復雜周期信號合成的可操作性分析

常伯樂 李偉星

摘 要：信息技術的發(fā)展離不開其理論的發(fā)展，從模擬信號到數(shù)字信號，信息化時代的發(fā)展極大地依賴數(shù)字信號處理技術的發(fā)展。信號的合成是數(shù)字信號處理中至關重要的方面。自邏輯電路發(fā)展而來的現(xiàn)代信息處理技術可以在計算機中建立各種理論的仿真模型，為科學研究提供了極大便利。信號處理的優(yōu)劣直接影響研究質量的好壞，不穩(wěn)定的信號源對試驗結果的影響是無法估量的，而數(shù)字信號注定了其離散的特性。因此，解決數(shù)字信號離散與實際信號連續(xù)的矛盾是信號處理中重要的課題，而復雜數(shù)字信號的生成又是其中重要的部分。

關鍵詞：數(shù)字信號;信號合成;方波信號;傅里葉級數(shù)

Abstract： The development of information technology is inseparable from the development of its theory， from analog signals to digital signals， the development of the information age is greatly dependent on the development of digital signal processing technology. The synthesis of signals is an important aspect in digital signal processing. Modern information processing technology developed from logic circuits can establish various theoretical simulation models in computers， which provides great convenience for scientific research. The quality of signal processing directly affects the quality of the research， the influence of unstable signal sources on the test results is inestimable， and digital signals are destined for their discrete characteristics. Therefore， solving the contradiction between discrete digital signals and continuous continuous signals is an important issue in signal processing， and complex digital signal generated is one important part.

Keywords： digital signal;signal synthesis;square wave signal;Fourier series

正弦信號是最基礎的信號之一，通過基礎信號合成復雜信號，是信號合成的基本方向之一，而其可操作性是本文的主要研究目標。本文首先通過數(shù)學方法求解周期信號的傅里葉級數(shù)展開式，建立簡單信號合成復雜信號的理論模型，以此理論模型為指導，從時域和頻域兩個方面出發(fā)，對方波信號與其傅里葉級數(shù)展開式進行模擬仿真試驗，探討合成信號與理想狀態(tài)的方波信號的相似性。在驗證理論和實際的一致性的過程中，尋找影響簡單信號合成復雜信號的可操作性的因素。借助數(shù)學工具與MATLAB進行研究是本文的試驗基礎，通過設立試驗唯一變量項數(shù)[n]控制試驗，利用方波信號能較好地表現(xiàn)出信號合成諸多問題這一特性，最終通過試驗數(shù)據(jù)與理論推導尋找問題的優(yōu)化與解決方案，進而可以評估出信號合成的可操作性。

1 信號合成的數(shù)學模型建立

傅里葉分析法是變換域分析法的基石。信號的合成與分解離不開傅里葉級數(shù)的計算，將信號轉變?yōu)閷暮瘮?shù)模型進行分析是研究信號的基本方法之一，因此信號的合成與分解實質上可以視為函數(shù)的級數(shù)展開[1]。從級數(shù)的角度來看，一個復雜的函數(shù)可以分解為簡單函數(shù)的多項式之和，這為信號的合成與分解提供了主要的思路，即傅里葉變換，將信號擴展到頻域上來分析，這為簡單信號合成復雜信號、復雜信號分解為簡單信號提供了明確的方法。通過對信號進行傅里葉變換，人們可以把時域信號變?yōu)轭l域信號，將復雜的信號放在頻域上分析。往往在時域上表現(xiàn)復雜的信號，其諸多特性在頻域上的表現(xiàn)卻更為直觀。

任何周期為[T]的函數(shù)，在滿足Dirichlet條件時，可以展開為傅里葉級數(shù)[2]。

Dirichlet條件如下：在一周期內，連續(xù)或只有有限個第一類間斷點;在一周期內，極大值和極小值的數(shù)目應是有限個;在一周期內，信號是絕對可積的，即

通過式（3）可以得到結論，方波信號可以表示為與其同周期的基波分量與頻率為基波頻率整數(shù)倍的各次諧波分量之和。理想方波信號與其對應合成信號的模型分別建立完畢，在模擬仿真中，若能證明[Ft]等于或約等于[Gt]，則可以證得理想方波信號是可以由[Gt]模型所對應的各次正弦信號疊加合成而來。

2 合成信號與理想信號的時域、頻域分析

對理想方波信號[Ft]和其展開式[Gt]進行模擬，可以得到兩者在時域中的信號波形，定義理想方波信號周期[T]=7，[A]=1，通過MATLAB得到其理想的函數(shù)圖像，此圖像可以視為理想方波信號的數(shù)學模型[4]。根據(jù)小節(jié)1建立的合成信號模型[Gt]可知，無窮多項疊加才可得到方波信號，因此，暫取方波信號的前四個信號分量，即基波與其后三、五、七次諧波，同時將四個分量帶入[Gt]模型中，通過MATLAB生成其信號時域圖像[5]，如圖1所示。

由圖1能夠看出，四個信號分量合成后的信號圖像類似于方波信號，增加參與合成的分量，各次諧波所疊加出來的信號有向方波信號靠攏的趨勢。因為這里只取了展開式前四個分量進行了合成，因此若參與合成的信號分量足夠多，其合成信號將無限接近理想方波信號。為了直觀地觀察合成信號與原方波信號的相似度，將兩信號的時域圖像放于同一坐標系中觀察，并設合成信號模型[Gt]的項數(shù)為[n]，則可以通過增大[n]值來討論合成信號的變化趨勢。將[n]作為變量，分別取值7和50，通過MATLAB進行仿真，如圖2、圖3所示。

隨著[n]值的增大，合成信號的圖像越來越趨近于理想方波信號的圖像，在[n]=50時已經可以將合成信號近似看作方波信號，其邊緣有明顯的起伏。這里設項數(shù)[n]值為頻數(shù)，以[n]值為橫坐標，取各個項數(shù)對應的各次諧波幅值的2倍作為縱坐標，則可以得到合成信號模型[Gt]前[n]項所對應的部分頻域的離散頻譜圖像[6]。

取[n]=100，生成合成信號的頻域圖像，與理想方波信號頻域圖像作對比，如圖4、圖5所示，合成信號的圖像與理想方波信號的圖像在頻域上是一致的。不論是在時域上還是在頻域上，理想方波信號[Ft]與合成信號模型[Gt]的特征值都是保持一致的。從時域與頻域的模擬仿真結果來看，[Ft=Gt]是成立的，即隨著[n]值的增大，合成信號是逐漸逼近理想方波信號的。但是，觀察合成信號的跳變點處，總是有高過1的波峰存在，而且隨著[n]值的增大而向跳變處靠近。

取[n]=500，觀察跳變處震蕩的變化趨勢。如圖6所示，[n]值為500時，合成信號模型[Gt]的基波與各次諧波疊加后的圖像可視為方波信號。圖7跳變處接近垂直，跳變處震蕩的峰高不變，峰寬變窄，可以得到以下結論：[n]值越大，跳變處越接近垂直，其附近高出幅值[A]的波峰高度不變，峰寬變窄，若[n]值趨于無窮，[Gt=Ft]，即G（t）模型的基波與各次諧波分量合成的信號為方波信號[Ft]。

通過觀察4個[n]值不同的合成信號的時域圖像與頻域圖像可以看出，隨著[n]值的增大，各次諧波的幅度值不斷減小，向橫坐標軸逼近，[n]值趨于無窮時，合成信號模型[Gt]最終收斂于零。

3 信號合成的可操作性分析

綜上所述，用簡單周期信號合成復雜或者特殊的周期信號時，[n]值的大小是一個不可避免而又無比重要的問題。在通過正弦信號合成方波信號時，隨著[n]值的增大，信號無比接近方波，[n]值在達到無窮之前總是會出現(xiàn)逼近但不相等以及在不連續(xù)點處出現(xiàn)一個較高峰值這樣的情況[7]。實際操作中，[n]值是無法達到無窮的，也就是說，[n]的取值必然是有限項，則針對上述兩種情況的應對策略就成為信號合成質量重要的評定標準。

從仿真中可以看出，[n]值取100時就可以保證合成信號在不連續(xù)點處有0.01的精度，在實際操作中，若精度要求不超過0.01，則不連續(xù)點處的跳變效果和方波信號將沒有區(qū)別。在合成信號時可以根據(jù)實際情況來調整[n]值，進而調整跳變處的精度，達到實際操作所要求的結果。從模擬仿真結果來看，對于正弦信號合成方波信號時跳變點的精度而言，[n]值取不同的數(shù)量級時，精度會相應發(fā)生變化。在實際操作中，成本平衡精度與計算量的大小是信號合成的一個重要指標。

另外，在各次諧波疊加后合成的信號中，其與理想方波信號相同的位置（即不連續(xù)點處）總是存在多余的起伏情況，從之前的模擬仿真可得：在有限項合成的信號中，隨著諧波次數(shù)的增加（即[n]值的增大），其多余的起伏的最高波峰逐漸靠近不連續(xù)點，也就是說，峰寬對應變窄，但峰值大小基本保持不變，數(shù)值約為[[F（x0+）-F（x0-）]×0.09]，這樣的吉布斯現(xiàn)象對于合成信號會產生很多影響。產生此現(xiàn)象的主要原因是有限項合成信號的限制，在數(shù)字信號合成的過程中，無窮項疊加是無法實現(xiàn)的，換言之，吉布斯現(xiàn)象是無法自然消除的，所有無窮項數(shù)字信號的合成不可避免地會出現(xiàn)吉布斯現(xiàn)象[8]。

根據(jù)其出現(xiàn)的原因，人們可以探尋一些消除方法，即在合成函數(shù)的不連續(xù)點的位置補充一個連續(xù)函數(shù)[9]，或是通過進一步信號合成來把吉布斯現(xiàn)象給抵消掉，比如在不連續(xù)點處乘上一個衰弱因子將其影響降至最低[10]。對于數(shù)字信號處理來說，消除吉布斯現(xiàn)象是一個不可忽視的問題，如何消除，消除的難易度、消除的效果如何，都是提升合成信號質量的重要評估標準。

4 結論

信號的合成與分解在通信、信息技術等領域有著極其重要的應用，不論是信息的傳輸還是信息的編碼與解碼，如何實現(xiàn)更高質量的信號合成與分解是信息科學永遠的課題。本文著重研究了比較經典而特殊的周期信號方波信號的合成與分解，從理論上提出模型，借助數(shù)學工具進行了細致的模擬仿真試驗，在試驗中驗證了模型與理論的一致性，同時也對有限項的信號合成中暴露的問題進行了細致的探討，結合實際提出了與之對應的解決方案。信號合成的可操作性主要從兩個方面入手：一是如何把握合成信號所產生實際問題的解決成本和信號質量兩者的平衡，二是如何消除吉布斯現(xiàn)象。通過[n]值控制兩者平衡，靈活應用補充函數(shù)與衰弱因子等方法，可以達到良好的實際操作效果。

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