立足通法 圖象護航 技巧加速

王蘭靈

摘要?對函數(shù)單調(diào)性的研究，其核心可以歸結(jié)為研究導函數(shù)的圖象. 導函數(shù)圖象的形狀和位置能夠非常直觀地反映原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間. 因此，導函數(shù)的圖象猶如護航使者，為函數(shù)單調(diào)性的討論保駕護航.

關(guān)鍵詞 導函數(shù);圖象;單調(diào)性;分類策略

近幾年的全國卷，獨立命題的省市卷，都常以導數(shù)作為壓軸題，學生得分低. 無論是求函數(shù)極值、最值、不等式證明還是零點個數(shù)問題，最終都離不開討論含參函數(shù)的單調(diào)性. 筆者經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)，對函數(shù)單調(diào)性的研究，其核心都可以歸結(jié)為研究導函數(shù)的圖象. 導函數(shù)圖象的形狀和位置能夠非常直觀地反映原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.?《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》?也指出：直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學問題的素養(yǎng). 直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進行數(shù)學推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎. 此外，我國著名數(shù)學家華羅庚也曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微;數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休”. 因此，把導函數(shù)的圖象作為研究函數(shù)單調(diào)性的主要工具，既符合課程標準，又傳承了數(shù)形結(jié)合思想. 導函數(shù)的圖象猶如護航使者，為函數(shù)單調(diào)性的討論保駕護航. 含參函數(shù)導函數(shù)圖象的研究，與含參函數(shù)單調(diào)性的討論通法相通，但很多題目的數(shù)據(jù)設置非常有特點，如果我們能優(yōu)先發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)的特殊性，便可利用技巧，優(yōu)化分類，提高解題效率.?下面以二次導函數(shù)（或類二次）為例，從易到難舉例示范.

類型一、判別式符號確定型（該類型較簡單，限于篇幅，略）

類型二、判別式符號不定型

通過以上四種類型的四個例題，我們可以把含參函數(shù)單調(diào)性的分類討論策略概括為“立足通法 圖象護航 技巧加速”，具體如下：

1. 將導函數(shù)盡量分解因式，把它變成整式乘除的形式.若出現(xiàn)二次函數(shù)（或類二次函數(shù)），則把其寫成二次函數(shù)的交點式形式，進而根據(jù)參數(shù)的符號、零點的分布、零點的大小分類討論.

2. 對于導函數(shù)無法分解因式的類型，則觀察參數(shù)，考慮其是否存在某個區(qū)間使得導函數(shù)（或?qū)Ш瘮?shù)的某個因式）的符號是確定的. 若存在，則我們可以利用參數(shù)的特殊性優(yōu)化分類，提高效率;若不存在，則我們采用通法，根據(jù)參數(shù)的符號分類.

3. 對于以上兩種類型，我們都把導函數(shù)的圖象作為輔助工具，導函數(shù)的圖象能直觀地反映其零點的分布情況，更能自然地引導我們求出零點，且在必要的時候以零點的大小關(guān)系繼續(xù)分類.

參考文獻

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[3]方明生.立足通性通法 尋求解題策略——含參函數(shù)單調(diào)性分類討論的標準[J].中學數(shù)學研究，2019年第9期：37-39.