基于積分法和濃度矩法縱向離散系數(shù)的推導(dǎo)及比較

鄭文言，鄭曉亭，沈良朵

(浙江海洋大學(xué)港航與交通運(yùn)輸工程學(xué)院，浙江舟山 316022)

輸移擴(kuò)散是物質(zhì)在液體中傳播的一個(gè)顯著特征，包含多種方式，如隨流擴(kuò)散、紊動(dòng)擴(kuò)散、剪切離散等。TAYLOR[1]提出水流的紊動(dòng)擴(kuò)散理論后，人們對(duì)擴(kuò)散的認(rèn)識(shí)和研究逐漸深入。相對(duì)隨流擴(kuò)散和紊動(dòng)擴(kuò)散而言，由于斷面時(shí)均流速分布不均勻而產(chǎn)生的剪切離散在實(shí)際明渠流的擴(kuò)散中占了主要部分。對(duì)于離散的研究，TAYLOR[2]提出并求解了圓管紊流的縱向離散問題；ELDER[3]采用類似Taylor 的方法得到二維明渠流情況下的離散系數(shù)；FISCHER[4]把Taylor 的方法推廣到了天然河渠中得到了適合天然河流情況下的離散系數(shù)。周克釗等[5]改良了天然河流中示蹤實(shí)驗(yàn)測(cè)量離散系數(shù)的方法，提出了較長(zhǎng)河段縱向離散系數(shù)的加權(quán)平均計(jì)算方法。郭建青和溫季[6]基于一維水團(tuán)示蹤試驗(yàn)的解析表達(dá)式提出了天然河流縱向離散系數(shù)的直線圖解法。李玉梁等[7]基于濃度矩法獲得了潮汐流離散系數(shù)隨時(shí)間的變化過程，并對(duì)潮流離散系數(shù)的特征以及負(fù)離散問題進(jìn)行了分析。龍炳清等[8]提出了天然河流縱向離散系數(shù)的最優(yōu)化計(jì)算方法。李成光等[9]對(duì)彎曲河道的離散特性進(jìn)行了研究，得到了彎曲河段離散系數(shù)的分布規(guī)律。張文俊等[10]基于對(duì)底部阻力局部線性化假設(shè),得到了縱向離散系數(shù)的半解析方法。本文在上述研究的基礎(chǔ)上，基于積分公式法和濃度矩法，推導(dǎo)了沿水深為對(duì)數(shù)、線性和拋物線型流速分布下的縱向離散系數(shù)并對(duì)結(jié)果進(jìn)行比較分析；采用了濃度矩法進(jìn)一步推導(dǎo)了隨時(shí)間變化的對(duì)數(shù)流速分布情況下的縱向離散系數(shù)并對(duì)結(jié)果進(jìn)行了詳細(xì)分析，指出非恒定流情況下縱向離散系數(shù)不同于恒定流情況下的特征。

1 縱向離散系數(shù)

1.1 積分法

二維隨流擴(kuò)散方程為:

對(duì)上式做斷面平均運(yùn)算得:

(2)～(3)可得:

由(5)積分可得:

由離散系數(shù)的定義得:

1.2 濃度矩法

由質(zhì)量守恒定律得一維縱向離散方程為:

式中，K 為綜合擴(kuò)散系數(shù)，在紊流中，為紊動(dòng)擴(kuò)散系數(shù)與縱向離散系數(shù)之和；在層流中分子擴(kuò)散系數(shù)和縱向離散系數(shù)。一般情況下隨流擴(kuò)散作用遠(yuǎn)大于紊動(dòng)擴(kuò)散作用和剪切離散作用，因而可以令K≈D。

根據(jù)ARIS[12]的描述p 階濃度矩形濃度矩為:

p 為大于等于0 的正整數(shù)。

對(duì)方程(8)取一階矩與二階矩相減可得:

對(duì)(1)式取1、2、3 階矩得:

由于明渠邊壁與表面的物質(zhì)擴(kuò)散通量為0，等式中的邊界條件和初始條件為:

式中，c0為x=0 斷面瞬時(shí)投放的物質(zhì)總量，為方便求解，令εz只為關(guān)于時(shí)間t 的函數(shù)，流速u(z,t)可表示為：

式中，U 為常數(shù)，ηi(z)為與z 相關(guān)的函數(shù)，λi(t)為與t 相關(guān)的函數(shù)。通過(12)對(duì)M1進(jìn)行求解，仿照沖量定理，M1可表示為:

Φ=(z,t;τ)dτ 表示為τ 時(shí)刻dτ 時(shí)間段內(nèi)擴(kuò)散質(zhì)對(duì)M1(z,t)的影響。

把(17)帶入(12)得:

由(12)、(14)、(15)、(16)、(17)可得(18)的初始條件為:

解(18)式得:

式中，

將(21)帶入(17)得

式中，

同理可得:

式中，

將(23)、(25)帶入(10)，且對(duì)式(16)取k=1，不考慮系數(shù)εz隨時(shí)間的變化，得離散系數(shù)為:

為便于計(jì)算對(duì)該式進(jìn)行簡(jiǎn)化認(rèn)為流速v 僅為z 的函數(shù)v(z)，由(16)可得U=1，λ1(t)=1，η(z)=v(z)。將λ1(t)帶入(24)積分可得:

將(22)與(30)帶入(28)得:

2 多種流速下的離散系數(shù)計(jì)算和比較

上一小節(jié)分別采用積分法和濃度矩得到縱向離散系數(shù)的表達(dá)式。本節(jié)將應(yīng)用上述結(jié)果計(jì)算3 種典型流速分布情況下的離散系數(shù)，并對(duì)2 種方法得到的結(jié)果進(jìn)行比較。在計(jì)算中統(tǒng)一取垂向紊動(dòng)擴(kuò)散系數(shù)為拋物線型，同時(shí)為了簡(jiǎn)化計(jì)算取其水深平均值得ku*h/6。其中，k 為卡門常數(shù)，u*為摩阻流速。

(1)取對(duì)數(shù)型流速分布[13]，令流速形式為:

式中，z 為水深，z0為底面粗糙高度，u 為水深為z 時(shí)的流速。

a)采用積分法計(jì)算

由式(7)，可得:

b) 采用濃度矩法行計(jì)算

由式(31)，取前100 項(xiàng)，得:

經(jīng)(33)和(34)比較濃度矩法和積分法求得的離散系數(shù)非常接近。

(2)取線性流速分布，令流速形式為:

式中，u0為水深z=0 時(shí)的流速，um為水深z=h 時(shí)的流速與u0的差值。

a) 采用積分法進(jìn)行計(jì)算

由式(7)，得:

b) 采用濃度矩法進(jìn)行計(jì)算

由式(31)，取前100 項(xiàng)，得:

經(jīng)(36)和(37)比較，濃度矩法和積分法求得的離散系數(shù)非常接近。

(3)取拋物型流速分布，令流速形式為:

式中，um為0～h 上的最大流速，α 為常系數(shù)

a) 采用積分法進(jìn)行計(jì)算

由式(7)，得:

b) 采用濃度矩法進(jìn)行計(jì)算

由式(31)，取前100 項(xiàng)，得:

經(jīng)(39)和(40)比較，濃度矩法和積分法求得的離散系數(shù)非常接近。

3 非恒定流的縱向離散系數(shù)特征

上述計(jì)算都是沿水深變化的流速的離散系數(shù)，因而無法對(duì)離散系數(shù)隨時(shí)間的變化關(guān)系進(jìn)行研究。在非恒定流情況下，由于積分法公式中時(shí)間項(xiàng)被忽略無法進(jìn)行計(jì)算，下面將對(duì)隨時(shí)間變化的對(duì)數(shù)流速形式的縱向離散系數(shù)，采用濃度矩法進(jìn)行處理。取對(duì)數(shù)型流速分布，令流速形式為：

式中，N=（mπ/h）2，εz=（mπ）2/Ta，Ta=h2/εz，Ta為斷面混合特征時(shí)間。

將(42)帶入(28)并忽略物質(zhì)投放的初始影響項(xiàng)exp (-N t)可得:

式中，流速周期為T=2π/ω，Tr=T/Ta

式中，z*=z/h。

取h=1，z0=0.002 m，ω=2π，則當(dāng)Tr=10,1,0.001 時(shí)，離散系數(shù)D*(t)隨時(shí)間的變化的過程線如圖1 所示。

圖1 對(duì)數(shù)型流速分布下縱向離散系數(shù)的過程線Fig.1 Process line of longitudinal dispersion coefficient under logarithmic velocity distribution

圖1 給出了縱向離散系數(shù)隨時(shí)間的變化關(guān)系，由圖可知，非恒定流縱向離散系數(shù)有如下特點(diǎn)：

(1)非恒定流的離散系數(shù)與其流速一樣隨時(shí)間發(fā)生變化，且變化的頻率大于非恒定流的流速變化的頻率。離散系數(shù)的極值出現(xiàn)在極值流速和零流速的前后。

(2)當(dāng)Tr=10 時(shí)離散系數(shù)都為正數(shù)，當(dāng)Tr=1,0.001 均出現(xiàn)負(fù)離散系數(shù)。負(fù)離散反映了波峰時(shí)污染物收縮濃度增大的物理現(xiàn)象[14]。當(dāng)Tr=0.001 時(shí)較Tr=1 時(shí)，負(fù)離散系數(shù)存在的時(shí)間區(qū)域增加。

4 小結(jié)

本文分別基于積分公式法和濃度矩法，推導(dǎo)了沿水深為對(duì)數(shù)、線性和拋物線型恒定流流速分布下的縱向離散系數(shù)以及對(duì)數(shù)非恒定流情況下的縱向離散系數(shù)，結(jié)果表明：

(1)對(duì)于恒定流流速分布情況下的離散系數(shù)，采用積分法和濃度矩法所得結(jié)果是一致的，但積分法在使用過程中更為方便；對(duì)于非恒定流，積分法忽略了濃度對(duì)時(shí)間的變化項(xiàng)，因而在非恒定流中只能依靠濃度矩法進(jìn)行計(jì)算，所以濃度矩法的適用范圍更廣。

(2)對(duì)于非恒定流，縱向離散系數(shù)系數(shù)隨著時(shí)間的變化而變化，其變化頻率大于流速的變化頻率。對(duì)比恒定流中縱向離散系數(shù)，由于負(fù)離散系數(shù)的存在，可以看出兩者有較大的差異。因而在非恒定流情況下，如不考慮離散系數(shù)隨時(shí)間的變化計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性將會(huì)大大降。負(fù)離散還反映了波峰時(shí)污染物收縮濃度增大的物理現(xiàn)象。