基于3D圖像重現(xiàn)的熔融二氧化硅的形態(tài)研究

祝子為 滕世宇 趙浩天

摘 要：本文基于SFS模型和邊緣檢測技術(shù)對二氧化硅的實際熔化速率進行定量分析，并得出二氧化硅在1 500 ℃條件下的熔化速率，然后推知其晶體構(gòu)成等理化性質(zhì)。希望本文能為學(xué)者研究二氧化硅晶體變化提供借鑒。

關(guān)鍵詞：邊緣檢測;圖像處理;卷積;SFS

Abstract： In this paper， based on SFS model and edge detection technology， the actual melting rate of silicon dioxide was quantitatively analyzed， and the melting rate of silicon dioxide at 1 500 ℃ was obtained， and then the physical and chemical properties such as crystal composition were deduced. It is hoped that this paper can provide reference for scholars to study the change of silica crystal.

Keywords： edge detection;image processing;convolution;SFS

本文的研究目標(biāo)是描述1 500 ℃條件下二氧化硅的形態(tài)變化。通過分析二氧化硅晶體在高溫下變化的一系列彩色圖像，從不同角度來描述即將熔融的二氧化硅晶體的物理性質(zhì)。根據(jù)從平面圖像中提取的一系列數(shù)據(jù)構(gòu)建其3D模型，從而計算出熔化速率，然后推知其晶體構(gòu)成等理化性質(zhì)?？梢哉f，這項實驗對研究二氧化硅晶體的變化來說意義重大。

1 二氧化硅圖像的預(yù)處理

通過設(shè)置在坩堝上方的攝像頭拍攝二氧化硅的彩色圖像，完成圖像大小的規(guī)格化操作后進行灰度處理，可以得到灰度圖像（見圖1）。將得到的灰度圖像通過Sobel算子進行邊緣提取，再利用圖像像素調(diào)整法調(diào)整圖像，以獲得比較清晰的邊緣。上述過程循環(huán)多次后，可以獲得清晰的邊緣。循環(huán)的次數(shù)和像素調(diào)整的參數(shù)根據(jù)圖像的不同而進行修改。最后將所得圖像進行二值化處理，為后續(xù)SFS模型處理做好準(zhǔn)備。

1.1 灰度處理

圖1為將拍攝的照片進行灰度處理后的圖片。整個數(shù)據(jù)集共有101幅圖像，研究者展示了其中4幅進行說明。

1.2 邊緣檢測與提取

邊緣是圖像中點與線的集合，亦是一組像素點的集合。在灰度圖像中，這些點具有一個共同特性，即像素值在該點處出現(xiàn)了突變。

筆者用像素值將一幅圖像量化，也就是說，一幅圖像現(xiàn)在可以用一個矩陣來表示，該矩陣稱為像素值矩陣。

對于灰度圖像，研究者可以通過微調(diào)灰度值，使圖像突顯其邊緣。對于輪廓較為明顯的灰度圖像，可以按照一定的映射關(guān)系調(diào)整圖像的像素值，以使目標(biāo)物的像素值較為接近，再利用數(shù)次卷積，便可以檢測到較為清晰的邊緣。

為了提取圖像的邊緣，研究者需要借助濾波器。這類濾波器以矩陣的形式存在，通常被稱為卷積核。

在數(shù)學(xué)定義中，研究者把計算兩個函數(shù)無窮積分的方法稱為卷積。卷積的離散定義為：

由卷積定理可以得出以下結(jié)論：在一個域中進行卷積處理，與在另一個域中進行的乘法運算是相互等價的[2]。因此，用卷積處理圖像是最科學(xué)的一種手段。

除此之外，需要將卷積操作進行簡化，即將之等價于一個加權(quán)求和的過程?？紤]進行卷積的兩個函數(shù)[h]和[k]，如果把函數(shù)[h]當(dāng)作描述圖像的函數(shù)，把函數(shù)[k]當(dāng)作區(qū)間的指標(biāo)數(shù)，這時卷積的運算結(jié)果實際上是一種擴展的“滑動平均”。

通常情況下，使用一個維度較小的矩陣作為卷積的權(quán)值，這個矩陣的維度要與操作對象的維度一樣，而且其元素的個數(shù)應(yīng)為奇數(shù)[3]。我們將這個權(quán)重矩陣稱為卷積核。相比于整個圖像像素值矩陣，卷積核的維度應(yīng)遠小于該矩陣的維度。在進行卷積處理時，將卷積核中的每個元素與圖像的像素值矩陣中所對應(yīng)的像素逐一相乘，并將所有的乘積求和，將這個值賦值給圖像中該區(qū)域的中心像素。

如此反復(fù)，就可以遍歷整個圖像的像素值矩陣，通過卷積運算，將整個像素值矩陣的值更新一次。通過改變卷積核的維度和數(shù)值，經(jīng)過合適次數(shù)的卷積運算后，就可以提取圖像的邊緣。

成熟的卷積核有Robert算子、Sobel算子、Prewitt算子、Laplacian算子等?？紤]到實際處理情況，本文經(jīng)過多次效果評估，選用Sobel算子進行邊緣提取。

Sobel算子是計算機視覺領(lǐng)域的一種重要處理方法，主要用于獲得數(shù)字圖像的一階梯度。Sobel算子根據(jù)像素點上下、左右鄰點灰度的加權(quán)差，在邊緣處達到極值這一現(xiàn)象來檢測邊緣。對噪聲具有平滑作用，提供較為精確的邊緣方向信息，邊緣定位精度不夠高。當(dāng)對精度要求不是很高時，是一種較為常用的邊緣檢測方法。Sobel算子在水平方向和垂直方向上的卷積核如式（2）和式（3）所示：

通過利用像素值調(diào)整方法和Sobel算子的卷積運算，研究者得到了邊緣提取后的灰度圖像，這時的二氧化硅晶體的形態(tài)已被強化。

1.3 二值化

二值化就是將圖像上的像素點的灰度值設(shè)置為0或255，使整個圖像呈現(xiàn)出明顯的黑白效果的過程。在數(shù)字圖像處理過程中，二值圖像占有非常重要的地位，圖像的二值化使圖像中數(shù)據(jù)量大為減少，從而凸顯出目標(biāo)的輪廓。經(jīng)過多次邊緣提取操作后，對其進行二值化操作。為了更好地勾勒出晶體的輪廓，研究者先取得原圖像的負(fù)色圖像，然后將負(fù)色圖像的像素值和邊緣圖像疊加，此時邊緣處的像素值較低，非邊緣處的像素值較高。最后，使用二值化的方法對合成圖像進行處理，即將像素值超過200的像素點均設(shè)為255，像素值低于200的像素點均設(shè)為0。這樣處理后，二氧化硅晶體的大致形態(tài)由黑色區(qū)域呈現(xiàn)。圖像二值化的關(guān)鍵在于確定閾值。在實驗中，200是經(jīng)過多次試驗之后得到的一個效果較好的經(jīng)驗值。

由于圖片中的坩堝顏色和二氧化硅顏色相近，因此，研究者進行人工降噪，截取圖像中合適的比例，將坩堝邊緣部分刪除，從而提高邊緣提取的準(zhǔn)確性。經(jīng)過準(zhǔn)確的人工降噪處理后，研究者得到了如圖2（b）所示的黑白圖像。

借助MATLAB等工具，可以計算出黑色部分的面積和周長。對整個數(shù)據(jù)集分別進行上述處理，得到了熔化過程中截面積的變化。這為下一步計算體積提供了數(shù)據(jù)。

2 SFS算法的理論與模型

通過提取邊緣得到的物理數(shù)據(jù)，研究者得到了平面數(shù)據(jù)。若要建立3D數(shù)據(jù)模型，需要求出平面坐標(biāo)系中每個像素點的高度值。SFS是一種計算高度值的算法，通過構(gòu)建光源和圖像的關(guān)系，計算三個重要參數(shù)——傾角[φ]、偏角[θ]和圖像灰度的導(dǎo)數(shù)，通過這三個參數(shù)可以計算出預(yù)測的高度值，然后通過繪圖計算，得到最終的結(jié)果。

研究者已經(jīng)獲取了每幅圖片中二氧化硅熔融物在圖片中的位置、面積等物理數(shù)據(jù)，要想得到晶體的體積變化，需要計算每個像素點的高度值。研究者以圖片對應(yīng)的平面為xOy平面、攝像機鏡頭的方向為[z]軸建立坐標(biāo)系，根據(jù)此坐標(biāo)系建立物質(zhì)的3D模型。

2.1 將成像坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換為光源坐標(biāo)系

在球形坐標(biāo)系中，球面上的一點[P]可以不僅用[x，y，z]坐標(biāo)表示，也可以用傾角[φ]、偏角[θ]來表示。如圖3所示，保持[z]軸坐標(biāo)不變，從[z]軸正方向觀看坐標(biāo)系，[P]點在[XY]平面旋轉(zhuǎn)了[θ];保持[y]軸坐標(biāo)不變，從[y]軸正方向觀看坐標(biāo)系，[P]點在[XZ]平面旋轉(zhuǎn)了[φ]。

設(shè)平行光源是從[P]點射入球形坐標(biāo)系的，則可以用傾角[φs]和偏角[θs]來刻畫光源的位置。首先要將成像坐標(biāo)系[xyz]轉(zhuǎn)換為光源坐標(biāo)系[uvw]，該過程需要計算變換矩陣。

2.2 計算圖片灰度值的梯度

具有純漫反射特性的曲面，當(dāng)從任意角度觀察時，其亮度都是一致的，我們稱這種反射體為朗伯體。在實驗中，假設(shè)二氧化硅晶體為朗伯體，方可使用朗伯體模型來求解梯度值。朗伯體余弦定理指出，朗伯體表面一點反射的光強與該點光源的入射角的余弦值成正比[4]。本文用式（7）來刻畫這個定理：

為了計算每個像素點的高度值，有必要計算出圖像在[x]軸方向和[y]軸方向上的一階偏導(dǎo)數(shù)，即梯度值。研究者用[Ex]表示在[x]軸方向上的梯度;用[Ey]表示在[y]軸方向上的梯度。

基于朗伯體的SFS求解算法要求將物體表面的形狀作為附加約束條件，根據(jù)該條件建立正則化的數(shù)學(xué)模型。在解決該問題時，研究者應(yīng)用了局部曲面近似的方法。假設(shè)物體表面一點的曲面元近似為球面上一點，在成像坐標(biāo)系中考慮一個球面：

2.3 物體表面一點法向量的偏角[θ]

2.4 物體表面一點法向量的傾角[φ]

由成像坐標(biāo)系與光源坐標(biāo)系的關(guān)系可知，物體表面一點法向量的傾角[φ]和朗伯體余弦定理中的[φ]含義是一樣的。在整個球面上，一定存在一點，該點的法向量與光源的方向矢量重合，此時[φ=0]，則該點的灰度值取為最大值[Iρ]。在光源方向向量已知的情況下，圖像中灰度值最大點的法向量也隨之確定。設(shè)圖像中一點的灰度值為[Ei]，可得出：

2.5 物體表面一點法向量

2.6 圖片中像素點的高度值

求得每一像素點的法向量后，需要根據(jù)法向量計算高度值。由于法向量只能描述物體的形狀特點，因此，研究者建立了法向量和高度值的關(guān)系。將每個像素點通過式（21）計算歸一化灰度值：

3 實驗結(jié)果

設(shè)光源方向是垂直于圖像所在平面向內(nèi)的，由此可以計算出物體表面每一點的高度值。至此，研究者重構(gòu)了二氧化硅熔融物的模型，從而可以計算出融化速率。

從圖4可知，在0～10 s，晶體出現(xiàn)了一個短暫的膨脹過程，該過程由受熱引起;然后是一個逐漸熔化的過程，該熔化速率先快后慢，熔化速率的變化點大約在53 s;此后晶體的體積以一個較慢的熔化速率變小，直至完全熔化。較快的熔化速率為0.007 mm3/s左右，較慢的熔化速率為0.001 5 mm3/s左右。

對于照相機從同一角度拍攝的二氧化硅晶體在等時間間隔下的熔化過程，研究者通過結(jié)合邊緣檢測和SFS算法等圖像處理技術(shù)，重現(xiàn)了其熔化過程，從而計算了其熔化速率。

參考文獻：

[1]吳曦.基于MATLAB的圖像邊緣檢測算法的研究和實現(xiàn)[D].長春：吉林大學(xué)，2014.

[2]熊文杰，王勉，鄺先飛.對卷積定理的再認(rèn)識[J].南昌高專學(xué)報，2011（4）：179，186.

[3]邢國泉，劉柱，李義兵，等.Matlab在醫(yī)學(xué)圖像分割處理中的應(yīng)用[J].中國醫(yī)學(xué)影像學(xué)雜志，2008（6）：453-455.

[4]范桂杰.基于單幅圖像的三維形貌恢復(fù)研究[D].青島：山東科技大學(xué)，2005.

[5]樸磊.基于單幅圖像的三維形貌恢復(fù)方法研究[D].大連：大連理工大學(xué)，2007.