在“重構(gòu)”概念發(fā)展的歷程中理解本質(zhì)

陳群娣

[摘 要]理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)是實(shí)現(xiàn)有效教學(xué)的根本。在“重構(gòu)”數(shù)學(xué)發(fā)展歷程的活動(dòng)中理解概念本質(zhì)的“關(guān)鍵要點(diǎn)”：一是在“數(shù)學(xué)化”的學(xué)習(xí)過(guò)程中構(gòu)建概念的“組織”;二是在“再創(chuàng)造”的學(xué)習(xí)活動(dòng)中理解概念的“本質(zhì)”。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)發(fā)展;過(guò)程重構(gòu);垂直線段

劉加霞教授指出，實(shí)現(xiàn)有效教學(xué)的根本在于把握數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)?？梢?jiàn)，小學(xué)數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，重要的是指導(dǎo)學(xué)生理解概念的本質(zhì)而不是記憶或者背誦概念的形式化定義，換言之，是引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)“火熱”的數(shù)學(xué)思考過(guò)程，這一學(xué)習(xí)過(guò)程的關(guān)鍵是解決好“3W”問(wèn)題。一是為什么（Why）：為什么學(xué)習(xí)這一概念？它在生活中、在數(shù)學(xué)上有什么用？二是是什么（What）：除了概念的形式化定義外，其數(shù)學(xué)本質(zhì)是什么？其來(lái)龍去脈是什么？三是怎么樣（How）：這個(gè)概念與其他概念之間有什么聯(lián)系？怎樣建構(gòu)“概念圖”？那么，如何指導(dǎo)學(xué)生理解“三角形的高”這一概念的數(shù)學(xué)本質(zhì)？這就必須把握好兩個(gè)“關(guān)鍵要點(diǎn)”：一是“三角形的高”這一概念的數(shù)學(xué)本質(zhì)是什么？是一條垂直線段;二是學(xué)生學(xué)習(xí)這一數(shù)學(xué)概念，要經(jīng)歷一個(gè)怎樣的“思維構(gòu)建”過(guò)程呢？換一個(gè)角度，教師如何指導(dǎo)學(xué)生把“概念發(fā)生、發(fā)展的歷程”和學(xué)生構(gòu)建其“思維之道”相融合，由學(xué)生本人把要學(xué)的東西自己去發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造出來(lái)。下面以“三角形的高”教學(xué)為例，闡述一下筆者的思考與實(shí)踐。

【學(xué)習(xí)過(guò)程】

活動(dòng)一：

師：如下圖，從直線外一點(diǎn)A，到這條直線畫(huà)的4條線段中，哪一條線段最短？為什么？

生1：最短的線段是AC;

生2：從直線外一點(diǎn)到這條直線所畫(huà)的線段中，垂直線段最短。

【評(píng)析】設(shè)計(jì)“從直線外的點(diǎn)到對(duì)邊畫(huà)一條線段，怎樣畫(huà)最短？”這一情境性問(wèn)題，讓學(xué)生在問(wèn)題解決過(guò)程中重現(xiàn)“垂直線段”最短這一道理。這是結(jié)合學(xué)生的現(xiàn)實(shí)，以學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)的“支架”，為新知的學(xué)習(xí)“勾畫(huà)”起學(xué)生已有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，為其主動(dòng)構(gòu)建新知做好認(rèn)知準(zhǔn)備。

活動(dòng)二：

師：在三角形ABC中（見(jiàn)圖1），有3個(gè)頂點(diǎn)，3條邊。說(shuō)一說(shuō)：每個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的邊是哪一條呢？

生：頂點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的邊是線段BC;頂點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的邊是線段AC;頂點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的邊是線段AB。

師：從頂點(diǎn)A到對(duì)邊BC畫(huà)一條最短的線段AD，怎樣畫(huà)呢？

生1：線段AB、線段AC都不是最短的。

生2：垂直線段最短。

師：你們能畫(huà)出來(lái)嗎？

生：線段AD是一條垂直線段，最短（見(jiàn)圖2）。

師：你是怎樣畫(huà)的？

生1：三角尺的一條直角邊與對(duì)邊BC重合，另一條直角邊平移到頂點(diǎn)A，畫(huà)一條垂線，與對(duì)邊的交點(diǎn)就是垂足D，這一條垂直線段AD就是點(diǎn)到直線的距離。

生2：我是這樣畫(huà)的，先確定兩個(gè)端點(diǎn)，其中一個(gè)是三角形的頂點(diǎn)A，另一個(gè)是從頂點(diǎn)A到對(duì)邊作一條垂線，交點(diǎn)是垂足D，再把這兩個(gè)端點(diǎn)用線段連起來(lái)。

師：在三角形ABC中，你能從頂點(diǎn)B到對(duì)邊AC畫(huà)一條最短的線段BE嗎？

生：線段BE是一條垂直線段，最短（見(jiàn)圖3）。

畫(huà)一畫(huà)：1.從頂點(diǎn)B到對(duì)邊AC畫(huà)一條最短的線段BD（見(jiàn)圖4）;2.從頂點(diǎn)A到對(duì)邊BC畫(huà)一條最短的線段AB（見(jiàn)圖5）。

【評(píng)析】根據(jù)學(xué)生掌握“點(diǎn)到直線的距離最短”這一數(shù)學(xué)事實(shí)，引導(dǎo)學(xué)生思考“從一個(gè)頂點(diǎn)到對(duì)邊畫(huà)一條最短的線段，怎樣畫(huà)才最短？”這一核心問(wèn)題，讓學(xué)生在“做數(shù)學(xué)”的學(xué)習(xí)活動(dòng)中，深化對(duì)“垂直線段最短”這一數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的理解。

活動(dòng)三：

師：什么是三角形的高？（指導(dǎo)學(xué)生閱讀數(shù)學(xué)課本）

生1：從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)到對(duì)邊作一條垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫作三角形的高。

生2：是一條垂直的線段，其中一個(gè)端點(diǎn)是三角形的“一個(gè)頂點(diǎn)”，另一個(gè)端點(diǎn)是對(duì)邊的“垂足”。

……

師：說(shuō)說(shuō)下圖中哪一條是底邊上的高？

生1：三角形ABC中（圖3），底邊AC上的高是BE，底邊BC上的高是AD。

生2：三角形ABC中（圖4），底邊AC上的高是BD。

生3：三角形ABC中（圖5），底邊AB上的高是BC，底邊CB上的高是AB。

? ?

師：三角形的高有什么共同特點(diǎn)？

生：三角形的“一個(gè)頂點(diǎn)”到“對(duì)邊”的一條垂直線段，這一條線段有兩個(gè)端點(diǎn)，一個(gè)端點(diǎn)是三角形的“頂點(diǎn)”，另一個(gè)是頂點(diǎn)對(duì)邊的“垂足”。

師：三角形可以畫(huà)幾條高？為什么呢？

生1：三角形可以畫(huà)3條高。

生2：從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)到對(duì)邊可畫(huà)一條高，三角形有3個(gè)頂點(diǎn)，最多可畫(huà)3條高。

師：怎樣畫(huà)三角形的高？

生：一是重合;二是平移;三是找垂足;四是畫(huà)一條垂直線段。

【評(píng)析】讓學(xué)生在實(shí)踐、探究活動(dòng)中構(gòu)建“高”這一數(shù)學(xué)概念的形式化定義。教學(xué)時(shí)，提出“什么是三角形的高？”這一數(shù)學(xué)問(wèn)題引領(lǐng)學(xué)生閱讀課本，感知構(gòu)成“高”這一數(shù)學(xué)概念的幾個(gè)關(guān)鍵“語(yǔ)詞”，進(jìn)一步指導(dǎo)學(xué)生個(gè)性化地“重構(gòu)”數(shù)學(xué)概念的生成過(guò)程，與學(xué)生已有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)“垂直線段”建立邏輯的內(nèi)在聯(lián)系，明確構(gòu)成“高”這一概念的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)：一個(gè)頂點(diǎn)、對(duì)邊、垂線和線段。

活動(dòng)四：

師：我們已經(jīng)學(xué)過(guò)了平行四邊形和梯形的高這一數(shù)學(xué)概念。畫(huà)一畫(huà)，平行四邊形ABCD底邊BC上的高？梯形ABCD下底BC上的高？

生1：從平行四邊形一條邊上的一點(diǎn)A向?qū)匓C畫(huà)一條垂直線段，線段AE就是底邊BC上的高（見(jiàn)圖6）。

生2：從梯形平行邊上一點(diǎn)A向?qū)匓C畫(huà)一條垂直線段，線段AE就是下底BC上的高（見(jiàn)圖7）。

師：三角形、平行四邊形和梯形的底和高有什么相同的地方？

生：是一條垂直線段，這條線段有兩個(gè)端點(diǎn)，其中一個(gè)是“頂點(diǎn)”，另一個(gè)是從“一個(gè)頂點(diǎn)”到它的對(duì)邊作一條垂線，這兩條線的交點(diǎn)叫“垂足”。

【評(píng)析】通過(guò)比較，抽象、概括出平行四邊形、梯形和三角形的“高”有什么共同的地方，目的在于溝通數(shù)學(xué)知識(shí)之間有邏輯的內(nèi)在聯(lián)系，幫助學(xué)生形成一個(gè)“貫通橫縱”的數(shù)學(xué)概念網(wǎng)絡(luò)，在數(shù)學(xué)知識(shí)“同化”的學(xué)習(xí)過(guò)程中，理解概念本質(zhì)，優(yōu)化學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

【教學(xué)思考】

一、在“數(shù)學(xué)化”的學(xué)習(xí)過(guò)程中構(gòu)建概念的“組織”

數(shù)學(xué)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程就是一個(gè)“數(shù)學(xué)化”的過(guò)程。所謂“數(shù)學(xué)化”，就是數(shù)學(xué)地組織現(xiàn)實(shí)世界的過(guò)程?？蓮膬蓚€(gè)方面去理解“數(shù)學(xué)化”，一是“過(guò)程”，有“橫向”和“縱向”兩個(gè)方面，橫向的數(shù)學(xué)化是建立數(shù)學(xué)與生活之間的內(nèi)在聯(lián)系，縱向的數(shù)學(xué)化是數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)部的遷移和調(diào)整。在教學(xué)“三角形的高”這一數(shù)學(xué)概念時(shí)，教師指導(dǎo)學(xué)生在解決“從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)到對(duì)邊畫(huà)一條線段，怎樣畫(huà)最短？”這一核心問(wèn)題過(guò)程中，明確“垂直線段”最短的道理，在這基礎(chǔ)上，提出“什么是三角形的高？”這一引領(lǐng)性問(wèn)題，指引學(xué)生閱讀課本，幫助學(xué)生構(gòu)造出“高”這一概念頻繁出現(xiàn)的幾個(gè)語(yǔ)詞：一個(gè)頂點(diǎn)、對(duì)邊、垂線和線段，理解“三角形的高”形式化的定義;二是“組織”，“三角形的高”必須同化到“平行四邊形”和“梯形”的高這一數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，探究“三角形、平行四邊形和梯形的高有什么相同的地方？”這一關(guān)鍵問(wèn)題，指導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)體系的過(guò)程。

二、在“再創(chuàng)造”的學(xué)習(xí)活動(dòng)中理解概念的“本質(zhì)”

理解概念的本質(zhì)是小學(xué)數(shù)學(xué)概念實(shí)現(xiàn)有效教學(xué)的關(guān)鍵。“三角形的高”這一概念的本質(zhì)是什么？是一條垂直線段。線段，就涉及線段有兩個(gè)端點(diǎn)的問(wèn)題，其中一個(gè)是三角形的“一個(gè)頂點(diǎn)”，另一個(gè)是從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)到對(duì)邊作一條垂線，其與對(duì)邊相交的“一個(gè)垂足”;垂直，這就涉及到“相交成直角”的問(wèn)題。那么，學(xué)生應(yīng)該怎樣構(gòu)建這樣的一個(gè)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)呢？荷蘭教育家弗賴登塔爾強(qiáng)調(diào)：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一正確的方法是實(shí)行“再創(chuàng)造”，換言之，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一正確方法就是由學(xué)生本人把要學(xué)的東西自己去發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造出來(lái)。這節(jié)課，扣緊“三角形的高”的數(shù)學(xué)本質(zhì)是“垂直線段”這一判斷，設(shè)計(jì)了如下學(xué)習(xí)活動(dòng)：一是在解決“從直線外一點(diǎn)A，到這條直線所畫(huà)的線段中，最短的是哪一條？”問(wèn)題的過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生明確“垂直線段”最短的數(shù)學(xué)事實(shí)，回顧與反思“兩條直線互相垂直”關(guān)鍵所在是把握“兩條直線相交成直角”這一基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn);二是出示三種不同類型的三角形“直角三角形”“鈍角三角形”“銳角三角形”，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，解決“點(diǎn)到直線的距離最短”這一數(shù)學(xué)問(wèn)題，“垂直線段”這一“數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”刻畫(huà)在學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中;三是提出“什么是三角形的高？”這一問(wèn)題，指引學(xué)生閱讀課本，在“垂直線段”這一認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，幫助學(xué)生明晰“三角形的高”形式化定義幾個(gè)關(guān)鍵語(yǔ)詞：一個(gè)頂點(diǎn)、對(duì)邊、垂線和線段，這一數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)烙印在學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中;四是通過(guò)比較平行四邊形、梯形和三角形的“高”有什么共同的地方？幫助學(xué)生把“三角形的高”這一“認(rèn)知結(jié)構(gòu)”同化到“平行四邊形”“梯形”的高這一“模型”中，建立數(shù)學(xué)知識(shí)之間縱向聯(lián)系的紐帶，優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1]劉加霞.小學(xué)數(shù)學(xué)有效教學(xué)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2015.

[2]藍(lán)藝明.深度體驗(yàn)小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的積極追求——“三角形的認(rèn)識(shí)”教學(xué)思考與實(shí)踐[J].教育科學(xué)論壇，2017（12）.

[3]郭庶，王瑞霖.弗萊登塔爾再創(chuàng)造理論對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)提出的挑戰(zhàn)[J].首都師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2015（5）.

[4]鄭瑋，鄭毓信.HPM與數(shù)學(xué)教學(xué)中的“再創(chuàng)造”[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2013（3）.

（責(zé)任編輯：李雪虹）