考慮塑性變形的非相關聯(lián)流動法則，結合Berezantsev土壓力公式和夾心墻土壓力公式，推導了無黏性土鉆孔卸荷收縮過程中的孔周應力場位移場的解析解，得到了孔周塑性區(qū)半徑和孔壁位移沿鉆孔深度方向的理論表達式，分析了不同參數(shù)對其的影響，對比了忽略塑性區(qū)彈性變形的結果.所得結論有助于對實際工程中鉆孔灌注樁成孔卸荷的機理認識.

1 水平土壓力的確定

土壓力公式采用Berezantsev土壓力公式[18](別氏公式)以及夾心墻土壓力公式，在無黏性土中別氏公式為

(1)

對于不含水或者弱含水的無黏性土層，夾心墻土壓力公式為[2]

(2)

式中：λ為側壓力系數(shù),λ=tan2(45°-φ/2);φ為內摩擦角;γ為土體重度;ru為鉆孔的初始半徑.

2 問題描述及力學模型

無限半空間土體中軸對稱的柱孔收縮問題，可視為平面應變問題,計算模型見圖1.土體中初始水平地應力為p0，柱形孔初始半徑為a0.在鉆孔卸荷過程中隨著孔內壓力p的減小，鉆孔半徑由a0變?yōu)閍，孔周區(qū)域的土體先產(chǎn)生彈性變形，當p減小到臨界壓力時，土體進入塑性狀態(tài)，從原來的整體彈性狀態(tài)轉變?yōu)閺椝苄誀顟B(tài)，此時定義塑性區(qū)半徑為rp，彈性與塑性區(qū)交界面位移為urp，對應的徑向應力為臨塑壓力py.且規(guī)定應力、應變以壓為正.

圖1 柱孔收縮力學模型平面圖

平衡方程、幾何方程和物理方程分別為

(3)

(4)

(5)

平面應變條件下無黏性土的SMP準則[19]為

(6)

式中：σρ為土體徑向應力，σφ為土體環(huán)向應力；在縮孔問題中σρ為小主應力，σφ為大主應力，即Rps為大小主應力之比.φ為土體內摩察角，由三軸壓縮試驗測得.

應力邊界條件為

(7a)

(7b)

3 彈塑性解答

3.1 彈性區(qū)應力、位移場解答

結合式(3)～(5)及式(7b)，易求解出彈性區(qū)的應力位移場如下：

(8)

(9)

將式(8)代入SMP屈服準則式(6)，得彈塑性界面徑向應力為

(10)

3.2 塑性區(qū)應力、位移場解答

塑性區(qū)應力同時滿足應力平衡微分方程和SMP屈服準則，將式(6)代入式(3)得

σρ=Kρ(Rps-1),

(11)

式中K為積分常數(shù).

將應力邊界條件式(7a)和式(10)代入式(11)，可得積分常數(shù)為

(12)

則塑性區(qū)徑向、環(huán)向應力為

(13)

塑性區(qū)采用非相關聯(lián)流動法則

(14)

其中ψ為土體剪脹角.

則有

(15a)

(15b)

(15c)

聯(lián)立塑性區(qū)彈性物理方程得豎向應力為

(16)

將上式代入塑性區(qū)彈性物理方程，且結合應力分量公式(13)，可得

(17)

由式(15a)、(15b)，且根據(jù)初始屈服時各向塑性應變?yōu)?的條件可得

(18)

根據(jù)塑性區(qū)的應變關系式及上式(18)得

(19)

將幾何方程(4)以及式(17)代入上式得

(20)

其中

解之得

(21)

上式為塑性區(qū)位移公式，其中C為待解參數(shù).

在彈塑性界面ρ=rp處，由徑向位移相等的條件，結合式(9)可得

(22)

則塑性區(qū)位移為

(23)

對于柱孔收縮而言，孔壁位移滿足條件

u(a)=a-a0.

(24)

式中:a0和a分別為柱形孔壁的初始和當前半徑;u(a)為柱形孔壁位移，其在文中是相對位移，為鉆孔初始半徑和當前半徑的差值.結合式(12)、(23)和(24)可解得a.

3.3 忽略塑性區(qū)彈性變形的位移解答

文獻[15]提到,在柱孔收縮過程產(chǎn)生塑性區(qū)的回彈模量數(shù)量級通常在106～107，可忽略彈性變形的影響.為了對比本文的解答，當忽略塑性區(qū)中的彈性變形時，式(19)變?yōu)?/p>

ερ+βεφ=0.

(25)

將幾何方程式(4)代入上式，根據(jù)彈塑性交界處位移相等的條件，可得塑性區(qū)位移為

(26)

則孔壁的位移為

(27)

結合式(24)可解得a.

(28)

根據(jù)解出的a值，結合式(12)可得出塑性區(qū)半徑rp值.

4 分析與討論

4.1 卸荷因子的確定

當鉆孔內壓力p小于臨塑壓力py時，孔周才開始出現(xiàn)塑性區(qū)，即p≤py，結合式(10)得

p≤2p0/(1+Rps).

(29)

上式即鉆孔卸荷孔周產(chǎn)生塑性變形的條件.

令p=np0，則

(30)

式中n為正數(shù),定義為卸荷因子.結合屈服準則式(6)以及式(30)，可得內摩擦角φ與卸荷因子n的關系如圖2所示，可以看出，卸荷因子n是一個只與內摩擦角φ呈反比例關系的函數(shù)，且n隨φ的增大非線性減小.

圖2 內摩察角φ與卸荷因子n的關系

Fig.2 Relation between internal friction angleφand unloading factorn

4.2 rp與a的關系

聯(lián)立式(10)、(12)可得rp與a的關系式如下：

(31)

由式(31)可知，在無黏性土中鉆孔形成彈塑性變形時，塑性區(qū)半徑rp與孔壁縮孔后當前半徑a的比值是一個與內摩察角φ、卸荷因子n有關的定值，其與深度方向無關，可見在無黏性土中豎向成孔，自立深度為零，須采取護壁措施.三者的關系如圖3所示，在相同內摩擦角情況下，rp/a隨著卸荷因子n的增大而增大；相同卸荷因子情況下，rp/a值隨內摩擦角減小而增大.特別地，當n和φ很小時，rp/a值急劇變化.φ=10°情況下，rp/a值在n=0.1和0.3時分別為64.29和7.13；φ=15°時rp/a值則為10.1(n=0.1)和2.75(n=0.3).可見卸荷因子和內摩擦角對塑性區(qū)半徑有很大影響，φ、n值越小，其對rp/a值的影響越明顯.

圖3rp/a與內摩察角φ、卸荷因子n的關系

Fig.3 Relation between internal frictionφandrp/awith different values of unloading factorn

5 算例分析

5.1 與忽略塑性區(qū)彈性變形結果的對比

本節(jié)對比了忽略塑性區(qū)彈性變形的解答，孔壁位移和塑性區(qū)半徑沿深度方向的關系見圖4.采用上海某高架工程靜載試樁處⑤2層砂土的力學參數(shù)為[20]：內摩察角φ=26°，土體重度Υ=19.6 kN/m3，壓縮模量E=12.43 MPa,泊松比0.3，剪脹角ψ=5°.鉆孔深度z=20 m，鉆孔初始半徑a0=0.5 m.土壓力p0采用別列贊采夫土壓力公式(別氏公式)，令卸荷因子n=0.5.取靜止側壓力系數(shù)K0=1-sinφ[21].

圖4 忽略塑性區(qū)彈性變形的孔壁位移及孔周塑性區(qū)半徑對比解

Fig.4 Comparison between the present solution and the solution of ignoring the elastic deformation in plastic zone with regard to borehole wall displacement and plastic zone radius

由圖4可知，無黏性土鉆孔卸荷過程中，孔壁位移沿深度逐漸增加，而孔周塑性區(qū)半徑沿深度呈減小趨勢，且塑性區(qū)半徑值十分小，這與黏性土的結果[16]有較大差距，可見在無黏性土中鉆孔產(chǎn)生的孔壁塑性區(qū)沿深度變化不明顯.另外，忽略塑性區(qū)彈性變形的沿深度方向孔壁位移解小于本文解答；塑性區(qū)半徑解則略大于本文解答，在z=20 m處，1-a/a0的本文解及忽略塑性區(qū)彈性變形解分別為0.607%和0.385%；rp/a0值為1.161和1.164.由此可知，在砂土等無黏性土中忽略塑性區(qū)彈性變形的解答相對不保守，需謹慎應用于工程實際中.

5.2 參數(shù)分析

為了研究參數(shù)的影響，取別氏公式和夾心墻土壓力公式獲得鉆孔沿深度方向的孔壁位移.令p=0.4p0，考慮如下4種因素：卸荷過程、鉆孔半徑、剪脹性及內摩擦角.取基本參數(shù)如上算例相同.由于塑性區(qū)半徑沿深度方向的變化很小，變化值幾乎為0，在此不作特別分析.

5.2.1 卸荷程度的影響

為了研究鉆孔過程卸荷效應的影響，取卸荷因子n分別為0.2, 0.4, 0.6，孔壁位移隨鉆孔深度z的變化如圖5所示.

圖5 卸荷程度對孔壁位移的影響

由圖5可以看出，孔壁位移受卸荷過程影響明顯，在同一深度下，隨著卸荷的增加，孔壁徑向位移也隨之增大；在同一卸荷條件下，別氏公式解中孔壁位移隨鉆孔深度z呈非線性增大；夾心墻公式解中則趨于收斂,且沿深度方向的孔壁位移數(shù)值大體上小于別氏公式解,在z=20 m處，n=0.6時的孔壁位移值為0.139%(夾心墻公式)和0.304%(別氏公式);當卸荷到n=0.2時，孔壁位移值為3.243%(夾心墻公式)和6.842%(別氏公式)，可見土壓力公式的選擇對鉆孔卸荷縮孔問題有很大的影響.特別地，當卸荷程度相同時，孔壁位移的增大幅度不一樣，當n由0.4變?yōu)?.2時孔壁位移的增大幅度大于n由0.6卸荷至0.4時的孔壁位移增大幅度.夾心墻公式中，n由0.6卸荷至0.4時的孔壁位移增大幅度為(0.542-0.139)/0.139=2.9，n=0.4變?yōu)閚=0.2卸荷時孔壁位移的增大幅度為(3.243-0.542)/0.542=4.98；別氏公式中，n=0.6變?yōu)閚=0.4卸荷時孔壁位移的增大幅度為(1.181-0.304)/0.304=2.88，n=0.4變?yōu)閚=0.2卸荷時孔壁位移的增大幅度為(6.842-1.181)/1.181=4.79.別氏公式的孔壁位移增大幅度較夾心墻公式解略小.

5.2.2 鉆孔半徑的影響

將鉆孔半徑分別取為a0=0.5，0.7和0.9 m，孔壁位移沿深度方向的變化曲線如圖6所示.可以看出，孔壁位移在同一深度下隨著鉆孔半徑的增大而增大，且均隨著鉆孔深度的增加而增加.在鉆孔孔底處，0.9 m鉆孔半徑的孔壁位移與鉆孔初始半徑比值較0.5 m鉆孔半徑增大0.412%(夾心墻公式)和0.308%(別氏公式).在同一鉆孔半徑下，別氏公式的孔壁位移沿深度方向的增大幅度要大于夾心墻公式，當a0=0.9 m時，別氏公式中1-a/a0為1.488%(z=20 m)，夾心墻公式則為0.954%(z=20 m).

圖6 鉆孔半徑對孔壁位移的影響

5.2.3 剪脹角的影響

為了研究剪脹角對鉆孔過程中孔壁位移的影響，取ψ分別為5°,15°,25°，孔壁位移與初始孔徑比值沿深度方向的關系如圖7所示.可以看出，不同剪脹角的孔壁位移沿深度方向的曲線幾乎重合.在夾心墻公式中，當ψ=25°時鉆孔孔底位置的1-a/a0為0.539%；當ψ=5°時，1-a/a0為0.542%.在別氏公式中，當ψ=25°時鉆孔孔底位置的1-a/a0為1.177%；當ψ=5°時，1-a/a0為1.181%.可知隨著剪脹角的增大，孔壁位移值減小，但變化很小，甚至到了可忽略不計的地步.可知剪脹角對鉆孔孔壁位移的影響很小，可忽略不計.另外，可知1-a/a0沿深度增大而增大.

圖7 剪脹角對孔壁位移的影響

5.2.4 內摩擦角的影響

將內摩擦角分別取φ=10°，20°和30°，孔壁位移隨鉆孔深度z的變化值如圖8所示.

圖8 內摩擦角對孔壁位移的影響

Fig.8 Effect of internal friction angle on borehole wall displacement

由圖8可以看出，在同一深度下孔壁徑向位移隨內摩擦角的減小而增大，特別地，當φ=10°時，孔壁位移較φ=20°大大增大.在z=20 m處，φ=10°時的孔壁位移值為8.704%(夾心墻公式)和18.318%(別氏公式);φ=20°時的孔壁位移值為0.542%(夾心墻公式)和1.181%(別氏公式);當φ=30°時，孔壁位移值為0.148%(夾心墻公式)和0.280%(別氏公式)，可知無黏性土的內摩擦角對徑向卸荷鉆孔縮孔解影響很大，內摩擦角越小，對孔壁位移的影響程度越明顯.

6 結 論

1)基于SMP屈服準則和非相關聯(lián)流動法則，推導了在無黏性土中豎向鉆孔徑向卸荷引起的孔周應力場位移場解析式(8)、(13)，(9)、(23).

2)卸荷因子n只與內摩擦角φ有關，且隨著φ的增大而減小；rp/a是只與φ和n有關的定值，與深度方向無關，故在無黏性土中豎向鉆孔的自立深度為0.

3)忽略塑性區(qū)彈性變形的柱孔收縮位移解相對偏小，而塑性區(qū)半徑解相對偏大，故忽略塑性區(qū)彈性變形的解答在工程應用中不保守.

4)參數(shù)n、a0和φ對孔壁位移值有明顯影響.其中n和φ存在臨界值，本文的算例取n=0.4，φ=20°，n和φ超過該值，孔壁位移顯著增大；ψ對孔壁位移的影響十分有限，可忽略不計.

5)兩種土壓力下的孔壁位移沿深度方向相差較大，夾心墻土壓力所得位移解在孔口淺表位置較快收斂，Berezantsev土壓力以拋物曲線趨向孔端.故鉆孔中的土壓力選取還需與現(xiàn)場實測值相結合.