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    差分粒子群算法在PUMA機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解中的應(yīng)用

    2020-06-19 08:45:58汪院林袁銳波袁安華
    軟件導(dǎo)刊 2020年4期

    汪院林 袁銳波 袁安華

    摘要:傳統(tǒng)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解主要從逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程出發(fā),基于一定的數(shù)學(xué)理論推導(dǎo),不能完全實(shí)現(xiàn)計(jì)算機(jī)程序化,且精度與計(jì)算效率較低:為改善這一缺陷,基于機(jī)器人正向運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,借助MATLAB工具,使用蒙特卡洛法仿真分析出PUMA560機(jī)器人的工作空間,任取一點(diǎn)末端執(zhí)行器位姿作為逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解的已知位姿矩陣T,結(jié)合差分粒子群仿生智能算法作為逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解的主要理論算法。將計(jì)算出的旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)變量θ1-θ6代入正運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,得出末端位姿矩陣于;通過計(jì)算分析T與于相關(guān)角度誤差,兩矩陣所對應(yīng)的位置向量與姿態(tài)向量誤差精度為0.001數(shù)量級,完全滿足目前機(jī)器人定位要求?;诓罘至W尤豪碚摰臋C(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解方法計(jì)算收斂速度更快,能高度實(shí)現(xiàn)計(jì)算機(jī)程序化,誤差精度高,提高計(jì)算效率。

    關(guān)鍵詞:正運(yùn)動(dòng)學(xué);差分粒子群算法;收斂速度;位姿矩陣;逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解

    DOI: 10. 11907/rjdk.191724

    開放科學(xué)(資源服務(wù))標(biāo)識碼(OSID):

    中圖分類號:TP319

    文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A

    文章編號:1672-7800(2020)004-0203-05

    0 引言

    近年來,機(jī)器人技術(shù)發(fā)展迅速,在工業(yè)等領(lǐng)域占據(jù)重要地位,機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)研究也日益增多。機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)主要由正運(yùn)動(dòng)學(xué)與逆運(yùn)動(dòng)學(xué)兩部分組成:機(jī)器人正運(yùn)動(dòng)學(xué)主要以基坐標(biāo)為基礎(chǔ),根據(jù)各關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)角度確定末端執(zhí)行器的位姿;逆運(yùn)動(dòng)學(xué)與其相反,以末端關(guān)節(jié)為出發(fā)點(diǎn)最終回到基坐標(biāo)。正運(yùn)動(dòng)學(xué)由多個(gè)關(guān)節(jié)的位姿矩陣進(jìn)行連乘運(yùn)算,最終確定末端執(zhí)行器唯一的位姿矩陣,而逆運(yùn)動(dòng)學(xué)末端位姿可以對應(yīng)機(jī)器人系統(tǒng)關(guān)節(jié)的多個(gè)解[1]。機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)問題隨著運(yùn)動(dòng)關(guān)節(jié)的增多而更加復(fù)雜,它實(shí)質(zhì)上是解一個(gè)非線性方程問題。實(shí)際應(yīng)用中,機(jī)器人所要執(zhí)行的任務(wù)通常用其基坐標(biāo)系描述[2]。因此,機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解在控制領(lǐng)域顯得尤為重要。

    目前,機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)方程求解方法主要有解析法、幾何法、迭代法、幾何一解析法[3]等。Paul等[4]對PUMA機(jī)器人提出了當(dāng)d6=0時(shí)逆運(yùn)動(dòng)的解析解;Lee等[5]提出應(yīng)用幾何學(xué)方法求解各關(guān)節(jié)變量;王奇志等[6]提出當(dāng)d6≠0時(shí)的一種解析解法;戴齊等[2]對PUMA機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)解利用幾何一解析法進(jìn)行研究?;趥鹘y(tǒng)理論方法雖然模型建立簡單,但計(jì)算效率低下,難于析出機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)的所有解,且計(jì)算機(jī)程序的可移植性較差;吳振宇等[7]利用遺傳粒子群算法在解決非線性問題時(shí)的優(yōu)勢,對PUMA機(jī)器人的逆運(yùn)動(dòng)解提出遺傳粒子群算法理論,但該方法需要大量的樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行訓(xùn)練,且對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行最優(yōu)搜索時(shí)收斂速度較慢,會(huì)陷入局部最優(yōu)狀態(tài),存在一定不足。

    本文提出一種新的逆運(yùn)動(dòng)求解方法:基于差分進(jìn)化算法( Differential Evolution Algorithm.DE),該方法結(jié)構(gòu)簡單,收斂速度快,魯棒性較強(qiáng),是與粒子群優(yōu)化算法( ParticleSwarm Optimization,PSO)同時(shí)考慮位置與速度兩個(gè)參數(shù)相結(jié)合的一種混合智能算法[8]。從正向運(yùn)動(dòng)學(xué)方程出發(fā),在各關(guān)節(jié)角變量范圍內(nèi)取出相應(yīng)角度值,建立PUMA機(jī)器人工作空間范圍模型。通過圖像方式驗(yàn)證三維空間尺寸是否與機(jī)器人結(jié)構(gòu)尺寸一致,圖形各投影平面中有沒有明顯的空洞現(xiàn)象?;谒心┒藞?zhí)行器位姿點(diǎn),取其中某一點(diǎn)位姿,將差分粒子群混合算法作為PUMA機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)求解主要理論,彌補(bǔ)了傳統(tǒng)逆運(yùn)動(dòng)求解方法的不足,提高了計(jì)算效率和精度。

    1 正運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

    1.1 D-H法坐標(biāo)系及幾何參數(shù)

    PUMA型機(jī)器人有6個(gè)自由度,且6個(gè)關(guān)節(jié)均為旋轉(zhuǎn)類型,可采用標(biāo)準(zhǔn)D-H法建立桿件坐標(biāo)系描述各關(guān)節(jié)之間的特征參數(shù)和運(yùn)動(dòng)關(guān)系。該矩陣為4x4的齊次變換矩陣,通過該矩陣可得出與PUMA560機(jī)器人幾何尺寸相關(guān)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。標(biāo)準(zhǔn)D-H法得到的相鄰桿件之間的齊次變換矩陣如下:

    各連桿幾何參數(shù)如表1所示。

    1.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程

    PUMA560機(jī)器人由多個(gè)旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)組成,其中包含旋轉(zhuǎn)基座、大小臂、手腕等幾部分[9]。前3個(gè)關(guān)節(jié)用于對末端執(zhí)行器進(jìn)行定位,后3個(gè)關(guān)節(jié)主要用于保證末端執(zhí)行器的姿態(tài)。PUMA機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)正解方程如下:

    若給出關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)角及各連桿幾何參數(shù),通過式(2)可求出PUMA機(jī)器人末端執(zhí)行器位姿;若僅已知末端關(guān)節(jié)位姿,則需要確定中間各關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)角,這需要進(jìn)行大量計(jì)算方可求出。

    2 PUMA機(jī)器人工作空間仿真

    2.1 蒙特卡洛法工作空間分析

    目前,確定機(jī)器人工作空間的方法主要有數(shù)值法、解析法及圖解法。圖解法方法較簡單,但受關(guān)節(jié)數(shù)目限制,對多自由度機(jī)器人進(jìn)行工作空間分析時(shí)需采用分組處理[10];解析法主要采用微分幾何學(xué)原理,通過繪制函數(shù)解析式的多次包絡(luò)曲線確定工作空間,表示復(fù)雜,多用于三自由度以下機(jī)器人的工作空間分析[11];數(shù)值法多建立在極值理論及相關(guān)優(yōu)化理論之上,通常計(jì)算量龐大,用于圖形邊界為曲面且凹陷時(shí),計(jì)算可靠性低[12]。本文提出一種建立于數(shù)值法基礎(chǔ)上且引進(jìn)隨機(jī)分布方法的蒙特卡洛法,它主要依托隨機(jī)抽樣的數(shù)學(xué)理論將工程問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型,應(yīng)用范圍較廣。在工程中,主要用于一些隨機(jī)無規(guī)律性的物理問題,而在機(jī)器人領(lǐng)域多用來進(jìn)行誤差分析。然而,機(jī)器人工作空間的仿真計(jì)算也能通過蒙特卡洛法理論完成,可利用計(jì)算機(jī)輔助計(jì)算[13]。

    蒙特卡洛法求解機(jī)器人工作空間,主要是在機(jī)器人各關(guān)節(jié)的旋轉(zhuǎn)變量范圍內(nèi)按一定步長隨機(jī)取值,然后把各旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的取值代入方程式(2)中,最終計(jì)算出自由端執(zhí)行器的空間坐標(biāo)值,而末端關(guān)節(jié)所有隨機(jī)值的集合則構(gòu)成機(jī)器人工作空間。將末端執(zhí)行器得到的坐標(biāo)點(diǎn)輸出到圖形設(shè)備上,可得出機(jī)器人工作空間的三維仿真圖形。

    蒙特卡洛法主要步驟如下[14]:

    (5)設(shè)定所需要輸出的點(diǎn)集數(shù),通過循環(huán)方式重復(fù)步驟(3)、步驟(4),直到滿足條件為止。

    上述算法可借助MATLAB軟件程序化完成,最終將末端位置空間點(diǎn)通過三維繪圖函數(shù)plot3輸出。利用蒙特卡洛法進(jìn)行機(jī)器人工作空間仿真步驟如圖2所示。

    2.2 PUMA560機(jī)器人工作空間仿真分析

    根據(jù)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)正解方程及蒙特卡洛法理論,將該算法編寫成MATLAB程序進(jìn)行仿真分析。PUMA560機(jī)器人各關(guān)節(jié)角度取值點(diǎn)為50 000個(gè),最終輸出50 000個(gè)點(diǎn)作為三維工作空間,仿真結(jié)果如圖3-圖6所示。

    從以上三維工作空間仿真圖及各平面投影圖分析可得出:仿真分析出的工作空間均未超出各關(guān)節(jié)變量旋轉(zhuǎn)范圍,且各圖形尺寸范圍與PUMA560機(jī)器人結(jié)構(gòu)尺寸相一致。從圖中看出各點(diǎn)集均勻,未出現(xiàn)空洞等現(xiàn)象。因此,該仿真結(jié)果與實(shí)際相符。

    3 逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解

    粒子群優(yōu)化算法(PSO)是來源于觀察鳥群覓食而誕生的一種仿生算法,廣泛應(yīng)用于非線性問題、多極值和不可微等場合的優(yōu)化,需要設(shè)置的參數(shù)較少[16]。PSO算法在搜索空間范圍內(nèi)尋找最優(yōu)解,主要與粒子適應(yīng)度和群體兩個(gè)參數(shù)有關(guān),而粒子群的每一個(gè)體可表示某優(yōu)化問題的一個(gè)概率解。每個(gè)粒子主要由速度和位置兩大屬性決定。粒子適應(yīng)度是將粒子位置代入目標(biāo)函數(shù)得到的數(shù)值,粒子適應(yīng)度是判斷粒子優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)。在對問題進(jìn)行搜索迭代時(shí),粒子主要依據(jù)兩個(gè)參數(shù)作出變換:①粒子受自身經(jīng)驗(yàn)影響而得到的最優(yōu)解,即個(gè)體歷史極值pBest;②粒子受全局影響而尋到的最優(yōu)解,即全局歷史極值gBest。用以下公式對粒子位置及速度進(jìn)行更新。

    式中,v(t+1)、x(t+1)分別為下一時(shí)刻粒子的速度與位置;C1、c2為學(xué)習(xí)因子,代表個(gè)體經(jīng)驗(yàn)與群體經(jīng)驗(yàn)對粒子速度影響所占權(quán)重;rand()為隨機(jī)數(shù),范圍為[0,1];ω為慣性權(quán)重,是與時(shí)間有關(guān)的動(dòng)態(tài)調(diào)整參數(shù)。ω取值對算法影響至關(guān)重要,ω較大能提高全局搜索能力,但收斂速度很慢,較小則易陷入局部搜索。本文對ω的取值隨迭代次數(shù)從0.9線性遞減為0.4[17],變化公式如下:

    差分進(jìn)化算法(DE)是一種并行求解的進(jìn)化算法,與遺傳算法類似,用相同的算術(shù)操作(如:變異、交叉和選擇算子)對初始群體或父代群體進(jìn)行更新。DE首先進(jìn)行變異操作,在搜索范圍內(nèi)任意選取一個(gè)體作為基準(zhǔn)父代個(gè)體,并在父代個(gè)體外隨機(jī)選取兩個(gè)向量進(jìn)行差值計(jì)算,加權(quán)后與父代個(gè)體求和;然后經(jīng)交叉算子在父代個(gè)體與變異個(gè)體間進(jìn)行選擇,產(chǎn)生實(shí)驗(yàn)個(gè)體;最終結(jié)合目標(biāo)函數(shù)對父代個(gè)體和實(shí)驗(yàn)個(gè)體作選擇,生成新的子代個(gè)體[18]。

    其中,F(xiàn)(x)為對應(yīng)問題的目標(biāo)函數(shù)值。

    本文根據(jù)PUMA560機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程建立數(shù)學(xué)模型(目標(biāo)函數(shù)):機(jī)器人末端執(zhí)行器位姿矩陣為T,利用差分粒子群算法優(yōu)化得出第t次搜索時(shí)各關(guān)節(jié)變量所對應(yīng)的矩陣T,數(shù)學(xué)模型可表達(dá)為兩矩陣T與T之間的空間距離,使其為極小佰,計(jì)算如下:

    本文結(jié)合DE與PSO各自的優(yōu)點(diǎn),提出一種差分粒子群算法(DEPSO),用于解決PUMA560機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)問題。該算法以PSO流程為主,通過DE算法增強(qiáng)了粒子群體的多樣性,可避免PSO算法陷入局部最優(yōu)解。DEPSO算法步驟如下:①在粒子群體范圍內(nèi),初始化粒子位置與速度,設(shè)計(jì)數(shù)器t=0;②計(jì)算粒子適應(yīng)度,用于DE算法選擇粒子,計(jì)數(shù)器t=t+1;③粒子根據(jù)式(8)進(jìn)行DE變異操作并作選擇;④更新局部最優(yōu)解pBest與全局最優(yōu)解,根據(jù)式(5).式(6)計(jì)算粒子位置與速度;⑤粒子根據(jù)式(9)進(jìn)行DE交叉計(jì)算;⑥計(jì)算粒子適應(yīng)度;⑦選擇新一代粒子;⑧更新局部最優(yōu)解和全局最優(yōu)解;⑨若計(jì)數(shù)器大于給定循環(huán)次數(shù),則退出計(jì)算,否則,調(diào)至步驟②。

    DEPSO算法基本流程如圖7所示。

    4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

    PUMA560機(jī)器人各桿件參數(shù)如表1所示。根據(jù)蒙特卡洛法機(jī)器人正運(yùn)動(dòng)學(xué)求出所有末端關(guān)節(jié)位姿矩陣,任取其中一點(diǎn)作為逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解的末端位姿矩陣T,如下所示:

    根據(jù)矩陣T與于,可從位置與姿態(tài)矩陣分析求解精度。實(shí)驗(yàn)?zāi)┒岁P(guān)節(jié)矩陣T對應(yīng)的位置坐標(biāo)為[ 600.227,622.914,164.221];關(guān)節(jié)變量θ1-θ6所對應(yīng)矩陣T的位置坐標(biāo)為[600.2283,622.9124,164.2217],計(jì)算得出T與于之間的誤差精度為0.001mm數(shù)量級。

    姿態(tài)矩陣所對應(yīng)角度為T和于各自的反余弦值[20]。對T與于進(jìn)行分析可得出:PUMA560機(jī)器人指定末端位姿矩陣法向向量各自的方向角[106.5334°,76.3895°,21.6705°],所求關(guān)節(jié)角對應(yīng)位姿矩陣的法向向量方向角為[106.5313°,76.3855°,21.6714°];機(jī)器人指定末端位姿矩陣滑動(dòng)向量方向角為[61.0559°,143.2778°,69.4417°],所求關(guān)節(jié)角對應(yīng)的位姿矩陣滑動(dòng)向量方向角為[61.0585°,143.2788°,69.4397°];PUMA560機(jī)器人指定末端位姿矩陣所對應(yīng)的接近向量方向角各自為[34.1543°,56.6547°,83.4417°],所求關(guān)節(jié)角對應(yīng)位姿矩陣的接近向量方向角各自為[34.1507°,56.6577°,83.4445°】。通過以上計(jì)算可看出,利用差分粒子群算法計(jì)算PUMA560機(jī)器人得出的關(guān)節(jié)變量所對應(yīng)的末端姿態(tài)矩陣與指定末端姿態(tài)矩陣的誤差精度在0.001°數(shù)量級,由此可知,將本文的差分粒子群算法用于求解PUMA560機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解完全滿足定位精度要求。

    5 結(jié)語

    本文從正運(yùn)動(dòng)學(xué)方程出發(fā),根據(jù)蒙特卡洛法求解出PUMA560機(jī)器人工作空間的末端關(guān)節(jié)位姿矩陣,任取一點(diǎn)用于逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解過程。結(jié)合差分優(yōu)化算法與粒子群算法優(yōu)點(diǎn),提出一種差分粒子群混合智能算法,將其作為逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解方法。該方法與其它傳統(tǒng)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解方法相比較,更適合于計(jì)算機(jī)計(jì)算,具有定位精度高、收斂速度快、計(jì)算高效等優(yōu)點(diǎn)。通過實(shí)例驗(yàn)證可知,該方法用于機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)求解問題滿足當(dāng)前機(jī)器人定位誤差要求,是智能算法與逆運(yùn)動(dòng)數(shù)值法相結(jié)合的新理論。

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    (責(zé)任編輯:杜能鋼)

    作者簡介:汪院林(1994-),男,昆明理工大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院碩士研究生,研究方向?yàn)榱黧w傳動(dòng)與控制;袁銳波(1968-),男,博士,昆明理工大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院教授,研究方向?yàn)殡娨罕壤欧刂?、?fù)雜機(jī)電系統(tǒng)集成與控制;袁安華(1991-),男,昆明理工大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院碩士研究生,研究方向?yàn)榱黧w傳動(dòng)與控制。本文通訊作者:袁銳波。

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