圓形薄膜預(yù)應(yīng)力測(cè)量

譚昭 ，吳時(shí)彬 ，楊偉 ，翟嘉

(1.中國(guó)科學(xué)院光電技術(shù)研究所，成都 610209； 2.中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京 100049)

高分子薄膜厚度薄、質(zhì)量輕、種類多，在微電子領(lǐng)域可作為敏感元件及半導(dǎo)體器件等各種器件，是實(shí)現(xiàn)器件和系統(tǒng)微型化的有效的技術(shù)手段之一[1]。薄膜內(nèi)應(yīng)力的分布能夠直接影響微電子薄膜器件的壽命及性能。在光學(xué)方向，薄膜可作為反射膜、干涉濾波片等[2]。美國(guó)于2010 年開(kāi)展了衍射薄膜成像項(xiàng)目(“MOIRE”計(jì)劃)。衍射薄膜是將以衍射光學(xué)為工作原理的菲涅爾透鏡制作在薄膜基底上的光學(xué)元件，具有質(zhì)量輕、厚度薄、公差容限大等優(yōu)點(diǎn)[3]。

無(wú)論對(duì)于哪種類型的薄膜來(lái)說(shuō)，結(jié)構(gòu)剛度都是一個(gè)十分重要的參數(shù)。而薄膜是柔性體，它的結(jié)構(gòu)剛度主要取決于邊緣幾何外形和預(yù)應(yīng)力水平[4]。所以在應(yīng)用時(shí)預(yù)先施加合理大小的預(yù)應(yīng)力對(duì)薄膜后續(xù)使用十分重要。而且預(yù)應(yīng)力不僅與薄膜的成型和使用壽命息息相關(guān)，其引起的形變也會(huì)影響薄膜光學(xué)性能與力學(xué)性能[5–6]，所以測(cè)量預(yù)應(yīng)力是薄膜的一個(gè)重要課題。如今薄膜的應(yīng)力檢測(cè)技術(shù)主要分為以下幾種方法：

(1) 1906 年 Stoney 提出經(jīng)典的 Stoney 公式。Stoney 公式主要描述了薄膜應(yīng)力變化與引起的基底曲率變化之間的關(guān)系。由此衍生了Stoney 公式法利用測(cè)量基底曲率變化來(lái)測(cè)量薄膜殘余應(yīng)力的方法?；浊史?、激光干涉法、光柵反射法等均是Stoney 公式法的一種[7]。但這類方法比較適合測(cè)量薄膜成型中或者成型后的應(yīng)力，對(duì)后期薄膜無(wú)基底應(yīng)用時(shí)的預(yù)應(yīng)力無(wú)法進(jìn)行測(cè)量。

(2) X 射線衍射法是通過(guò)測(cè)量應(yīng)力引起的點(diǎn)陣間距變化所導(dǎo)致的彈性應(yīng)變轉(zhuǎn)換為應(yīng)力的測(cè)量方法[5]。微觀拉曼光譜法是利用激光拉曼光譜技術(shù)標(biāo)定出纖維所受應(yīng)變與拉曼光譜頻率位移之間的關(guān)系來(lái)測(cè)量薄膜應(yīng)力[8]。這類方法是通過(guò)測(cè)量微觀變化量再轉(zhuǎn)化成應(yīng)力大小，使用的儀器大多比較昂貴，并且對(duì)薄膜的材料特性有一定的要求。

(3)應(yīng)力應(yīng)變片是通過(guò)貼在被測(cè)物上，通過(guò)測(cè)量被測(cè)物應(yīng)變變化來(lái)計(jì)算應(yīng)力大小，在應(yīng)力測(cè)量方面有廣泛的應(yīng)用。但是應(yīng)力應(yīng)變片是接觸式的測(cè)量，對(duì)于柔性體的薄膜來(lái)說(shuō)，使用時(shí)十分容易使薄膜產(chǎn)生褶皺，影響測(cè)量結(jié)果，同時(shí)會(huì)影響到薄膜后續(xù)使用。

(4)拉伸法是在薄膜邊緣節(jié)點(diǎn)處安裝載荷傳感器，拉伸薄膜直接測(cè)出應(yīng)力的大小。這樣直接測(cè)出的應(yīng)力數(shù)據(jù)可靠性高，但是測(cè)量的是薄膜的變化量，而且有時(shí)可能對(duì)薄膜造成破環(huán)。

(5) 2001 年日本尼康株式會(huì)社的鈴木用掩模版膜內(nèi)應(yīng)力測(cè)試裝置及方法向美國(guó)申請(qǐng)專利[9]。介紹了薄膜對(duì)沖擊響應(yīng)產(chǎn)生的振動(dòng)頻率反饋推算出薄膜預(yù)應(yīng)力的測(cè)量方法。日本鹿島建設(shè)株式會(huì)社運(yùn)用了薄膜對(duì)均勻載荷產(chǎn)生的位移變化推測(cè)應(yīng)力的位移法[10]。這兩種方法無(wú)需對(duì)薄膜進(jìn)行破環(huán)就可以測(cè)得薄膜應(yīng)力，缺點(diǎn)是對(duì)薄膜前期的建模、標(biāo)定及邊界的設(shè)定條件比較難。

而對(duì)于裝配好的薄膜來(lái)說(shuō)，需要一種不會(huì)影響到薄膜后續(xù)使用的無(wú)損測(cè)量方法。而且使用中的薄膜無(wú)法主觀直接改變預(yù)應(yīng)力的大小，需要測(cè)量應(yīng)力絕對(duì)值的方法。對(duì)于這兩點(diǎn)需求，應(yīng)力應(yīng)變片、拉伸法、微觀拉曼光譜法等方法都不適用。位移法和頻率測(cè)試法是一種無(wú)損測(cè)量薄膜應(yīng)力絕對(duì)值的方法，其中位移法控制的變量相比于頻率測(cè)試法更少，實(shí)驗(yàn)更加簡(jiǎn)單。

對(duì)于不同材料和形狀的薄膜，位移法都需要前期的建模與標(biāo)定實(shí)驗(yàn)。日本鹿島建設(shè)株式會(huì)與同濟(jì)大學(xué)等均對(duì)建筑上矩形薄膜進(jìn)行了分析與實(shí)驗(yàn)[11–12]。重慶大學(xué)的吳建梁等對(duì)圓形薄膜進(jìn)行了理論分析但是缺少實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證部分[12–13]。

筆者主要是利用位移法測(cè)量圓形薄膜預(yù)應(yīng)力?？紤]理論與實(shí)驗(yàn)的結(jié)合。首先設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)利用密封腔改變對(duì)薄膜作用的均勻載荷，測(cè)量得出均勻載荷下薄膜的中心撓度。然后用有限元軟件ABAQUS 建立的模型求出預(yù)應(yīng)力的有限元解，再利用理論方程建立模型求出中心位移，與實(shí)驗(yàn)及有限元解進(jìn)行對(duì)比，判斷位移法能否應(yīng)用于圓形聚酰亞胺薄膜預(yù)應(yīng)力的測(cè)量。

1 理論計(jì)算圓形薄膜預(yù)應(yīng)力

Von Karman 于1910 年提出薄板大撓度理論的微分方程——Von Karman’s 方程。隨著工業(yè)的發(fā)展，理論模型在不斷完善[13–15]。圖1 為薄膜受力簡(jiǎn)圖，其中r是薄膜徑向坐標(biāo)，取值0～R(半徑)；q是施加的均勻載荷。

圖1 薄膜受力簡(jiǎn)圖

根據(jù)Von Karman’s 方程，推導(dǎo)出施加均勻預(yù)張力圓薄膜的基本方程與圓薄膜變形協(xié)調(diào)方程見(jiàn)式(1)、式 (2)[15]。

式中：Nr是薄膜單位長(zhǎng)度徑向力；w是撓度；E是彈性模量；h是薄膜厚度。

邊界條件：r=R時(shí)，w=0，u=0，u為薄膜徑向位移。r=0 時(shí)，Nr有限。引入無(wú)量綱變量：

其中N0為預(yù)應(yīng)力；υ為泊松系數(shù)。

則方程(1)與方程(2)可以改寫并合并為：

薄膜邊界條件為：當(dāng)x=1 時(shí)，2(xSr)′– (1+υ)(xSr)=S0(1–υ)；當(dāng)x= 0 時(shí)，Sr有限。

方程(9)在邊界條件下的解為

其中

a是預(yù)緊力與泊松比以及測(cè)量點(diǎn)位置決定的參數(shù)，可通過(guò)計(jì)算求解。

可由式(10)求得a后，再將a代入式(12)求得S0，可得預(yù)應(yīng)力大小。反之也可求得相應(yīng)預(yù)應(yīng)力下的薄膜中心位移。

2 有限元分析

在數(shù)學(xué)中，有限元法是一種為求解偏微分方程邊值問(wèn)題近似解的數(shù)值技術(shù)。有限元不僅計(jì)算精度高，而且能適應(yīng)各種復(fù)雜形狀，因而成為行之有效的工程分析手段。而ABAQUS 是一套功能強(qiáng)大的工程模擬有限元軟件，可以解決從相對(duì)簡(jiǎn)單的線性分析到許多復(fù)雜的非線性問(wèn)題。

考慮到薄膜結(jié)構(gòu)的特殊性采用ABAQUS 中的三維殼單元建立模型。賦予模型相對(duì)應(yīng)的參數(shù)見(jiàn)表1。通過(guò)靜力通用分析步對(duì)薄膜邊緣施加均勻徑向邊載荷，模擬薄膜預(yù)應(yīng)力。運(yùn)用動(dòng)力隱式的分析步對(duì)薄膜施加壓強(qiáng)，使用三角形的自由網(wǎng)格對(duì)薄膜進(jìn)行網(wǎng)格劃分。有限元模型的網(wǎng)格劃分見(jiàn)圖2。

表1 薄膜材料參數(shù)

圖2 有限元模型網(wǎng)格劃分示意圖

利用邊載荷施加1 MPa 預(yù)應(yīng)力，薄膜面內(nèi)應(yīng)力分布見(jiàn)圖3a。確認(rèn)薄膜施加邊緣載荷后薄膜面內(nèi)應(yīng)力分布均勻，可以用此方法模擬預(yù)應(yīng)力的施加。在面上施加10 Pa 均勻壓強(qiáng)，通過(guò)后處理程序查看薄膜面內(nèi)位移，見(jiàn)圖3b，薄膜中心位移為0.316 5 mm。

圖3 薄膜面內(nèi)應(yīng)力分布及位移分布

3 實(shí)驗(yàn)測(cè)量預(yù)應(yīng)力

實(shí)驗(yàn)使用的薄膜為聚酰亞胺薄膜，與有限元分析對(duì)象一致，薄膜參數(shù)見(jiàn)表1。為了對(duì)薄膜施加均勻載荷，將薄膜的一面密封形成一個(gè)密封腔，利用氣壓缸改變密封腔內(nèi)壓強(qiáng)，產(chǎn)生的壓強(qiáng)q為均勻載荷，用壓差表測(cè)量壓強(qiáng)q。利用測(cè)距儀測(cè)量薄膜中心撓度產(chǎn)生位移變化y0，記錄薄膜中心點(diǎn)的位移數(shù)據(jù)。圖4 為實(shí)驗(yàn)原理示意圖。

圖4 實(shí)驗(yàn)原理示意圖

將裝配好的薄膜一面與一個(gè)口徑和薄膜框口徑相同的鋼板相連接。并用密封膠將空隙補(bǔ)好形成一個(gè)密封腔。采用德國(guó)德圖testo510 壓差表測(cè)量氣壓值，精度為1 Pa。利用氣壓缸向密封腔內(nèi)充入一定的空氣，形成與外界的壓強(qiáng)差。經(jīng)過(guò)一段時(shí)間確保壓強(qiáng)無(wú)變化來(lái)證明所形成的空間的密封性。連接好儀器，壓差表歸零，利用氣壓缸改變密封腔內(nèi)壓強(qiáng)。每增減5 Pa 壓強(qiáng)記錄測(cè)距儀的數(shù)據(jù)及對(duì)應(yīng)的壓強(qiáng)。測(cè)距儀采用基恩士LK–H022K 型，精度為0.001 mm。圖5 為實(shí)驗(yàn)裝置圖。

圖5 實(shí)驗(yàn)裝置圖

表2 為實(shí)驗(yàn)得出的結(jié)果，其中數(shù)據(jù)1 與2 是第一組預(yù)應(yīng)力下的兩組重復(fù)實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)；數(shù)據(jù)3 與數(shù)據(jù)4 是第二組預(yù)應(yīng)力下的數(shù)據(jù)。

表2 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

4 結(jié)果與分析

得到數(shù)據(jù)后，進(jìn)行以下幾步數(shù)據(jù)的處理計(jì)算。

(1)任選一個(gè)壓強(qiáng)下的薄膜中心位移數(shù)據(jù)作為基準(zhǔn)，運(yùn)用有限元求出對(duì)應(yīng)的預(yù)應(yīng)力。

例如，數(shù)據(jù)2 中，在40 Pa 壓強(qiáng)下薄膜中心位移為0.163 mm。利用有限元求出薄膜預(yù)應(yīng)力為7.933 MPa。圖6 是有限元應(yīng)力分布及位移分布圖。

(2)改變壓強(qiáng)，用有限元計(jì)算在該預(yù)應(yīng)力下其它壓強(qiáng)對(duì)應(yīng)的薄膜中心位移。

圖6 有限元應(yīng)力分布及位移分布

(3)計(jì)算在該預(yù)應(yīng)力下，薄膜在各個(gè)壓強(qiáng)下的中心位移的解析解。

例如，將預(yù)應(yīng)力N0=7.933 MPa，壓強(qiáng)q=40 Pa及薄膜參數(shù)帶入公式(7)、公式(8)可求出Q=194 100，S0= –1 237 600。

再將參數(shù)帶入公式(12)為：

求得a=2.0×10–8，以及待求的為薄膜中心位移x=0。將參數(shù)代入式(10)求得薄膜中心位移y為0.159 mm。

(4)另選擇一組或者幾組數(shù)據(jù)重復(fù)(1)～(3)步驟，確認(rèn)數(shù)據(jù)的可靠性。

例如，20 Pa 壓強(qiáng)下薄膜中心位移為0.083 mm，有限元求出薄膜預(yù)應(yīng)力為7.794 MPa。再求出在對(duì)應(yīng)預(yù)應(yīng)力不同壓強(qiáng)下的薄膜中心位移的解析解及有限元解。

(5)將上述計(jì)算數(shù)據(jù)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比。表3 為第一組預(yù)應(yīng)力下的數(shù)據(jù)計(jì)算結(jié)果，其中A 為7.933 MPa 預(yù)應(yīng)力下的薄膜中心位移的有限元解，B 為7.933 MPa 下的薄膜中心位移的解析解，C 為7.794 MPa 下的薄膜中心位移的有限元解，D 為7.794 MPa 下的薄膜中心位移的解析解。圖7 為實(shí)驗(yàn)與計(jì)算結(jié)果的對(duì)比散點(diǎn)圖。

第二組預(yù)應(yīng)力下運(yùn)用相同的方法進(jìn)行計(jì)算。由數(shù)據(jù)4 得出在35 Pa 壓強(qiáng)下薄膜中心撓度為0.209 mm，有限元計(jì)算預(yù)應(yīng)力為5.468 MPa；45 Pa 壓強(qiáng)下薄膜中心撓度為0.258 mm，有限元計(jì)算預(yù)應(yīng)力大小為5.694 MPa。再進(jìn)行不同壓強(qiáng)下的薄膜中心撓度的計(jì)算，圖8 為結(jié)果對(duì)比圖，其中E 為5.468 MPa 下的薄膜中心位移的有限元解，F(xiàn) 為5.468 MPa 下的薄膜中心位移的解析解，G 為5.694 MPa 下的薄膜中心位移的有限元解，H 為5.694 MPa 下的薄膜中心位移的解析解。

表3 數(shù)據(jù)計(jì)算結(jié)果

圖7 第一組預(yù)應(yīng)力下實(shí)驗(yàn)與計(jì)算結(jié)果的對(duì)比散點(diǎn)圖

圖8 第二組預(yù)應(yīng)力下實(shí)驗(yàn)與計(jì)算結(jié)果的對(duì)比散點(diǎn)圖

通過(guò)上述理論與實(shí)驗(yàn)的驗(yàn)證，在同樣大小的均勻載荷下，理論模型與有限元模型計(jì)算的中心位移誤差均在6%以內(nèi)。在取不同的壓強(qiáng)組作為計(jì)算預(yù)應(yīng)力的參考值時(shí)，預(yù)應(yīng)力的差值也在2%以內(nèi)。

5 結(jié)論

(1) Von Karman’s 方程可以用于大徑厚比的高分子薄膜材料，可以通過(guò)這個(gè)方程計(jì)算均勻壓強(qiáng)下的薄膜中心撓度變化，利用方程推算薄膜預(yù)應(yīng)力的方法能夠應(yīng)用于實(shí)際的薄膜上。

(2)從原理上實(shí)現(xiàn)了薄膜預(yù)應(yīng)力的無(wú)損測(cè)量，無(wú)需和薄膜有相應(yīng)的接觸，任選幾組壓強(qiáng)可求出薄膜預(yù)應(yīng)力，不會(huì)導(dǎo)致載荷過(guò)大對(duì)薄膜產(chǎn)生破環(huán)。

(3)位移法測(cè)量的是薄膜應(yīng)力的絕對(duì)值，而不是拉伸法或者應(yīng)力應(yīng)變片等方法測(cè)量的變化量。在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，對(duì)于已經(jīng)裝配好的薄膜鏡來(lái)說(shuō)，無(wú)法改變薄膜預(yù)應(yīng)力，但是需要判斷裝配好的薄膜的預(yù)應(yīng)力是否與預(yù)期施加的預(yù)應(yīng)力符合，可以通過(guò)均勻載荷下測(cè)量中心撓度的方法來(lái)驗(yàn)證薄膜的預(yù)應(yīng)力是否與預(yù)期相符合，也可以通過(guò)這種方法測(cè)量薄膜長(zhǎng)時(shí)間使用后預(yù)應(yīng)力的變化來(lái)判斷薄膜是否失效。