動(dòng)靜轉(zhuǎn)換 化繁為簡

?浙江省寧波市仁愛中學(xué) 王雪君

1 引言

我們常說“動(dòng)靜結(jié)合”，其實(shí)從某種角度而言，動(dòng)和靜之間并不存在本質(zhì)性的差異，只是所選擇的參照物不同而已.以靜止的物體為參照物，才能體現(xiàn)出其他物體的動(dòng)態(tài)性.如果以動(dòng)態(tài)的物體為參照物，那么靜止的物體才是運(yùn)動(dòng)的.因此可以知道，動(dòng)和靜之間始終是存在相互轉(zhuǎn)化的.在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，我們可以采用動(dòng)靜結(jié)合的方式進(jìn)行轉(zhuǎn)換，從而降低數(shù)學(xué)問題解答的難度，而且也能夠通過這樣的方式有效提高數(shù)學(xué)問題的實(shí)際性解答效果.比如在數(shù)學(xué)問題上，我們可以利用相對運(yùn)動(dòng)觀念，把原來運(yùn)動(dòng)的圖形看成靜止的，把原來靜止的圖形看成運(yùn)動(dòng)的，這樣不僅能為解決問題提供新的手段，往往還能達(dá)到化繁為簡的效果.下面結(jié)合具體實(shí)例說明.

2 動(dòng)靜轉(zhuǎn)換典例分析

例1(2017年浙江舟山嘉興)如圖1所示，一副含30°和45°的三角板ABC和DEF疊合在一起，其BC邊和EF邊重合，且AB和DC相交于點(diǎn)H.現(xiàn)在知道BC邊(即EF邊)的長度為12 cm，G為邊BC的中點(diǎn).

(1)BH的長度為.

(2)現(xiàn)將三角板DEF繞點(diǎn)G按順時(shí)針的方向旋轉(zhuǎn)60°，如圖2所示，在三角板DEF轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中，點(diǎn)H移動(dòng)的距離為.(結(jié)果保留根號)

圖1 圖2

分析：本題第(2)問中點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)過程比較復(fù)雜，直觀的感受是BH的長度慢慢變短，因此很多人都把初始狀態(tài)和結(jié)束狀態(tài)算一下就得出了結(jié)果.造成這種情況是因?yàn)樵谶\(yùn)動(dòng)過程中很難看出BH長度變化.但利用相對運(yùn)動(dòng)的觀念，把三角板DEF看成不動(dòng)的，三角板ABC繞點(diǎn)G逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，這樣就很容易看出GH長度的變化是先變小，當(dāng)GH⊥DF時(shí)，GH最小，然后再逐漸變大.根據(jù)GH的值，我們可以求出BH的值，于是就很容易得到結(jié)果，問題就轉(zhuǎn)化成了解直角三角形問題[1].

解:(1)如圖3，當(dāng)BC和EF重合時(shí)，作HM⊥BC于點(diǎn)M.設(shè)HM=CM=x.

∵∠ABC=30°，∠BCD=45°，

圖3

圖4

(2)如圖4，當(dāng)GH⊥DF時(shí)，GH最小，此時(shí)BH也最小.作GN⊥AB于點(diǎn)N.

∵∠F=45，GF=6，

∵BG=FG=6，∠ABC=30°，

∴NH=3.

圖5

如圖5，當(dāng)點(diǎn)H和F重合時(shí)，

∵GF=BG，

∴∠GBF=∠GFB=30°.

圖6

圖7

點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O的過程中，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路程為1.

綜上所述，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的總路程為4 cm.

例3(2013年天津)如圖8，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(-2,0),B(0,4),點(diǎn)E在OB上，且∠OAE=∠OBA.

(1)略；

(2)如圖9，將△AEO沿x軸向右平移得到△A′E′O′，連接A′B，BE′.

②當(dāng)A′B+BE′取得最小值時(shí)，求點(diǎn)E′的坐標(biāo).

圖8 圖9

分析:本題的第(2)問，如果用代數(shù)法解決，會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)二次根式.欲求其最值，在初中階段有一定的難度，顯然考慮用幾何法解決.此題中，點(diǎn)B為定點(diǎn)，線段AE水平向右移動(dòng)，這種情況學(xué)生也不熟悉，對于標(biāo)答提供的構(gòu)造全等的方法，雖然非常巧妙，學(xué)生卻不易想到.若利用相對運(yùn)動(dòng)，將線段AE看成靜止的，點(diǎn)B水平向左運(yùn)動(dòng)，問題就轉(zhuǎn)化成了學(xué)生熟知的將軍飲馬問題了[2].

解:(1)略；

(2)如圖10，過點(diǎn)B作直線l平行于x軸，取點(diǎn)F與A關(guān)于l對稱，連結(jié)FE交l于點(diǎn)B′，顯然AB+BE≥AB′+BB′EEF.

圖10

由A(-2，0)，B(0，4)，

可得F(-2，8)，E(0，1).

設(shè)直線y=kx+b過點(diǎn)F，E，

即直線EF的解析式為

(1)略；

(2)略；

(3)如圖12，現(xiàn)將△BDP繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△BD′P′，當(dāng)∠PBP′=∠OAC，點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)P′落在坐標(biāo)軸上時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo).

圖11

圖12

分析：第(3)問的難度較大，首先，很難判斷具體有幾個(gè)點(diǎn)P，然后有些點(diǎn)P的坐標(biāo)也較難計(jì)算.當(dāng)△BDP繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，可簡化為線段BP繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn).由于點(diǎn)P為拋物線上的點(diǎn)，問題就轉(zhuǎn)化為：整個(gè)拋物線繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠OAC的度數(shù)與坐標(biāo)軸相交，求交點(diǎn)坐標(biāo).此時(shí)很容易判斷這樣的點(diǎn)有三個(gè)，同時(shí)新的問題也產(chǎn)生了，此時(shí)的拋物線解析式如何求.可以說，在初中階段這樣的拋物線的解析式是無法求出的.但利用相對運(yùn)動(dòng)的觀念，我們一樣可以解決問題.把拋物線看成靜止的，那么坐標(biāo)軸所在的直線繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠OAC的度數(shù)，與拋物線的交點(diǎn)，就是我們要求的點(diǎn)P，這樣問題就轉(zhuǎn)化成了求直線和拋物線的交點(diǎn)問題，可以輕松解決.

圖13

解:(1)(2)略；

(3)如圖13，將y軸所在直線繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠OAC的度數(shù)交拋物線與點(diǎn)P1.

由∠CBP1=∠OAC，得BP1⊥AC.

3 結(jié)束語

通過上述例題可以看出，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，動(dòng)和靜之間是相互結(jié)合的，學(xué)生只有把握好動(dòng)與靜之間的相互轉(zhuǎn)化，才能夠更好地保證動(dòng)點(diǎn)與靜點(diǎn)之間的有效性結(jié)合，也才能夠更加有效地學(xué)習(xí)和理解數(shù)學(xué)知識，切實(shí)提升數(shù)學(xué)解題能力.