基于漸近均勻化理論的黃土高原草本植物固土效果模擬

黃建坤，王學(xué)林，及金楠，陳麗華，張之偉

基于漸近均勻化理論的黃土高原草本植物固土效果模擬

黃建坤，王學(xué)林，及金楠，陳麗華，張之偉

（1. 山西吉縣森林生態(tài)系統(tǒng)國家野外科學(xué)觀測研究站，北京林業(yè)大學(xué)，吉縣 042200；2. 北京林業(yè)大學(xué)水土保持學(xué)院水土保持國家林業(yè)局重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100083；3. 北京林業(yè)大學(xué)水土保持學(xué)院，北京 100083）

黃土高原是中國水土流失和淺層滑坡災(zāi)害最嚴(yán)重的地區(qū)之一，而植被根系能有效抑制淺層滑坡。黃土高原草系分布廣泛，根系在空間配置上具有鮮明的周期重復(fù)特征，計(jì)算大量根系的邊坡固土效果非常復(fù)雜。該文利用漸進(jìn)均勻化理論，構(gòu)建“根系-土體”復(fù)合土體本構(gòu)關(guān)系，通過與已有研究對(duì)比說明，該文所述方法計(jì)算三維本構(gòu)關(guān)系具有較高精度。為說明均勻化方法在含根群邊坡中的準(zhǔn)確性和高效性，該文基于有限元軟件ANSYS，進(jìn)一步模擬了含草邊坡和無草邊坡的應(yīng)力和應(yīng)變分布規(guī)律。數(shù)值模型設(shè)置為3組，分別是無草邊坡模型、含草邊坡的分離式模型，以及基于該文均勻化理論的含草邊坡模型。該文進(jìn)一步采用觀察等效塑性應(yīng)變區(qū)是否貫通作為邊坡失穩(wěn)臨界狀態(tài)的標(biāo)準(zhǔn)，利用強(qiáng)度折減法計(jì)算了邊坡安全系數(shù)。研究表明：1）漸進(jìn)均勻化理論不僅能準(zhǔn)確地構(gòu)建根土復(fù)合體本構(gòu)關(guān)系，而且極大地減少了模型計(jì)算工作量（減少了95.58%的單元數(shù)）。2）披堿草根系能改善邊坡淺層土體的應(yīng)力場，使得根系分布區(qū)內(nèi)的剪應(yīng)力更加均勻，使坡體淺層更趨于穩(wěn)定。3）當(dāng)邊坡坡度較小時(shí)（坡角為30°），無草邊坡安全系數(shù)較大（=4.28），根系對(duì)邊坡的穩(wěn)定性加持較?。ㄆ骄鶅H提高2.92%）；當(dāng)坡角增大到45°時(shí)，無草邊坡安全系數(shù)下降為2.90，而含草邊坡平均安全系數(shù)提升了13.45%，根系固土效果更加顯著。

邊坡穩(wěn)定性；根系；固土；均勻化理論；有限元法

0 引 言

中國是世界上水土流失和滑坡災(zāi)害最嚴(yán)重的國家之一，山地面積占國土面積的2/3。黃土高原是中國水土流失最嚴(yán)重的地區(qū)，滑坡等重力侵蝕相當(dāng)嚴(yán)重。傳統(tǒng)的土木工程護(hù)坡方式不僅造價(jià)高昂，而且破壞了原有的生態(tài)環(huán)境。植被是防治水土流失最積極、有效的因素，特別是植物根系固持表層土壤、防止淺層滑坡的作用更是不可忽視。因此，植被措施是一種經(jīng)濟(jì)、可靠、環(huán)保的滑坡防治措施，具有不可替代的重要作用，在國內(nèi)外越來越受到重視[1-9]。

通過根系形態(tài)分析、拉伸試驗(yàn)、剪切試驗(yàn)和數(shù)值模擬等方式，研究人員探討了根系力學(xué)特性[3,10-12]、分布特點(diǎn)[13-14]以及根土相互作用[15]，推動(dòng)了根系固土力學(xué)機(jī)理的揭示過程。新材料、新技術(shù)的引入，加快了根系固土的研究歷程[16-20]。植被根系屬于生物有機(jī)材料，具有不連續(xù)、非均勻、各向異性等特點(diǎn)，其本構(gòu)關(guān)系要比普通工程材料復(fù)雜得多。目前，關(guān)于根系固土的研究多關(guān)注于單根或根束對(duì)土體的影響，而此方面的研究還不能對(duì)現(xiàn)實(shí)中廣泛存在的根群固土效應(yīng)做出全面而準(zhǔn)確的評(píng)價(jià)。植物根系固土護(hù)坡能力的研究主要包括了對(duì)根強(qiáng)度的研究和根土復(fù)合體強(qiáng)度的研究，根與土之間呈弱耦合關(guān)系；自然界中根土復(fù)合體像鋼筋混凝土一樣，可以看成一個(gè)整體，即一種“新材料”，根土之間呈強(qiáng)耦合關(guān)系。在科學(xué)和工程方面都迫切需要深入研究根系與土體之間的力學(xué)關(guān)系，為邊坡穩(wěn)定性評(píng)價(jià)提供準(zhǔn)確理論支持。

黃土高原地區(qū)草本和灌木受地質(zhì)和氣候條件的影響，根系具有如下明顯的形態(tài)特征：根系以豎向根系為主，且較為發(fā)達(dá)，在地表以下有較長的延伸；根系生長方向較為一致，排列比較均勻，側(cè)根比較少，根系分布大致呈現(xiàn)周期性的特征。根土復(fù)合體可以看成長纖維加強(qiáng)的周期復(fù)合材料，形成強(qiáng)耦合關(guān)系。三軸壓縮試驗(yàn)表明，基于均勻化理論構(gòu)建的根土復(fù)合體模型具有計(jì)算高效、結(jié)果準(zhǔn)確的特點(diǎn)[18]。與簡單地將根土復(fù)合體視為各向同性材料不同，均勻化理論的思想是基于對(duì)根系-根周土“單胞”的分析，推導(dǎo)根土復(fù)合體的各向異性本構(gòu)關(guān)系，能夠?qū)⑽⒂^根系形態(tài)特征量與宏觀邊坡力學(xué)分析結(jié)合，建立不同尺度之間的聯(lián)系，有利于揭示根系固土力學(xué)機(jī)制。

本文引入周期復(fù)合材料的漸進(jìn)均勻化理論，針對(duì)黃土高原淺層滑坡問題，開發(fā)用于探討草本植物根土復(fù)合體本構(gòu)關(guān)系的三維力學(xué)模型，從周期復(fù)合材料的視角推進(jìn)理解含林（草）邊坡的固土機(jī)制，解決準(zhǔn)確評(píng)價(jià)根群固土效果的困難，為含林（草）邊坡穩(wěn)定性分析提供理論支撐。

1 漸進(jìn)均勻化理論

1.1 控制方程

根據(jù)山西省黃土高原優(yōu)勢固土護(hù)坡植物的生長特性，草本根系的長度遠(yuǎn)大于根系的直徑，因此可以將根系和土壤看成周期性分布的長纖維根土復(fù)合材料（如攝于山西吉縣森林生態(tài)系統(tǒng)國家野外科學(xué)觀測研究站的圖 1）。針對(duì)該地區(qū)植物根系生長的特點(diǎn)，可以忽略側(cè)根（或須根）的影響，并假定根系在土壤中呈單向周期性分布，因而可以把植物根系和土壤簡化成周期性分布的長纖維增強(qiáng)復(fù)合材料。因此，該文提出基于均勻化理論的根土強(qiáng)耦合固土機(jī)制，先從較為簡單的直根系出發(fā)，不考慮復(fù)雜形態(tài)的根系等問題，根土復(fù)合體可以由單根-根周土“單胞”表示，如圖2所示。

圖1 具有周期性長纖維復(fù)合材料特征的根系分布

注：a為單胞尺寸，cm。

以具有周期性細(xì)觀“單胞”結(jié)構(gòu)Y的根土復(fù)合體為例，假設(shè)在空間坐標(biāo)系某處存在此復(fù)合材料Ω，其全部邊界為，并分別受體力和面力作用。根據(jù)虛位移原理，控制方法為[21]

式中0與細(xì)觀尺度無關(guān)，描述了根土復(fù)合體宏觀尺度的位移，1描述了細(xì)觀尺度的位移，由方程（4）可得

引入[22]

式中,1,2,3代表微觀坐標(biāo)系的坐標(biāo)，以示與和表示的宏觀坐標(biāo)系區(qū)別，根系-土體復(fù)合體等效密度可以表示為

1.2 等效剛度求解

將函數(shù)用插值函數(shù)近似表示為

式中是形函數(shù)矩陣；是節(jié)點(diǎn)的廣義坐標(biāo)；表示有限元系統(tǒng)中的自由度總數(shù)。因此式（6）可寫成有限元的標(biāo)準(zhǔn)形式[23]

其中和分別為應(yīng)變和彈性矩陣。有效剛度矩陣，即方程（8）可表示成

1.3 三維本構(gòu)關(guān)系具體形式

二維平面應(yīng)變問題的本構(gòu)關(guān)系可以表示為[24]

而自然根系為有限長度，猶如微型錨桿，是典型三維空間問題。其本構(gòu)關(guān)系具有典型的正交各向異性特征，形式為[24]

（15）

為了將二維應(yīng)變問題升維為三維問題，根據(jù)方程[25]

最終可以確定三維根系-土體復(fù)合體的正交各向異性的本構(gòu)關(guān)系。

1.4 方法驗(yàn)證

表1 材料參數(shù)

表2 材料參數(shù)均勻化結(jié)果對(duì)比

注：EE、E分別指、、方向彈性模量；υ、υ υ分別指、、方向泊松比。下同。

Note: EE, Eare elastic modulus in,,direction; υ υυarePossion’s ratioin、,plane, respectively. The same below.

2 實(shí)例數(shù)值建模

2.1 植被根系和研究區(qū)域選擇

本文以披堿草根系為研究對(duì)象，播種當(dāng)年，節(jié)根入土深度可達(dá)70 cm，第二年能達(dá)110 cm以上[18]。在灌溉條件下，雖然根深可達(dá)100 cm，但是50 cm土層以下，根系極少，約占總根量的4%[18]。為突出根系固土效果，本文根長統(tǒng)一取為50 cm，根半徑取為0.11 cm，根系體積填充率為0.01，“單胞”尺寸取為=2 cm。由于“單胞”具有對(duì)稱性，計(jì)算中僅取1/4“單胞”進(jìn)行計(jì)算，如圖3所示。根系和土體的材料參數(shù)主要通過文獻(xiàn)[18]獲得，如表1所示。

圖3 “單胞”有限元模型

2.2 本構(gòu)關(guān)系計(jì)算

通過本文方法，根土復(fù)合體本構(gòu)關(guān)系計(jì)算如表3所示，為了便于比較，本文同時(shí)給出了文獻(xiàn)[25]所述簡化方法的計(jì)算結(jié)果，使簡化方法和本文提出的方法相互校核，可以驗(yàn)證結(jié)果控制在一定誤差范圍內(nèi)，從而避免得到錯(cuò)誤的結(jié)果。從表3中可以看出，本文方法和簡化方法除了在υ計(jì)算中存在一定偏差之外，其他彈性參數(shù)誤差均較小。平面內(nèi)的泊松比υ對(duì)應(yīng)力分布影響較小，這一點(diǎn)將在數(shù)值模擬中得到驗(yàn)證，因此誤差在可接受范圍。

表3 根土復(fù)合體本構(gòu)參數(shù)

注：G、G、G分別表示平面剪切模量。

Note: G,G,Gare shear modulus inplane, respectively

2.3 有限元模型建立

在披堿草根系固土效果數(shù)值分析中，將邊坡坡度設(shè)為30°，坡長5 m。本文所建的模型為3D模型，邊坡剖面位于平面，方向上為一個(gè)“單胞”厚度=0.02 m，有限元模型如圖4。邊坡體的底面完全約束，坡面完全自由，兩側(cè)平面上的面采用向約束，厚度方向平面上采用對(duì)稱邊界[28]。

模型統(tǒng)一采用SOLID45單元，充分模擬邊坡及根系的三維特性，模型假設(shè)所有界面理想連接，僅受自重應(yīng)力影響。為對(duì)比含草邊坡和無草邊坡的應(yīng)力分布規(guī)律，以及本文所述方法的準(zhǔn)確性，數(shù)值模型設(shè)置3組，分別是無草邊坡模型、含草邊坡的分離式模型，以及基于均勻化理論的含草邊坡模型。在含草邊坡的分離式模型中，根系分布如圖5所示。

注：O、x和y分別為全局坐標(biāo)系原點(diǎn)和坐標(biāo)軸；O′、x′和y′分別為局部坐標(biāo)系原點(diǎn)和坐標(biāo)軸。

圖5 根系邊坡分離式模型

雖然該文建立的是單排草根的直根系工況建模，該模型兩側(cè)設(shè)置為對(duì)稱邊界。對(duì)稱邊界可以模擬邊坡在方向無限延伸。因此，該模型本質(zhì)上模擬的是左右無限擴(kuò)展的多行多排根系情況。該文分離式模型中，根系分布區(qū)已經(jīng)含有250根草根，能體現(xiàn)含根邊坡的真實(shí)性和典型性，也有利于說明均勻化理論的高效性。如果繼續(xù)擴(kuò)大根系規(guī)模，勢必難以計(jì)算（收斂）。同時(shí)，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，黃土高原灌草植被存在一定量的直根系，如圖1。該地區(qū)的草本和灌木受土壤和氣候條件影響，不僅具有發(fā)達(dá)的豎向根系，可從坡面延伸至深層土坡，總體呈現(xiàn)出生長方向一致、排列均勻的周期性特征。因此，直根系模型也常被用于數(shù)值模擬中[15,18]。

在基于均勻化理論的含草邊坡模型中，圖5中的矩形區(qū)域視為根土復(fù)合體，采用本文均勻化理論計(jì)算得到的參數(shù)，即表3中數(shù)據(jù)，等效密度H= 1 363.6 kg/m3。因此，均勻化參數(shù)具有方向性，在數(shù)值模擬中，該模型使用了局部坐標(biāo)系以準(zhǔn)確定義計(jì)算得到的均勻化參數(shù)。

3 數(shù)值模擬結(jié)果及分析

3.1 邊坡應(yīng)力分布

圖6為邊坡平面剪應(yīng)力分布等值線圖。從圖中可以看出，無草邊坡應(yīng)力分布比較均勻，且與含草邊坡模型結(jié)果不同；含草邊坡分離式模型和含草邊坡均勻化模型的結(jié)果幾乎是一致的，3種工況都在坡腳產(chǎn)生了一定的應(yīng)力集中現(xiàn)象。由于草根的存在，含草邊坡應(yīng)力分布較為分散。因?yàn)楦涤休^強(qiáng)的抗拉和抗剪剛度，邊坡自重荷載產(chǎn)生的應(yīng)力向根系轉(zhuǎn)移，根系分擔(dān)了較多的土體應(yīng)力，并將其擴(kuò)散到根周土中，因此，改變了自然邊坡的應(yīng)力場。根系明顯對(duì)邊坡應(yīng)力場分布的影響集中在邊坡淺層，特別是根系分布區(qū)，即圖6中虛線矩形區(qū)，使得根系分布區(qū)內(nèi)的剪應(yīng)力更加均勻，提高了淺層邊坡土體穩(wěn)定性。對(duì)比圖6b和6c可以看出，本文提出的均勻化理論計(jì)算結(jié)果和根土分離式模型計(jì)算結(jié)果具有高度的一致性，充分驗(yàn)證了本文均勻化理論計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性，也說明了υ的誤差對(duì)應(yīng)力分布影響不顯著。

圖6 邊坡xy平面內(nèi)剪應(yīng)力等值線圖

圖7為邊坡von Mises應(yīng)力分布等值線圖。從圖中可以看出，3種工況都在坡腳產(chǎn)生了一定的應(yīng)力集中現(xiàn)象，根系的存在對(duì)von Mises應(yīng)力場的影響比對(duì)平面剪應(yīng)力場的影響小。根系的影響主要在根系分布區(qū)，使得根系分布區(qū)內(nèi)的von Mises應(yīng)力分布更加均勻。

圖7 邊坡von Mises應(yīng)力等值線圖

3.2 邊坡安全系數(shù)分析

本文采用強(qiáng)度折減法[5,29-30]對(duì)邊坡安全系數(shù)進(jìn)行計(jì)算。邊坡失穩(wěn)可以通過數(shù)值迭代計(jì)算是否收斂、特征部位的位移拐點(diǎn)和等效塑性應(yīng)變區(qū)是否貫通進(jìn)行判斷。本文中采用觀察等效塑性應(yīng)變區(qū)是否貫通作為邊坡失穩(wěn)臨界狀態(tài)的標(biāo)準(zhǔn)。

無草模型和均勻化模型都使用規(guī)則的六面體單元，計(jì)算收斂性穩(wěn)定可靠。但是在分離式模型中，根系直徑僅為0.11 cm，劃分網(wǎng)格時(shí)不可避免地出現(xiàn)三棱錐等低質(zhì)量單元，極易造成收斂性提前失穩(wěn)，無法得到準(zhǔn)確的安全系數(shù)。因此，在本小節(jié)分析中，采用Link單元代替實(shí)體單元模擬根系狀況，提高計(jì)算穩(wěn)定性。根土復(fù)合體試驗(yàn)研究表明[16,26,31]，根系對(duì)提高土體的內(nèi)摩擦角十分有限，主要是提高黏聚力，根據(jù)文獻(xiàn)[18]，本節(jié)計(jì)算中，設(shè)定土體黏聚力=9.56 kPa，內(nèi)摩擦角=24.716°，根土復(fù)合材料黏聚力提高為[31]：c=42.08 kPa，內(nèi)摩擦角保持不變。

邊坡最大等效塑性應(yīng)變隨折減系數(shù)的變化，如圖8所示。從圖8a中可以看出，最大等效塑性應(yīng)變隨折減系數(shù)增大而增大。無草（素土）模型在折減系數(shù)為4.28時(shí)，出現(xiàn)峰值拐點(diǎn)。而3種含草模型的峰值拐點(diǎn)對(duì)應(yīng)的折減系數(shù)都比無根模型略大。含草邊坡分離式模型由于收斂性問題，最大等效塑性應(yīng)變曲線與其他含草模型差別較大，且不易得到拐點(diǎn)，因此，不適合用于安全系數(shù)求解。

從圖8b中可以看出，當(dāng)坡角從30°增大到45°時(shí)，無根邊坡最大等效塑性應(yīng)變隨折減系數(shù)增大而迅速出現(xiàn)拐點(diǎn)，且最大等效塑性應(yīng)變的數(shù)值也從0.47增至0.77。而含草模型最大等效塑性應(yīng)變的拐點(diǎn)對(duì)應(yīng)的折減系數(shù)都比無根模型大很多，且最大等效塑性應(yīng)變的數(shù)值較低。再次說明根系的存在使得邊坡應(yīng)力分布更加均勻，滑坡的潛在風(fēng)險(xiǎn)降低。圖8a和8b中，均勻化模型與含草邊坡Link模型的應(yīng)變曲線變化規(guī)律基本一致，說明了均勻化模型的準(zhǔn)確性。

本文定義首次出現(xiàn)峰值拐點(diǎn)的折減系數(shù)為安全系數(shù)，根據(jù)圖8中的實(shí)（空心）點(diǎn)標(biāo)注，不同工況下邊坡的安全系數(shù)如表5所示。邊坡安全系數(shù)與邊坡幾何參數(shù)和材料參數(shù)有密切關(guān)系[32]。當(dāng)坡角為30°時(shí)，由于坡角較小，邊坡安全系數(shù)較高。無草邊坡的安全系數(shù)為4.28，含草邊坡均勻化模型與含草邊坡Link模型的安全系數(shù)分別為4.40和4.41，兩者相對(duì)誤差為0.22%，后者安全系數(shù)比前者提高了2.92%，說明草根起到一定的固土作用。受制于草根根系較淺且根系直徑較小，根系對(duì)邊坡穩(wěn)定性的影響有限。

圖8 最大等效塑性應(yīng)變隨折減系數(shù)的變化規(guī)律

當(dāng)坡角為45°時(shí)，無草邊坡安全系數(shù)下降為2.90，含草邊坡均勻化模型與含草邊坡Link模型的安全系數(shù)分別為3.28和3.30，兩者相對(duì)誤差為0.69%，而平均安全系數(shù)提升了13.45%，說明在高角度邊坡情況下，根系固土效果更加顯著。由于邊坡坡度較小時(shí)，無草邊坡安全系數(shù)較大，根系對(duì)邊坡的穩(wěn)定性加持較小。當(dāng)邊坡坡度增加時(shí)，無草邊坡安全系數(shù)降低，根系固土的作用更加明顯。

表5 邊坡安全系數(shù)

圖9a-9c分別給出了坡角為30°時(shí)，無草邊坡和兩種含草邊坡模型的等效塑性應(yīng)變云圖。從圖9中可以看出，無草邊坡的滑動(dòng)面較淺，含草邊坡的滑動(dòng)面較深。無草邊坡坡腳變形較小，坡頂變形較大；2種含草邊坡的坡腳處都有較大的隆起，坡頂有較大的豎向和水平位移。塑性區(qū)由坡角發(fā)展至坡頂，并從坡腳貫通至坡頂。由于根系的存在，塑性區(qū)主要分布在根系分布區(qū)以下部分，且更加分散，因此提高了含草邊坡的穩(wěn)定性。含草邊坡均勻化模型與含草邊坡Link模型的等效塑性應(yīng)變云圖分布規(guī)律基本一致，說明了本文所述均勻化方法的準(zhǔn)確性。

圖9 等效塑性應(yīng)變分布

為達(dá)到必要的模擬精度，分離實(shí)體式模型含有155 513個(gè)三維實(shí)體單元，而本文提出的均勻化理論模型僅僅使用了6 873個(gè)單元，減少了95.58%的單元數(shù)。雖然兩者在應(yīng)力分布上可以取得類似精度，但是均勻化模型在計(jì)算速度上得到極大提高。當(dāng)計(jì)算安全系數(shù)時(shí)，分離實(shí)體式模型由于異形單元的存在，極易造成收斂性失穩(wěn)。而含草邊坡Link模型在邊坡工況不過分復(fù)雜的情況下可以解決此問題，但是依然使用了16 397個(gè)實(shí)體單元和250個(gè)Link單元，且建模過程復(fù)雜。本文僅列舉了簡單的直根系工況，并且建模時(shí)考慮到計(jì)算效率，在方向上采用了對(duì)稱邊界。如果按照自然界草根系多行多排方式直接建立模型，分離實(shí)體式和Link模型都將面臨巨大困難，而本文方法將受干擾極小，優(yōu)勢將會(huì)進(jìn)一步體現(xiàn)。因此，邊坡根系含量越多，本文方法的優(yōu)勢將越明顯。

4 結(jié) 論

本文提出了一種基于漸進(jìn)均勻化理論的含草邊坡本構(gòu)關(guān)系的計(jì)算方法，通過對(duì)比研究和數(shù)值分析，驗(yàn)證了本文所述方法的準(zhǔn)確性和高效性。本文選取黃土高原草本植物披堿草為對(duì)象，進(jìn)一步研究了植物根系固土護(hù)坡的能力，得到以下結(jié)論：

1）本文所述方法研究含大量根系的邊坡具有明顯的效率優(yōu)勢，極大地減少了模型計(jì)算工作量（減少了95.58%的單元數(shù)），為含根群的邊坡穩(wěn)定性研究開拓了新思路。

2）草根根系的存在，改善了坡體淺層土體的應(yīng)力狀態(tài)，提高了邊坡安全系數(shù)，保持了邊坡的水土穩(wěn)定性。

3）當(dāng)邊坡坡度較小時(shí)（坡角為30°），無草邊坡安全系數(shù)較大（=4.28），根系對(duì)邊坡的穩(wěn)定性加持較小（平均僅提高2.92%）；當(dāng)坡角增大到45°時(shí)，無草邊坡安全系數(shù)下降為2.90，而含草邊坡平均安全系數(shù)提升了13.45%，根系固土效果更加顯著。

本文基于理想的豎向根系，下一步研究工作將以植物單株為“單胞”，考慮單株根系分布形態(tài)，形成真實(shí)三維“單胞”模型，提高計(jì)算精度和方法通用性。

[1] Moresi F V, Maesano M, Matteucci G, et al. Root biomechanical traits in a montane Mediterranean forest watershed: Variations with species diversity and soil depth[J]. Forests, 2019, 10(341). doi:10.3390/f10040341.

[2] 吳美蘇，周成，王林，等. 根系和裂隙對(duì)土體水力和力學(xué)特性影響數(shù)值模擬[J]. 巖土力學(xué)，2019，40(S1)：519-526，534. Wu Meisu, Zhou Cheng, Wang Lin, et al. Numerical simulation of the influence of roots and fissures on hydraulic and mechanical characteristics of the soil[J]. Rock and Soil Mechanics, 2019, 40(S1): 519-526,534. (in Chinese with English abstract)

[3] 鄭明新，黃鋼，彭晶. 不同生長期多花木蘭根系抗拉拔特性及其根系邊坡的穩(wěn)定性[J]. 農(nóng)業(yè)工程學(xué)報(bào)，2018，34(20)：175-182.Zheng Mingxin, Huang Gang, Peng Jing. Tensile-pullout properties of roots ofin different growth stages and stability of slope with its root[J]. Transactions of the Chinese Society of Agricultural Engineering (Transactions of the CSAE), 2018, 34(20): 175-182. (in Chinese with English abstract)

[4] 及金楠，田佳，瞿文斌. 基于連續(xù)斷裂過程的根系黏聚力Wu氏模型修正系數(shù)的確定[J]. 林業(yè)科學(xué)，2017，53(11)：170-178.Ji Jinnan, Tian Jia, Qu Wenbin. Determination of correction coefficients of Wu's model of root cohesion based on successive fracture process[J]. Scientia Silvae Sinicae, 2017, 53(11): 170-178. (in Chinese with English abstract)

[5] Fan C C, Tsai M H. Spatial distribution of plant root forces in root-permeated soils subject to shear[J]. Soil and Tillage Research, 2016, 156: 1-15.

[6] Leung F T, Yan W, Hau B C, et al. Root systems of native shrubs and trees in Hong Kong and their effects on enhancing slope stability[J]. Catena, 2015, 125: 102-110.

[7] Mao Z, Bourrier F, Stokes A, et al. Three-dimensional modelling of slope stability in heterogeneous montane forest ecosystems[J]. Ecological Modelling, 2014, 273: 11-22.

[8] 余芹芹，胡夏嵩，李國榮，等. 寒旱環(huán)境灌木植物根–土復(fù)合體強(qiáng)度模型試驗(yàn)研究[J]. 巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào)，2013，32(5)：1020-1031.Yu Qinqin, Hu Xiasong, Li Guorong, et al. Research on strength model test of shrub root-soil composite system in cold and arid environments[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2013, 32(5): 1020-1031. (in Chinese with English abstract)

[9] 栗岳洲，付江濤，余冬梅，等. 寒旱環(huán)境鹽生植物根系固土護(hù)坡力學(xué)效應(yīng)及其最優(yōu)含根量探討[J]. 巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào)，2015，34(7)：1370-1383.Li Yuezhou, Fu Jiangtao, Yu Dongmei, et al.Mechanical effects of halophytes roots and optimal root content for slope protection in cold and arid environment[J].Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2015, 34(7): 1370-1383. (in Chinese with English abstract)

[10] Zhang C B, Chen L H, Jiang J. Why fine tree roots are stronger than thicker roots: The role of cellulose and lignin in relation to slope stability[J]. Geomorphology, 2014, 206: 196-202.

[11] 陳麗華，及金楠，冀曉東，等. 林木根系基本力學(xué)性質(zhì)[M]. 北京：科學(xué)出版社，2012.

[12] 肖本林，羅壽龍，陳軍，等. 根系生態(tài)護(hù)坡的有限元分析[J]. 巖土力學(xué)，2011，32(6)：1881-1885.Xiao Benlin, Luo Shoulong, Chen Jun, et al. Finite element analysis of eco-protection slope through roots[J]. Rock and Soil Mechanics, 2011, 32(6): 1881-1885. (in Chinese with English abstract)

[13] 蓋小剛，陳麗華，蔣坤云，等. 4種喬木根系不同埋根方式根-土復(fù)合體的抗剪特性[J]. 林業(yè)科學(xué)，2014，50(9)：105-111.Gai Xiaogang, Chen Lihua, Jiang Kunyun, et al. Shear characteristic research on root-soil composite in four kinds of roots of trees and different root buried ways[J]. Scientia Silvae Sinicae, 2014, 50(9): 105-111. (in Chinese with English abstract)

[14] 朱錦奇，王云琦，王玉杰，等. 基于試驗(yàn)與模型的根系增強(qiáng)抗剪強(qiáng)度分析[J]. 巖土力學(xué)，2014，35(2)：449-458.Zhu Jinqi, Wang Yunqi, Wang Yujie, et al. Analysis of root system enhancing shear strength based on experiment and model[J]. Rock and Soil Mechanics, 2014, 35(2): 449-458. (in Chinese with English abstract)

[15] 田佳，曹兵，及金楠，等. 花棒根-土復(fù)合體直剪試驗(yàn)的有限元數(shù)值模擬與驗(yàn)證[J]. 農(nóng)業(yè)工程學(xué)報(bào)，2015，31(16)：152-158.Tian Jia, Cao Bing, Ji Jinnan, et al. Numerical simulation and validation test of direct shear test for root-soil composite ofusing finite element method[J]. Transactions of the Chinese Society of Agricultural Engineering (Transactions of the CSAE), 2015, 31(16): 152-158. (in Chinese with English abstract)

[16] 孔綱強(qiáng)，文磊，劉漢龍，等. 植物根系分布形態(tài)及含根復(fù)合土強(qiáng)度特性試驗(yàn)[J]. 巖土力學(xué)，2019，40(10)：1-8.Kong Gangqiang, Wen Lei, Liu Hanlong, et al. Strength properties on root compound soil and morphological observation of plant root[J]. Rock and Soil Mechanics, 2019, 40(10): 1-8. (in Chinese with English abstract)

[17] 朱錦奇，王云琦，王玉杰，等. 基于植物生長過程的根系固土機(jī)制及Wu模型參數(shù)優(yōu)化[J]. 林業(yè)科學(xué)，2018，54(4)： 49-57.Zhu Jinqi, Wang Yunqi, Wang Yujie, et al. Analyses on root reinforcement mechanism based on plant growth process and parameters optimization of Wu model[J]. Scientia Silvae Sinicae, 2018, 54(4): 49-57. (in Chinese with English abstract)

[18] 楊璞. 根土復(fù)合體極限載荷的數(shù)值計(jì)算方法和實(shí)驗(yàn)研究[D]. 北京：清華大學(xué)，2008.Yang Pu. Numerical and Experimental Research of Limit Loads of Soil-root Composites[D]. Beijing: Tsinghua University, 2008.

[19] Ji J, Mao Z, Qu W, et al. Energy-based fibre bundle model algorithms to predict soil reinforcement by roots[J]. Plant and Soil, 2020, 446: 307-329.

[20] Zhu J, Wang Y, Wang Y, et al. How does root biodegradation after plant felling change root reinforcement to soil?[J]. Plant and Soil, 2020, 446: 211-227.

[21] Hassani B, Hinton E. A review of homogenization and topology optimization I: Homogenization theory for media with periodic structure[J]. Computers & Structures, 1998, 69(6): 707-717.

[22] 董其伍，王哲，劉敏珊. 漸進(jìn)均勻化理論研究復(fù)合材料有效力學(xué)性能[J]. 材料科學(xué)與工程學(xué)報(bào)，2008，26(1)：72-75.Dong Qiwu, Wang Zhe, Liu Minshan. Asymptotic homogenization theory for composites: Effective mechanics properties[J]. Journal of Materials Science & Engineering, 2008, 26(1): 72-75. (in Chinese with English abstract)

[23] Hassani B, Hinton E. A review of homogenization and topology opimization II-analytical and numerical solution of homogenization equations[J]. Computers and Structures, 1998, 69: 719-738.

[24] 陳惠發(fā)，薩里普 AF. 彈性與塑性力學(xué)[M]. 余天慶，王勛文，劉再華譯. 北京：中國建筑工業(yè)出版社，2004.

[25] Omine K, Ohno S, Deformation analysis of composite ground by homogenization method[C] // Proceedings of the International Conference on Soil Mechanics and Foundation Engineering-International Society for Soil Mechanics and Foundation Engineering, AA BALKEMA, 1997, 719-722.

[26] 扈萍，宋修廣，吳登高. 高速公路邊坡植草護(hù)坡的根固效應(yīng)試驗(yàn)研究[J]. 巖土力學(xué)，2008，29(2)：442-444.Hu Ping, Song Xiuguang, Wu Denggao. Experimental research on reinforcement mechanism of expressway slope protection with greensward[J]. Rock and Soil Mechanics, 2008, 29(2): 442-444. (in Chinese with English abstract)

[27] Borovkov A I, Sabadash V O, Finite element multiscale homogenization and sequential heterogenization of composite structures[C] // ANSYS conference, Pittsburgh. USA, 2002.

[28] 及金楠，張志強(qiáng)，郭軍庭，等. 黃土高原刺槐和側(cè)柏根系固坡的有限元數(shù)值模擬[J]. 農(nóng)業(yè)工程學(xué)報(bào)，2014，30(19)：146-154.Ji Jinnan, Zhang Zhiqiang, Guo Junting, et al. Finite element numerical simulation of Black Locust () and Arborvitae () roots on slope stability on Loess Plateau of China[J]. Transactions of the Chinese Society of Agricultural Engineering (Transactions of the CSAE), 2014, 30(19): 146-154. (in Chinese with English abstract)

[29] 江勝華，汪時(shí)機(jī)，李偉清，等. 基于位移變化率和強(qiáng)度折減有限元的邊坡失穩(wěn)判定方法[J]. 農(nóng)業(yè)工程學(xué)報(bào)，2017，33(15)：155-161.Jiang Shenghua, Wang Shiji, Li Weiqing, et al. Slope instability evaluation method using finite element method of strength reduction and displacement rate[J]. Transactions of the Chinese Society of Agricultural Engineering (Transactions of the CSAE), 2017, 33(15): 155-161. (in Chinese with English abstract)

[30] 涂義亮，劉新榮，鐘祖良，等. 三類邊坡失穩(wěn)判據(jù)的統(tǒng)一性[J]. 巖土力學(xué)，2018，39(1)：173-180，190.Tu Yiliang, Liu Xinrong, Zhong Zuliang, et al. The unity of three types of slope failure criteria[J]. Rock and Soil Mechanics, 2018, 39(1):173-180,190. (in Chinese with English abstract)

[31] 侍倩. 植被對(duì)斜坡土體土力學(xué)參數(shù)影響的試驗(yàn)研究[J]. 巖土力學(xué)，2005，26(12)：2027-2030.Shi Qian. Test research on influence of vegetation on mechanical parameters of soils[J]. Rock and Soil Mechanics, 2005, 26(12): 2027-2030. (in Chinese with English abstract)

[32] 田佳，及金楠，鐘琦，等. 賀蘭山云杉林根土復(fù)合體提高邊坡穩(wěn)定性分析[J]. 農(nóng)業(yè)工程學(xué)報(bào)，2017，33(20)：144-152. Tian Jia, Ji Jinnan, Zhong Qi, et al. Analysis on improvement of slope stability in root-soil composite of Picea crassifolia forest in Helan Mountain[J]. Transactions of the Chinese Society of Agricultural Engineering (Transactions of the CSAE), 2017, 33(20): 144-152.

Numerical simulation of root reinforcement for herbs in Loess Plateau based on asymptotic homogenization theory

Huang Jiankun, Wang Xuelin, Ji Jinnan, Chen Lihua, Zhang Zhiwei

(1.,,,042200,; 2.,,,100083,; 3.,,100083,)

Loess Plateau is the most severe soil and water loss area in the world, as well subjected to shallow-landslide disaster in China. Currently, grass system has been widely distributed in the Loess Plateau, while the root system shows obviously periodic characteristics in spatial distribution. In order to accurately evaluate the influence of root groups on root reinforcement, and the coupling relationship between roots and soils, a constitutive relation of the “root-soil” composite was constructed via the “unit cell” of the root and soil based on the asymptotic homogenization theory. The “root-soil” composite in the nature similar to the reinforced concrete, can be regarded as a “new composite material”, with a strong coupling relationship between roots and soil. In the deduction, some numerical methods including the perturbation method, periodic boundary conditions, subsection integral method and divergence theorem, were used to derive the expression of the equivalent stiffness matrix, and the equivalent density of the root-soil composite. The detailed solution to these functions was also given based on the finite element method. The two-dimensional elastic parameters of the root-soil composites were calculated by MATLAB program. The three-dimensional equivalent elastic parameters of the root-soil composite were eventually obtained, where the two-dimensional plane strain problem can be extended to three-dimensional one by additional equations. The calculation accuracy and stability of the present method are better than those of the simplified method, particularly on calculating the three-dimensional constitutive relationship. There was a certain deviation (up to 29.4%) in the calculation of equivalent Poisson's ratioυ, whereas, the calculation errors of other equivalent parameters are less than 7.1%. To illustrate the accuracy and efficiency of the homogenization method in root reinforced slopes, the influence of the’s roots on the stress and strain field of the slope was analyzed based on the finite element software ANSYS. Three types of numerical models were constructed, including the slope model without grass, root reinforced slope with separated root elements, and root reinforced slope based on the present homogenization theory. The slope safety factor was calculated using the strength reduction method considering the penetrated equivalent plastic strain zone or not. The results show that: (1) The asymptotic homogenization theory can accurately construct the constitutive relation of “root-soil” composites, while reduce the calculation work (the element number reduced up to 95.58%). The error ofυhas little effect on the stress distribution of the simulated slopes with homogenized materials. (2)root system can modify the stress field of the shallow slope, indicating more uniform of the shear stress in the root distribution zone. Therefore, the slope stability can be improved. (3) If the slope angle is small (30°), the safety factor of the slope without grass is large (= 4.28). The root system has a small effect on the slope stability (an average increase is only 2.92%). If the slope angle increases up to 45°, the safety factor of the slope without grass reduces to= 2.90, while the averaged safety factor of slopes with grass increases by 13.45%, indicating the dominated reinforcement effect of root system on slopes. These findings can open up a new way to set “root-soil” periodic composites for root reinforced slopes.

slope stability; roots; reinforcement; homogenization theory; finite element method

黃建坤，王學(xué)林，及金楠，等. 基于漸近均勻化理論的黃土高原草本植物固土效果模擬[J]. 農(nóng)業(yè)工程學(xué)報(bào)，2020，36(9)：168-176.doi：10.11975/j.issn.1002-6819.2020.09.019 http://www.tcsae.org

Huang Jiankun, Wang Xuelin, Ji Jinnan, et al. Numerical simulation of root reinforcement for herbs in Loess Plateau based on asymptotic homogenization theory[J]. Transactions of the Chinese Society of Agricultural Engineering (Transactions of the CSAE), 2020, 36(9): 168-176. (in Chinese with English abstract) doi：10.11975/j.issn.1002-6819.2020.09.019 http://www.tcsae.org

2019-11-6

2020-03-09

國家自然科學(xué)基金（31700637）；中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金（2015ZCQ-SB-01）

黃建坤，副教授，博士，主要從事防災(zāi)減災(zāi)、水土保持等方面的研究工作。Email：jiankunhuang@bjfu.edu.cn

10.11975/j.issn.1002-6819.2020.09.019

TU 441

A

1002-6819(2020)-09-0168-09