陀螺飛輪信號的EMD/LPF混合去噪方法

趙昱宇,趙 輝,霍 鑫,姚 郁

(哈爾濱工業(yè)大學 航天學院,哈爾濱 150001)

陀螺飛輪是一種適用于微小航天器的新型姿態(tài)控制與測量裝置，它迎合了微小航天器輕質、低功耗、高功能密度的需求[1].為了同時實現(xiàn)姿態(tài)測量與控制，陀螺飛輪的轉子需要進行較大范圍的傾側(±4°)和調速(調諧轉速的±15%)，相比于結構類似的動力調諧陀螺儀，它的姿態(tài)測量原理更為復雜[2].為了保證陀螺飛輪的姿態(tài)測量精度，需要通過標定實驗對系統(tǒng)機械參數(shù)和確定性漂移進行辨識[3].然而，由于存在不可避免的加工裝配誤差，陀螺飛輪的特殊工作狀態(tài)使得系統(tǒng)中產生多種頻率成分的高頻振蕩力矩[1]，同時，機械和電路部分的非穩(wěn)定性會引入隨機噪聲.標定實驗中所需要的有用信號淹沒在這些噪聲中，因此必須對采集信號進行有效的去噪處理.

當信號是平穩(wěn)的且其頻譜與噪聲不重疊時，基于傅里葉變換的傳統(tǒng)去噪方法是有效的.然而，陀螺儀的輸出信號通常是弱非平穩(wěn)的，并且受多種不確定因素的影響，信號與噪聲頻譜往往重疊，傳統(tǒng)方法難以獲得所需的去噪效果[4].維納濾波是現(xiàn)代濾波理論的代表，但它本質上是一種線性方法，僅適用于平穩(wěn)信號，且需要信號和噪聲的先驗知識[5]，也不適用于陀螺飛輪系統(tǒng).小波變換作為一種非平穩(wěn)信號分析與處理工具，在信號去噪方面得到廣泛應用[6].但小波去噪的效果嚴重依賴于小波基、分解尺度的選取，缺乏自適應性，如果選取不當，會出現(xiàn)去噪效果不理想或信號失真的現(xiàn)象[7].經驗模態(tài)分解(EMD)是一種適用于非平穩(wěn)信號處理的新方法，它是一種完全數(shù)據(jù)驅動的算法，能夠自適應地將信號分解為一組本征模態(tài)函數(shù)(IMF)[8]，它克服了小波變換基函數(shù)固定的缺點，因此被廣泛應用于信號去噪領域.

EMD去噪的基本思想是選擇部分IMF對信號有用成分進行重構.文獻[9]針對白噪聲研究了其統(tǒng)計特性，并給出了基于能量密度的模態(tài)判定方法.文獻[10-11]分別根據(jù)相關系數(shù)和連續(xù)均方誤差對相關模態(tài)進行了判定，但在信噪比較低的情況下效果不理想.文獻[12-13]通過比較信號和各IMF的概率密度函數(shù)對模態(tài)進行判定，但對原理的解釋不夠充分.上述方法將噪聲相關模態(tài)完全舍棄，是強制去噪方法，容易導致信號的變形.受到小波閾值方法的啟發(fā)，文獻[14]研究了基于EMD的閾值去噪方法，文獻[15-16]分別將閾值方法應用于激光陀螺和光纖陀螺并得到了滿意的降噪效果.

由于陀螺飛輪信號中除隨機噪聲外還含有大量高頻周期噪聲，使得上述針對白噪聲或有色噪聲的研究成果不再適用，EMD去噪方法無法直接應用于陀螺飛輪系統(tǒng).因此本文針對信號特性，提出了一種混合去噪方法.該方法在不影響信號低頻特性的前提下對高頻周期噪聲進行抑制，然后針對預處理后的信號特性，給出了有效的模態(tài)判定準則，并對噪聲主導模態(tài)進行了閾值處理，以獲得滿意的去噪效果.

1 陀螺飛輪信號特性分析

1.1 陀螺飛輪系統(tǒng)概述

陀螺飛輪的機械結構與動力調諧陀螺儀類似，因此具有兩軸姿態(tài)測量功能，其基本結構如圖1所示[1].與動調陀螺不同的是，為了同時輸出三軸姿態(tài)控制力矩，陀螺飛輪需要長期工作于轉子傾側和非調諧狀態(tài).陀螺飛輪系統(tǒng)工作于閉環(huán)狀態(tài)，通過測量力矩器線圈中的反饋電流，可以間接獲得載體運動角速度的大小.

為了保證陀螺飛輪的姿態(tài)測量精度，需要進行標定實驗，以實現(xiàn)對系統(tǒng)機械參數(shù)、誤差系數(shù)的辨識.參數(shù)辨識精度依賴于采集的力矩器電流信號的精度，因此需要針對電流信號特性，研究有效的信號去噪方法.

1.2 信號噪聲特性分析

為了兼顧姿態(tài)測量和控制力矩輸出，陀螺飛輪需要長期工作于轉子傾側和非調諧狀態(tài).當轉子自轉軸與驅動軸不重合時，平衡環(huán)一邊隨驅動軸高速旋轉，一邊相對驅動軸作扭擺運動，這種復合運動會引起2倍于陀螺轉子旋轉頻率的周期振蕩力矩，稱為二次諧波力矩[1].由于受到加工制造工藝水平的制約，實際的陀螺飛輪樣機中不可避免地存在加工裝配誤差，如轉子質心偏移、支撐結構不垂直、不共面等.這些機械不理想因素會引起作用于轉子的干擾力矩，其直流成分會引起漂移誤差，需要通過標定實驗對誤差系數(shù)進行辨識與補償.此外，干擾力矩中還包含多種諧波成分，如一次諧波力矩、三次諧波力矩、五次諧波力矩等.驅動電機磁鋼的分布特性會引起十一次諧波力矩.這些諧波力矩作用于轉子上，從而力矩器的反饋電流中也包含相同的諧波成分，它們可視為高頻噪聲.

圖1 陀螺飛輪系統(tǒng)結構示意

另外，陀螺飛輪機械部分和電路部分的非穩(wěn)定性，如軸承的隨機跳動、電路熱噪聲，以及量化噪聲等因素使得測量信號中包含隨機噪聲，與高頻噪聲相比，隨機噪聲雖然相對較小，但其影響也不容忽視.

圖2給出了實測力矩器電流信號的頻譜分析結果，數(shù)據(jù)采集過程中，陀螺飛輪樣機固定于水平地面上，轉子保持傾側0.5°，轉子旋轉頻率為50 Hz，采樣頻率2 000 Hz.與上述分析一致，實測信號中包含多次諧波噪聲和隨機噪聲，信號的有用成分淹沒在噪聲中.

圖2 電流信號頻譜分析結果

2 經驗模態(tài)分解原理

對于任意給定信號，經驗模態(tài)分解(EMD)通過篩選過程可自適應地將其分解為一系列本征模態(tài)函數(shù)(IMF)[8].

2.1 本征模態(tài)函數(shù)

IMF必須滿足如下兩個條件[8]：

1)零點數(shù)和極值點數(shù)相等或至多相差一個；

2)函數(shù)由局部極大值點確定的包絡線和由局部極小值點確定的包絡線的均值為零.

2.2 篩選過程

對于給定信號x(t)，篩選過程可總結如下[8].

步驟1初始化. 設定篩選門限ε，i=1，j=0，令ri-1(t)=x(t).

步驟2循環(huán)篩選獲得第i個IMF，具體過程如下:

1)初始化，令hi,j(t)=ri-1(t)；

2)利用三次樣條插值分別對hi,j(t)的極大值點和極小值點進行擬合，構造上、下包絡線Ui,j(t)和Li,j(t)；

4)更新hi,j+1(t)=hi,j(t)-mi,j(t)；

5)根據(jù)下式計算停止條件：

式中：N為信號長度，ts為采樣周期；判斷SDi,j+1是否不大于給定的門限ε，通常ε的取值為0.2～0.3，若不大于ε，則得到第i個IMF，記為ci(t)=hi,j+1(t)；否則，令j=j+1，轉到2).

經過上述步驟后，EMD將信號x(t)分解為n個模態(tài)和1個余量之和，即

式中c1(t),…,cn(t)分別包含了信號從高到低不同頻段的成分，并且任一階IMF的平均周期大約為前一階IMF平均周期的2倍.因此，可以根據(jù)信號特性，合理地利用部分IMF分量重構信號，以達到信號去噪的目的.

3 EMD/LPF混合去噪方法

考慮到陀螺飛輪的姿態(tài)測量帶寬[1]，在辨識標定實驗中，力矩器電流信號的有用成分集中在低頻段，通常不超過0.5 Hz. 信號噪聲特性分析中的分析結果表明，電流信號中包含高頻的諧波噪聲和分布于整個頻段內的隨機噪聲.

3.1 基于低通濾波的信號預處理

與信號的有用低頻成分和隨機噪聲相比，信號中的高頻諧波噪聲十分明顯.陀螺飛輪系統(tǒng)的轉子旋轉頻率在50～65 Hz范圍內，因此，信號的有用成分與高頻諧波噪聲分布在不同的頻段.在不影響信號低頻特性的前提下，對信號進行預處理以減小高頻諧波噪聲的影響，能夠提高EMD的有效性和效率.

考慮到巴特沃斯濾波器具有通頻帶內頻率響應曲線最大限度平坦的特點，設計四階低通巴特沃斯數(shù)字濾波器對電流信號進行預處理，截止頻率為15 Hz，其頻率響應如圖3所示.顯然，該低通濾波器(LPF)幾乎不會影響信號的有用低頻成分.

圖3 低通濾波器的頻率響應

3.2 基于EMD的信號去噪原理

定義ns為噪聲主導模態(tài)與有用信號模態(tài)的分界，所有IMF可以分為：只包含噪聲的第1階IMFc1(t)，噪聲主導的模態(tài)分量c2(t),…,cns-1(t)和信號模態(tài)分量cns(t),…,cn(t).直接利用信號IMF分量重構原信號可達到去噪的目的，但這種強制去噪方法會損失存在于噪聲主導IMF分量中的有用信息.為了保證信號去噪效果，本文對這些IMF分量進行閾值處理，以保留其中的有用信息，其中閾值函數(shù)的具體形式可參照文獻[14].

基于EMD的信號去噪原理如圖4所示.

圖4 基于EMD的信號去噪原理

利用圖4所示方法進行信號重構，可得到去噪之后的信號為

從圖6可以看出，步行方式下的街道區(qū)位商高值極少且零星分布在城區(qū)外圍，低值區(qū)域主要分布于老年人口較為集聚的中心城區(qū).區(qū)位商值為0(圖中灰色區(qū)域)的街道占比達39.86%，說明街道間的人均公共養(yǎng)老資源存在巨大差異，養(yǎng)老服務設施和人口分布空間嚴重失配.公交方式下的區(qū)位商高值街道也分布在城區(qū)外圍，低值街道主要分布在中心城區(qū)一環(huán)內，總體上呈現(xiàn)公共養(yǎng)老資源與老年人口相匹配的特征，但高低值的兩級分化嚴重，區(qū)域間仍表現(xiàn)出較大的資源差異.私家車方式下的街道區(qū)位商分級差異較小，低值區(qū)位商的街道占比達89.63%，高值區(qū)位商街道只有2個，說明私家車出行方式下的養(yǎng)老設施資源布局相對公平.

(1)

3.3 基于PDF-BD的模態(tài)分界點判定準則

應用上述方法實現(xiàn)信號去噪的關鍵在于確定噪聲主導模態(tài)與信號模態(tài)的分界點ns.

對于含噪信號來說，進行EMD分解后，前ns-1階IMF為噪聲主導模態(tài)，各階IMF包含的噪聲信息越來越少，直至第ns階IMF可認為幾乎不包含噪聲信息，成為信號模態(tài)分量.因此，比較含噪信號及其各階IMF的概率密度函數(shù)(PDF)，噪聲主導模態(tài)與原信號PDF的差異會隨著階數(shù)的增加而變大，而在第1個信號模態(tài)處(即第ns階IMF處)，這一差異會顯著變小，從而在第ns-1階處出現(xiàn)局部極大值.基于這一特性，本文通過對含噪信號和各階IMF的PDF進行相似性度量，來確定模態(tài)分界點ns.基于核密度估計方法可以獲得信號和各階IMF的PDF，該方法是一種非參數(shù)檢驗方法，它無需有關數(shù)據(jù)分布的先驗知識，對數(shù)據(jù)分布不附加任何假定[17].

在統(tǒng)計學中，巴氏距離(Bhattacharyya distance，BD)可以用于度量兩個概率分布的相似性[18].對于兩個概率分布p1,p2，它們之間的巴氏距離定義為[18]

DB(p1,p2)=-ln(cB(p1,p2)),

(2)

其中cB(p1,p2)為Bhattacharyya系數(shù)，定義為

(3)

(4)

其中

(5)

計算含噪信號與其各階IMF的PDF的巴氏距離，并繪制巴氏距離關于IMF階數(shù)的折線圖，找到第1個局部極大值點對應的階數(shù)nlm1，則模態(tài)分界點可表示為

ns=nlm1+1.

(6)

3.4 基于EMD/LPF的信號去噪流程

本文提出的基于EMD/LPF的混合去噪方法的具體步驟可以描述如下.

步驟4根據(jù)式(2)～式(5)計算信號PDF和各階IMF的PDF的巴氏距離，繪制巴氏距離關于IMF階數(shù)的折線圖，根據(jù)式(6)確定模態(tài)分界點ns.

步驟5舍棄噪聲模態(tài)分量c1(t)，對分量c2(t),…,cns-1(t)進行閾值處理，利用式(1)重構信號，實現(xiàn)對陀螺飛輪原始電流信號的去噪.

4 實驗驗證及結果分析

4.1 仿真實驗及結果分析

4.1.1 模態(tài)分界點判定方法驗證

以簡單的正弦信號作為真實信號，添加不同強度的高斯白噪聲作為含噪信號進行仿真實驗，將PDF-BD方法確定的分界點結果與真實值進行對比，以驗證該方法在不同信噪比(SNR)條件下的有效性，結果見表1和圖5.

表1和圖5的結果表明，即使在低信噪比情況下，有用信號的能量很低，本文所提出的PDF-BD方法仍然能夠實現(xiàn)模態(tài)分界點的準確判定.

表1 不同信噪比下的分界點判定結果

圖5 巴氏距離與IMF階數(shù)的關系曲線

4.1.2 EMD/LPF混合去噪方法驗證

采用標準測試信號bumps、heavy sine作為真實信號[11,14]，添加不同強度的高斯白噪聲，并疊加頻率為60 Hz和120 Hz的高頻周期噪聲，形成含噪信號.分別利用傳統(tǒng)低通濾波方法(截止頻率2 Hz)，小波去噪方法(小波基選擇sym3，分解層次4層和6層)，EMD/LPF混合去噪方法對含噪信號進行處理.不同方法的去噪效果對比由圖6給出，圖7給出輸入信噪比0 dB條件下的信號曲線，其中輸入信噪比計算時，噪聲能量只考慮白噪聲.為了更清晰地展示去噪結果，圖7中未繪制效果較差的sym3-4小波去噪結果.

由圖6、7可見，傳統(tǒng)低通濾波方法可以實現(xiàn)對高頻周期噪聲的濾除，但無法抑制頻譜與有用信號重疊的隨機噪聲，而且，傳統(tǒng)濾波方法不可避免會帶來相位延遲問題，無法滿足陀螺飛輪系統(tǒng)的標定實驗要求.而小波去噪效果受到選擇的小波基和分解層次的影響，不具有自適應性，如果選擇不合理，去噪效果很不理想(如-10 dB條件下采用sym3小波基，4層分解).相比于其他方法，基于EMD/LPF的混合去噪方法在不同信噪比條件下對不同信號都有更為理想的去噪效果.

4.2 樣機實驗及結果分析

陀螺飛輪樣機如圖8所示，采用本文提出的EMD/LPF混合去噪方法，對采集的力矩器電流數(shù)據(jù)進行處理.以兩種實驗條件為例：1) 系統(tǒng)工作于恒定傾側狀態(tài)下，轉子旋轉頻率為62.5 Hz；2) 系統(tǒng)工作于時變傾側狀態(tài)下，轉子旋轉頻率為58.3 Hz；圖9給出這兩種實驗條件下的信號去噪結果.

去噪前后，恒定傾側狀態(tài)下的電流信號標準差由0.112 A降為0.003 A，降低了數(shù)十倍.為了更好地體現(xiàn)混合去噪方法的優(yōu)越性，在時變傾側狀態(tài)下，將傳統(tǒng)低通濾波結果與混合去噪結果一同繪制于圖9(b)中，并對曲線進行部分放大，可以看出，傳統(tǒng)方法具有明顯的相位延遲問題.實驗結果表明混合去噪方法能夠有效地抑制陀螺飛輪采集信號的噪聲，這對陀螺飛輪系統(tǒng)實現(xiàn)參數(shù)辨識具有重要意義.

圖6 去噪效果對比

1.原始含噪信號;2.真實信號;3.低通濾波結果;

圖8 陀螺飛輪實驗樣機

圖9 電流信號去噪結果

5 結 論

1)根據(jù)EMD分解后各階IMF中包含信號/噪聲信息的特點，提出了一種基于PDF-BD的模態(tài)分界點判定準則，即使在低信噪比條件下，該方法仍然能夠實現(xiàn)分界點的準確判定.

2)針對陀螺飛輪采集信號的噪聲特性，將EMD與LPF進行有效地結合來充分發(fā)揮二者的優(yōu)點，提出了EMD/LPF混合去噪方法，實現(xiàn)了對高頻周期噪聲和隨機噪聲的有效抑制.

3)混合去噪方法在高信噪比和低信噪比條件下都具有穩(wěn)定的去噪效果，比小波去噪方法更具有自適應性.該方法不僅適用于陀螺飛輪系統(tǒng)，也可以應用于其他高速旋轉機械系統(tǒng)的信號去噪中.