面向數(shù)據(jù)素養(yǎng)教育的線性代數(shù)案例教學(xué)模式探索

王利東 劉婧 張運(yùn)杰

[摘 要]大數(shù)據(jù)時(shí)代，個(gè)人生活、科學(xué)研究乃至社會(huì)管理都需要依靠數(shù)據(jù)進(jìn)行決策，現(xiàn)代所有人都應(yīng)該具備大數(shù)據(jù)的理念和思維方式，數(shù)據(jù)素養(yǎng)成為一項(xiàng)通用的技能。線性代數(shù)作為一種數(shù)學(xué)工具是工科專業(yè)的必修課，同時(shí)也是眾多數(shù)據(jù)分析技術(shù)的理論基礎(chǔ)之一。靈活掌握線性代數(shù)知識(shí)對(duì)于數(shù)據(jù)素養(yǎng)的培養(yǎng)至關(guān)重要。本文以數(shù)據(jù)處理原理為引例，探索將數(shù)據(jù)素養(yǎng)教育融于線性代數(shù)教學(xué)及自主學(xué)習(xí)中的教學(xué)方法，并以此引導(dǎo)學(xué)生掌握數(shù)據(jù)科學(xué)的數(shù)學(xué)理論，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神，提高對(duì)新知識(shí)的求知欲，擴(kuò)展學(xué)生處理大數(shù)據(jù)的思維方式。

[關(guān)鍵詞]線性代數(shù);教學(xué)模式;數(shù)據(jù)素養(yǎng)

[中圖分類號(hào)] G642.0 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 2095-3437（2020）06-0094-03

一、背景

“大數(shù)據(jù)”作為繼云計(jì)算、物聯(lián)網(wǎng)之后的又一顛覆性技術(shù)，已成為決定國(guó)家綜合國(guó)力強(qiáng)弱的關(guān)鍵資源，因此了解大數(shù)據(jù)的理念、培養(yǎng)大數(shù)據(jù)的思維方式是非常重要的。普遍認(rèn)為的數(shù)據(jù)素養(yǎng)是指?jìng)€(gè)體在一定行為規(guī)范內(nèi)讀取、理解、創(chuàng)建和分享數(shù)據(jù)的能力。擁有數(shù)據(jù)素養(yǎng)就是具備了一項(xiàng)通用的技能，使得自己在“一切都被記錄，一切都被分析”的數(shù)據(jù)化時(shí)代更好的生存和發(fā)展[1]。較好的量化推理能力和數(shù)據(jù)思維已被公眾認(rèn)為是最該具備的素養(yǎng)。

目前，國(guó)內(nèi)高校所開設(shè)的數(shù)據(jù)素養(yǎng)通識(shí)課程大都以圖書情報(bào)信息檢索為主要授課內(nèi)容，這與當(dāng)今流行的數(shù)據(jù)技術(shù)以及與培養(yǎng)數(shù)據(jù)思維相關(guān)的教學(xué)內(nèi)容有較大差別。由于這些課程面向的是本專業(yè)學(xué)生，對(duì)前期專業(yè)基礎(chǔ)知識(shí)要求較高，即便是眾多高校均開設(shè)相關(guān)課程，也尚未達(dá)到通識(shí)教育目的，因此需要發(fā)展多方位的數(shù)據(jù)素養(yǎng)教育實(shí)踐活動(dòng)。培養(yǎng)數(shù)據(jù)素養(yǎng)應(yīng)是一種終身學(xué)習(xí)過程，學(xué)習(xí)教育對(duì)學(xué)生的影響不能追求立竿見影的效果，因此應(yīng)該做長(zhǎng)遠(yuǎn)打算，追求潛在的、深遠(yuǎn)的謀略。讓學(xué)生產(chǎn)生興趣，進(jìn)而將學(xué)習(xí)的積極性調(diào)動(dòng)起來，這是最好的學(xué)習(xí)方式。因此，以通識(shí)教育為原則，以培養(yǎng)開闊的視野，提升終身學(xué)習(xí)能力為目標(biāo)，把數(shù)據(jù)素養(yǎng)的教育融入本科生基礎(chǔ)課教學(xué)過程是非常必要的大學(xué)生的未來發(fā)展將起著重要的作用。

二、線性代數(shù)與數(shù)據(jù)素養(yǎng)

近年來隨著科技發(fā)展和社會(huì)進(jìn)步，數(shù)學(xué)在大數(shù)據(jù)、互聯(lián)網(wǎng)、通信技術(shù)、人工智能等各個(gè)新興領(lǐng)域中得到重視，并在某些領(lǐng)域發(fā)揮了關(guān)鍵的作用。知名通信科技企業(yè)華為公司也宣稱他們真正的核心科技是數(shù)學(xué)。最近阿里巴巴公司發(fā)起全球數(shù)學(xué)競(jìng)賽，獎(jiǎng)金百萬，鼓勵(lì)年輕人熱愛數(shù)學(xué)，從數(shù)學(xué)中發(fā)現(xiàn)新知。線性代數(shù)作為一門重要的數(shù)學(xué)課程，具有強(qiáng)大的應(yīng)用背景，其理論和方法已經(jīng)滲透到數(shù)學(xué)的許多分支，同時(shí)也成為人工智能與大數(shù)據(jù)技術(shù)支撐的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)之一[2]。無人駕駛、圖像處理、社交網(wǎng)絡(luò)和通信系統(tǒng)中的主流智能算法無不以線性代數(shù)為其支撐原理，其重要性不可否定。

三、線性代數(shù)教學(xué)模式的思考與借鑒

在國(guó)外，線性代數(shù)教學(xué)主要采用兩種手段。一種是概念公理化教學(xué)，突出線性空間理論、培養(yǎng)學(xué)生抽象思維的教學(xué)模式。另一種是應(yīng)用型導(dǎo)向的直覺化教學(xué)，突出計(jì)算與應(yīng)用能力[3]。這兩種教學(xué)模式各有優(yōu)勢(shì)和不足，前者有益于數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)，對(duì)學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)和發(fā)展有著重要作用，但學(xué)生會(huì)感覺枯燥。后者具有直觀的優(yōu)點(diǎn)，有助于引導(dǎo)學(xué)生入門，但在基于大量軟件教學(xué)的模式下，學(xué)生對(duì)軟件有著依賴性，對(duì)培養(yǎng)概念理解能力及深層邏輯思維不利。朱琳和蔣啟芬兩位學(xué)者對(duì)美國(guó)和法國(guó)各自線性代數(shù)教學(xué)模式的爭(zhēng)論與優(yōu)缺點(diǎn)、三種實(shí)踐教學(xué)過程的收獲與不足進(jìn)行了多視角評(píng)析，其研究成果為我們本土院校開展教學(xué)改革提供了參考[3]。從歷史分析與認(rèn)識(shí)學(xué)習(xí)視角分析看，兩種教學(xué)模式可以相互促進(jìn)，初始階段的直覺化教學(xué)會(huì)對(duì)后期概念公理化教學(xué)產(chǎn)生積極作用，符合學(xué)生學(xué)習(xí)的認(rèn)知過程。

目前，線性代數(shù)的概念公理化與直覺化協(xié)同教學(xué)已經(jīng)引起教師的重視，廣泛采取的方法是以生產(chǎn)實(shí)踐中實(shí)例作為引例進(jìn)行概念講解，并結(jié)合數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行授課。透過這些實(shí)例，讓學(xué)生看到數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用及掌握相關(guān)的數(shù)學(xué)概念的重要性[4-6]。但是基于實(shí)例的教學(xué)研究與數(shù)據(jù)素養(yǎng)有聯(lián)系也有一定差別。前者強(qiáng)調(diào)的是應(yīng)用性，特別是專業(yè)領(lǐng)域的應(yīng)用;而數(shù)據(jù)素養(yǎng)強(qiáng)調(diào)的是一種通識(shí)教育，培養(yǎng)較強(qiáng)的數(shù)據(jù)意識(shí)。在大數(shù)據(jù)環(huán)境下，旨在培養(yǎng)數(shù)據(jù)素養(yǎng)的線性代數(shù)教學(xué)在強(qiáng)調(diào)直觀教學(xué)的同時(shí)，也更需要加強(qiáng)對(duì)基本概念和基本理論的深入理解，了解現(xiàn)象背后的數(shù)學(xué)原理，加強(qiáng)數(shù)學(xué)概念的深化教學(xué)。本文探索如何將數(shù)據(jù)素養(yǎng)教育融于線性代數(shù)教學(xué)及自主學(xué)習(xí)中，并以范德蒙德行列式和最大無關(guān)組的案例教學(xué)方式（證明過程此文略去）進(jìn)行展示。

四、教學(xué)設(shè)計(jì)與擴(kuò)展分析

范德蒙德行列式和最大無關(guān)組是線性代數(shù)中的兩個(gè)概念。前者在教材中以例題的形式出現(xiàn)：作為一類特殊的行列式，它有著獨(dú)特的形式極其簡(jiǎn)明的計(jì)算結(jié)果;教學(xué)中更多關(guān)注于它的各種擴(kuò)展形式的計(jì)算（例如加邊法計(jì)算范德蒙德行列式）。最大無關(guān)組則被用來刻畫向量之間、線性空間結(jié)構(gòu)等問題。范德蒙德行列式與最大無關(guān)組不僅是數(shù)學(xué)領(lǐng)域中重要的數(shù)學(xué)概念，而且在數(shù)據(jù)處理中有著重要的地位。通過了解數(shù)據(jù)處理中的數(shù)學(xué)原理，可使得學(xué)生了解基本的數(shù)據(jù)處理技能及數(shù)據(jù)意識(shí)，更有助于提升他們的學(xué)習(xí)興趣。

（一）范德蒙德行列式、矩陣及其應(yīng)用

背景介紹：已知前四個(gè)數(shù)字為1，8， 27， 64，預(yù)測(cè)第五個(gè)數(shù)字。課堂上學(xué)生很快給出答案是125。這是因?yàn)樗麄冇^測(cè)到了數(shù)字的變化規(guī)律f（n）=n3。但對(duì)于復(fù)雜的猜字游戲我們很難立刻給出答案，例如1 ，3 ，6 ，10 的下一位數(shù)字是什么？

問題分析：事實(shí)上，數(shù)字是按照先后次序出現(xiàn)的，可以用序?qū)Γ╪， f（n））來刻畫每一個(gè)出現(xiàn)的數(shù)，既有（1，1），（2，3），（3，6），（4，10）。可基于這些點(diǎn)通過構(gòu)造一個(gè)三次多項(xiàng)式函數(shù)f（x）=c3x3+c2x2+c1x+c0來刻畫數(shù)據(jù)變化規(guī)律。因此，只需計(jì)算出常數(shù)c1，c2，c3， c0即可預(yù)測(cè)下一個(gè)數(shù)據(jù)。為此構(gòu)造方程組：

利用范德蒙德行列式計(jì)算公式和克拉默法則求解Ac=y，得出c0= c3=0，c1= c2=0.5，由此可知數(shù)字規(guī)律公式為f（n）=0.5（n2+n），f（5）=15。以上恰是數(shù)據(jù)擬合的主要過程，更特別地，在Matlab軟件內(nèi)部曲線擬合函數(shù)p=polyfit（x，y，1） 編程過程中也主要體現(xiàn)了這一點(diǎn)。

擴(kuò)展分析：猜數(shù)字游戲直覺上是找規(guī)律，背后蘊(yùn)含著線性方程組求解問題。以上預(yù)測(cè)方法巧妙利用范德蒙德行列式求構(gòu)造多項(xiàng)式函數(shù)，以冪函數(shù)作為基函數(shù)來逼近任何形式的函數(shù)，這種方法不但容易求解，而且可以使得結(jié)果具有良好的數(shù)學(xué)性質(zhì)。

下面將以指數(shù)型函數(shù)作為基函數(shù)做出逼近曲線并將兩者進(jìn)行對(duì)比。假設(shè)曲線過（1.2， 0.91），（1.5， 0.69），（1.9， 0.43）， ?（2.5， 0.27）， ?（2.6， 0.25）五個(gè)點(diǎn)，從圖像上看這些點(diǎn)位于指數(shù)函數(shù)y=3ex圖像附近。我們可基于這些點(diǎn)通過構(gòu)造一個(gè)四次多項(xiàng)式f1（x）=c4x4+c3x3+c2x2+c1x+c0，通過建立方程組可求得c4=-0.3323，c3=2.5625，c2=-6.9402，c1=7.2474，c0=-1.5320。同時(shí)選指數(shù)函數(shù)1，ex作為基函數(shù)來生成曲線逼近以上五點(diǎn)。通過求解獲得逼近曲線f2（x）=2.9427ex+0.0214，其與f1（x）對(duì)比見圖1。由圖1可以看出，盡管五個(gè)點(diǎn)位于指數(shù)函數(shù)y=3ex數(shù)的附近，但f1（x）的逼近效果要比f2（x）好。實(shí)際上還可進(jìn)一步借助逼近誤差來論述這一斷言。

（二）最大無關(guān)組及應(yīng)用

問題引入：在自然界中，大部分彩色均可由三種基色按一定比例混合而成;反之，任意一種彩色均可被分解為三種基色。作為基色的三種彩色不是唯一的，但它們之間要相互獨(dú)立，即其中任何一種基色都不能由另外兩種基色混合來產(chǎn)生。通常人眼對(duì)紅、綠、藍(lán)最為敏感，大多數(shù)的顏色可以通過紅、綠、藍(lán)作為三基色按照不同的比例合成產(chǎn)生。但是除了紅綠藍(lán)作為基色外，還可以選擇其他的三種顏色作為基色，見圖2。

問題分析：實(shí)際上圖像的每個(gè)像素點(diǎn)是一個(gè)三維向量（R， G， B），其分量值分別代表紅綠藍(lán)的分量[7]。任何像素點(diǎn)的顏色均由三個(gè)向量按照不同比例配置而成，而這三種顏色缺一不可。例如：Red=（255， 0， 0）， Green=（0， 255， 0），Blue=（0，0，255）. Yellow=Red+Green=（255， 255， 0）。與顏色組合類似，討論向量組線性關(guān)系問題時(shí)，我們希望掌握部分向量從而把握全局。這少數(shù)部分向量應(yīng)該滿足：1.不能相互代替——彼此線性無關(guān);2.其余的向量都可以用它們表示——其余向量可由這部分向量線性表示。 滿足以上兩條的向量組就是全體向量組的一個(gè)最大無關(guān)組。用數(shù)學(xué)語言表達(dá)如下：

定義引入：設(shè)存在向量組a1，a2，…， as的一個(gè)部分組ai1，ai2，…，air，滿足：

（1） ai1，ai2，…， air線性無關(guān);

（2）任意的向量ai均與ai1，ai1，ai2，…，air線性相關(guān)（等價(jià)于任意的ai均可由ai1，ai1，ai2，…，air線性表示），則稱部分組[αi1，αi2，…，αir]是向量組a1，a2，…， as的一個(gè)最大線性無關(guān)組（簡(jiǎn)稱最大無關(guān)組）。

擴(kuò)展分析：直覺上，最大無關(guān)組是選最優(yōu)代表問題，其背后是尋找向量空間基的過程。在數(shù)據(jù)挖掘中也有著類似的過程，特征選擇或?qū)傩赃x擇的目的是從已有的M個(gè)特征中選擇N（N≤M）個(gè)特征使得系統(tǒng)的特定指標(biāo)最優(yōu)化，降低數(shù)據(jù)集的維度。要求滿足選擇出的N個(gè)特征之間的重疊性盡可能小，且與類別信息關(guān)聯(lián)性較大（特征子集信息量大，冗余小）。這個(gè)原則與最大無關(guān)組很接近，但又不能直接照搬。這是因?yàn)?，不同特征向量，很少具有線性關(guān)系，往往采用其他度量方法（一致性、互熵、皮爾遜系數(shù)、依賴度和分類誤差等）作為特征選擇的衡量標(biāo)準(zhǔn)。但無論使用何種標(biāo)準(zhǔn)，其思想與最大無關(guān)組都有相似之處。

現(xiàn)以Iris數(shù)據(jù)集的特征選擇為例。Iris數(shù)據(jù)集是數(shù)據(jù)挖掘領(lǐng)域最著名的公開數(shù)據(jù)集，其中文名是安德森鳶尾花卉數(shù)據(jù)集。Iris包含150個(gè)樣本，每個(gè)樣本對(duì)應(yīng)著四個(gè)特征（花萼長(zhǎng)度、花萼寬度、花瓣長(zhǎng)度、花瓣寬度四個(gè)特征）和類別信息（山鳶尾、變色鳶尾、維吉尼亞鳶尾），所以Iris數(shù)據(jù)集是一個(gè)150行5列的二維表?，F(xiàn)在需要判斷樣本屬于山鳶尾、變色鳶尾還是維吉尼亞鳶尾。我們希望采用最少的特征來建立分類器，故需要探索各個(gè)特征的重要性。由Iris數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖（圖3）可知，花瓣長(zhǎng)度、花瓣寬度對(duì)分類貢獻(xiàn)率最大，因此只選這兩個(gè)特征來建立分類器就能達(dá)到較好的分類效果。至于花瓣長(zhǎng)度、花瓣寬度兩個(gè)特征關(guān)聯(lián)性是否較大，可采用數(shù)據(jù)挖掘中最大相關(guān)最小冗余方法進(jìn)一步探索。

提高學(xué)生的數(shù)據(jù)素養(yǎng)單單依賴課堂教學(xué)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，在提升他們學(xué)習(xí)興趣的同時(shí)，應(yīng)考慮如何給學(xué)生提供一個(gè)提升數(shù)據(jù)素養(yǎng)能力的重要途徑。這需要將教學(xué)和科研、生產(chǎn)實(shí)踐有效地結(jié)合起來，讓學(xué)生廣泛參與到科研活動(dòng)中。在課后可以以專業(yè)實(shí)驗(yàn)室和科研課題為依托，以通識(shí)教育為主，深入剖析基本理論適用價(jià)值及數(shù)據(jù)信息提取的意義;對(duì)于掌握了統(tǒng)計(jì)學(xué)的基本知識(shí)和計(jì)算軟件的學(xué)習(xí)者，可以以課外實(shí)踐訓(xùn)練為主，鼓勵(lì)學(xué)生參與教師的課題進(jìn)行探索達(dá)到對(duì)實(shí)際數(shù)據(jù)的理解、推理、發(fā)現(xiàn)和建模決策能力。

五、結(jié)論

本文以實(shí)例為背景探索了引入線性代數(shù)相關(guān)定義及計(jì)算方法的教學(xué)模式，通過搭建線性代數(shù)與數(shù)據(jù)分析的橋梁，使得學(xué)生直觀體會(huì)到線性代數(shù)在數(shù)據(jù)分析中的重要性，并加以概念化掌握理論知識(shí)點(diǎn)，了解解決實(shí)際問題的方法。在各章節(jié)的教學(xué)中，通過將相關(guān)的算法思想和實(shí)際應(yīng)用案例貫串其中，潛移默化，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)素養(yǎng)，使其自覺地去認(rèn)識(shí)與體驗(yàn)數(shù)據(jù)處理的方法。這不僅有助于提升學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，更有益于學(xué)生今后的職業(yè)發(fā)展。然而，目前的線性代數(shù)知識(shí)對(duì)于大數(shù)據(jù)和人工智能所需的理論基礎(chǔ)還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，那些涉及矩陣論與優(yōu)化算法相關(guān)知識(shí)的實(shí)驗(yàn)活動(dòng)可作為課外擴(kuò)展來進(jìn)行。

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[責(zé)任編輯：林志恒]