基于最大系統(tǒng)容量的預(yù)編碼算法

孫 會(huì) 楠

(哈爾濱華德學(xué)院 電子與信息工程學(xué)院, 黑龍江 哈爾濱 150025)

在無(wú)線移動(dòng)通信系統(tǒng)中,多輸入多輸出(MIMO, multiple input multiple output)中繼已經(jīng)成為了一項(xiàng)關(guān)鍵的技術(shù)[1],它不僅可以有效增加系統(tǒng)容量和網(wǎng)絡(luò)覆蓋范圍,而且能夠降低網(wǎng)絡(luò)架設(shè)成本.因?yàn)榛镜膹?fù)雜度和成本越來(lái)越高,使得在人口密集的城市或偏遠(yuǎn)地區(qū)通過部署大規(guī)模的基站來(lái)提高系統(tǒng)容量和用戶通信質(zhì)量的成本變得越來(lái)越高,MIMO中繼技術(shù)能夠以相對(duì)較少的投入,最大限度地提高用戶的通信質(zhì)量[2-4].采用中繼傳輸技術(shù)在小區(qū)內(nèi)部署一些功能相對(duì)簡(jiǎn)單的中繼節(jié)點(diǎn)來(lái)轉(zhuǎn)發(fā)基站和用戶之間的信號(hào),這樣可以有效降低基站的發(fā)射功率,擴(kuò)大基站覆蓋范圍、提高系統(tǒng)的通信速率.特別是放大轉(zhuǎn)發(fā)(AF)中繼,因?yàn)槠渚哂械统杀尽⒌蛷?fù)雜度的特點(diǎn),被普遍認(rèn)為是最有發(fā)展前景的中繼轉(zhuǎn)發(fā)方式之一.本文研究的是在忽略基站和用戶之間的直射信號(hào)的MU-MIMO中繼系統(tǒng)中[5-6],如何對(duì)基站和中繼節(jié)點(diǎn)進(jìn)行合理的預(yù)編碼矩陣設(shè)計(jì).基于不同預(yù)編碼矩陣設(shè)計(jì)準(zhǔn)則下設(shè)計(jì)出預(yù)編碼矩陣,然后簡(jiǎn)化系統(tǒng)模型,設(shè)計(jì)出基于最大化用戶容量準(zhǔn)則下的預(yù)編碼矩陣,再得到采用不同算法的中繼通信系統(tǒng)的用戶總?cè)萘考罢`碼率,以提高整個(gè)通信系統(tǒng)的性能.

1 最大系統(tǒng)容量的預(yù)編碼算法

已知單個(gè)用戶的用戶容量計(jì)算公式為

式中,Ck為單位個(gè)用戶容量,Sk為第k個(gè)用戶的信干噪比.所以K個(gè)用戶的總?cè)萘繛?/p>

(1)

通過對(duì)基站和中繼節(jié)點(diǎn)的預(yù)編碼矩陣設(shè)計(jì),提高通信系統(tǒng)的用戶總?cè)萘?以最大化系統(tǒng)容量為準(zhǔn)則,可以將問題轉(zhuǎn)化[7]:

1.1 采用高信干噪比時(shí)對(duì)目標(biāo)函數(shù)近似的方法

式(2)～式(4)的優(yōu)化問題,我們能夠運(yùn)用MIMO固定中繼系統(tǒng)的容量下限來(lái)進(jìn)行求解.利用通信系統(tǒng)工作在高信噪比條件下對(duì)上述優(yōu)化問題進(jìn)一步簡(jiǎn)化,假設(shè)發(fā)送端已經(jīng)獲得了信道矩陣,首先對(duì)基站到中繼的信道矩陣H1進(jìn)行SVD分解[8],即

WB=V1ΛB.

(5)

已知中繼端的接收信號(hào)為[9]

yr=H1xB+nr=H1WBs+nr.

(6)

將式(5)代入式(6)中繼端的接收信號(hào)也能夠簡(jiǎn)化為

yr=U1Σ1ΛBs+nr.

因?yàn)橄到y(tǒng)的接收端為單天線用戶,故中繼的預(yù)編碼處理矩陣WR為

(7)

已知信號(hào)經(jīng)過中繼放大后為

xR=WRyr,

(8)

將式(7)代入式(8),中繼節(jié)點(diǎn)的功率限制條件化簡(jiǎn)為

式中qk表示(GGH)-1矩陣對(duì)角線上的第k個(gè)元素.用戶k接收到的信號(hào)可寫為

用戶k的信干噪比可以表示為

(9)

(10)

若S?1,1+S能夠近似于S,故通信系統(tǒng)工作在高信干噪比的情況下,能夠?qū)?+S簡(jiǎn)化為S,減小了整個(gè)算法的計(jì)算量,通過式(1)可知系統(tǒng)容量計(jì)算公式能夠化簡(jiǎn)為

由式(11)可知,用戶總?cè)萘緾的最大值的求解等價(jià)于尋求信干噪比S倒數(shù)之積的最小值,把式(10)代入式(11)能夠計(jì)算出在高信干噪比的條件下用戶總?cè)萘繛?/p>

為尋求系統(tǒng)容量的最大值就轉(zhuǎn)換為如下問題的求解:

這就將對(duì)最大化系統(tǒng)容量的求解轉(zhuǎn)變成對(duì)幾何規(guī)劃(GP,geomrtric programmaing)問題的求解.

幾何規(guī)劃最先是由 Zener于1961年研究工程設(shè)計(jì)中求最小值的最優(yōu)化問題時(shí)提出的,直到1966年,Duffin等在文章中用到了“幾何規(guī)劃”一詞,才被正式命名[10].在實(shí)際工程應(yīng)用中,很多問題都可以把復(fù)雜的優(yōu)化問題寫成非線性規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解,而幾何規(guī)劃作為非線性規(guī)劃一類特殊分支,應(yīng)用也非常廣泛,在求解具有大規(guī)模約束條件的優(yōu)化問題時(shí),幾何規(guī)劃算法有著很大的優(yōu)勢(shì),同時(shí)還可以降低計(jì)算復(fù)雜度.

幾何規(guī)劃的標(biāo)準(zhǔn)形式為:

式中:fi為正定函數(shù);gi為單項(xiàng)式函數(shù);x為最優(yōu)化變量.實(shí)際上,很多問題可以通過數(shù)學(xué)抽象轉(zhuǎn)化為幾何規(guī)劃形式,因此對(duì)幾何規(guī)劃的求解發(fā)展十分迅速.為了簡(jiǎn)化對(duì)幾何規(guī)劃問題的求解,可以通過MATLAB中的GGPLAB工具包[11]或CVX工具包[12]來(lái)對(duì)幾何規(guī)劃最優(yōu)解進(jìn)行求解.

將式(12)進(jìn)一步簡(jiǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)的幾何規(guī)劃形式,然后通過使用MATLAB中的GGPLAB工具包對(duì)其進(jìn)行仿真分析.

1.2 基于分步求解的預(yù)編碼算法

在上一節(jié)中我們討論了基于最大化系統(tǒng)容量準(zhǔn)則, 利用系統(tǒng)在高信干噪比時(shí)對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行簡(jiǎn)化的方法, 聯(lián)合設(shè)計(jì)基站及中繼的預(yù)編碼矩陣. 該方法利用系統(tǒng)工作在高信干噪比情況下時(shí), 對(duì)需要求解的問題進(jìn)行了一定的簡(jiǎn)化, 減小了求解的計(jì)算量, 然而如果使用該方法計(jì)算低信干噪比的情況下的用戶總?cè)萘? 將會(huì)出現(xiàn)很大的誤差. 為了解決這一問題, 我們可以使用新的分解算法, 對(duì)基站端和中繼節(jié)點(diǎn)的預(yù)編碼矩陣進(jìn)行重新計(jì)算.

第一步,把中繼節(jié)點(diǎn)的預(yù)編碼矩WR陣分解成為2個(gè)部分:接收矩陣R和傳輸矩陣T,這相當(dāng)于將信號(hào)在中繼節(jié)點(diǎn)的傳輸分解成了2個(gè)獨(dú)立的部分,這樣就可以針對(duì)每一個(gè)的部分進(jìn)行獨(dú)立建模,然后再通過這2個(gè)獨(dú)立部分的信道模型來(lái)求解預(yù)編碼矩陣.

在分步求解的算法中,基站端和中繼的預(yù)編碼矩陣的形式和上一節(jié)一樣.

等待他從那堆敝舊衣里爬出時(shí)，場(chǎng)坪里只有一個(gè)查驗(yàn)地?cái)偩璧陌簿溥涞恼驹谀抢?。因?yàn)橛^眾只他一人，故顯得他身體特別大，樣子特別樂。

把WR分為2部分,即WR=TR,令

中繼接收到基站端發(fā)送過來(lái)的信號(hào)為

yr=H1WBs+nr.

中繼節(jié)點(diǎn)得到的信號(hào)首先通過接收矩陣R,經(jīng)過R處理后的信號(hào)可寫為

在最大化用戶容量準(zhǔn)則下,我們能夠得出中繼節(jié)點(diǎn)對(duì)信號(hào)進(jìn)行接收處理這一步的目標(biāo)函數(shù)和約束條件為:

利用注水定理進(jìn)行求解得

(16)

xrs=Tsr,

則用戶k接收到的信號(hào)為

y2,k=GkTsr+n2,k,

(17)

將式(15)帶入式(17),化簡(jiǎn)后可以得到

用戶k的信干噪比S為

由最大化用戶總?cè)萘繙?zhǔn)則,可將中繼節(jié)點(diǎn)最優(yōu)預(yù)編碼矩陣設(shè)計(jì)問題轉(zhuǎn)化幾何規(guī)劃問題

式中,qk表示矩陣(GGH)-1對(duì)角線上的第k個(gè)元素,對(duì)式(18)的求解可以當(dāng)作一個(gè)求解拉格朗日極值問題,然后再運(yùn)用拉格朗日乘子法對(duì)其進(jìn)行求解,求得中繼的最優(yōu)功率分配因子為

式中,μ表示拉格朗日乘子[13-14],可以通過二分法對(duì)其進(jìn)行求解,在求得μ之后再代入式(19)便得到了中繼端的功率分配矩陣ΛR,再把ΛR代回式(14)就得到了最優(yōu)的中繼端的預(yù)編碼矩陣WR.

2 仿真結(jié)果及分析

2.1 采用高信干噪比時(shí)對(duì)目標(biāo)函數(shù)近似的方法的系統(tǒng)容量及誤碼率

利用高信干噪比時(shí)對(duì)目標(biāo)函數(shù)近似的方法把目標(biāo)函數(shù)和約束條件轉(zhuǎn)化成了一般的幾何規(guī)劃問題,我們可以利用基于MATLAB的GGPLAB工具包對(duì)幾何規(guī)劃問題的最優(yōu)解求解.圖1和圖2分別給出了用GGPLAB工具包計(jì)算在高信干噪比下對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行近似的系統(tǒng)容量和誤碼率(BER)曲線.由圖1能夠得出在低信干噪比的情況下對(duì)用戶總?cè)萘康挠?jì)算出現(xiàn)了很大的誤差,之所以出現(xiàn)較大誤差是因?yàn)閷?duì)目標(biāo)函數(shù)的近似是假設(shè)通信系統(tǒng)工作在高信干噪比的情況下進(jìn)行的,因此低信干噪比情況下對(duì)用戶總?cè)萘康挠?jì)算很容易產(chǎn)生誤差.故采用高信干噪比時(shí)對(duì)目標(biāo)函數(shù)的近似的方法只適合于高信干噪比的情況下對(duì)用戶總?cè)萘康挠?jì)算.從圖1還可以得出以下結(jié)論:隨著信干噪比的逐漸增加系統(tǒng)容量隨之線性增加,在高信干噪比的情況下系統(tǒng)容量要高于一般的線性預(yù)編碼的系統(tǒng)容量 .從圖2能夠得知,信干噪比的增加會(huì)使得誤碼率下降,由于計(jì)算機(jī)的運(yùn)算能力有限,在仿真時(shí)限制了基站端能夠發(fā)送的比特?cái)?shù)以及信道循環(huán)次數(shù),故當(dāng)信干噪比大于7 dB時(shí)系統(tǒng)誤碼率接近0.

圖1 采用高信干噪比時(shí)對(duì)目標(biāo)函數(shù)近似的方法系統(tǒng)容量

圖2 采用高信干噪比時(shí)對(duì)目標(biāo)函數(shù)近似的方法系統(tǒng)誤碼率

2.2 基于分步求解的預(yù)編碼算法系統(tǒng)容量及誤碼率

如果通信系統(tǒng)工作在高信干噪比的情況下,采用對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行近似的方法能夠有效降低運(yùn)算量,但是如果通信系統(tǒng)工作在低信干噪比情況下,繼續(xù)運(yùn)用此法來(lái)計(jì)算系統(tǒng)容量就會(huì)出現(xiàn)較大誤差,為了解決這一問題,提出了一種新的算法:基于分步求解的預(yù)編碼算法.由圖3可以看出用分步求解的方法來(lái)求用戶總?cè)萘吭诘托鸥稍氡葧r(shí)偏差較小,并且采用分步求解的方法來(lái)設(shè)計(jì)預(yù)編碼矩陣對(duì)用戶總?cè)萘康奶嵘獌?yōu)于采用高信干噪比時(shí)對(duì)目標(biāo)函數(shù)的近似的算法.從圖4可以看出采用分步求解的算法的誤碼率性能要優(yōu)于采用高信干噪比時(shí)對(duì)目標(biāo)函數(shù)的近似的算法.基于分步求解的算法不但能夠提高用戶總?cè)萘拷档驼`碼率,而且其算法復(fù)雜度要低于基于高信干噪比時(shí)對(duì)目標(biāo)函數(shù)的近似的算法.

圖3 基于最大化系統(tǒng)容量的分步求解的預(yù)編碼算法系統(tǒng)容量

圖4 基于最大化系統(tǒng)容量的分步求解的預(yù)編碼算法系統(tǒng)容量

3 結(jié) 論

本文研究了在忽略基站和用戶之間直接鏈路的MU-MIMO中繼通信系統(tǒng)中,基于最大化用戶容量的準(zhǔn)則,采用高信干噪比時(shí)對(duì)目標(biāo)函數(shù)近似的方法對(duì)基站端和中繼節(jié)點(diǎn)進(jìn)行最優(yōu)預(yù)編碼設(shè)計(jì),從而抑制多用戶之間的互相干擾,設(shè)計(jì)出能夠使用戶總?cè)萘孔畲蠡念A(yù)編碼矩陣.這種方法雖然簡(jiǎn)化了對(duì)預(yù)編碼矩陣求解的復(fù)雜度,但是如果通信系統(tǒng)工作在低信干噪比的情況下時(shí),仍然采用該算法的話,將會(huì)對(duì)用戶總?cè)萘康挠?jì)算有較大的誤差.為了解決高信干噪比時(shí)對(duì)目標(biāo)函數(shù)近似的方法在低信干噪比條件下,對(duì)用戶總?cè)萘康挠?jì)算不理想這一問題,進(jìn)一步引出采用分步求解的預(yù)編碼算法,然后對(duì)該預(yù)編碼算法進(jìn)行了理論推導(dǎo)和數(shù)學(xué)分析,并對(duì)該算法在MATLAB軟件中建模,采用GPPLAB工具包對(duì)基站端和中繼的最優(yōu)預(yù)編碼矩陣進(jìn)行求解.由仿真結(jié)果能夠知道,在通信系統(tǒng)中運(yùn)用分步求解的算法能夠很好地改善運(yùn)用高信干噪比時(shí)對(duì)目標(biāo)函數(shù)近似的算法在低信干噪比情況下的對(duì)用戶總?cè)萘坑?jì)算出現(xiàn)偏差的問題,并且分步求解的算法還能夠進(jìn)一步提高系統(tǒng)的用戶總?cè)萘?對(duì)最優(yōu)預(yù)編碼矩陣的求解的計(jì)算量也有所減小.