從特殊到一般 從定點到動點
——以一堂初三復(fù)習(xí)課為例

章亞娣

(浙江省杭州觀成實驗學(xué)校 310000)

坐標(biāo)系內(nèi)含有動點的圖形面積問題，是中考題中非常常見的類型.這類題目的核心知識是坐標(biāo)系中三角形面積計算,學(xué)生對于這類題目的求解往往會熟記一種方法，但是把握不到問題解決的關(guān)鍵點，往往動點位置一換，就處于“束手無策”狀態(tài)，而教師在平時教學(xué)中，也經(jīng)常流離于問題解決的“本質(zhì)”，就題論題.為此，筆者有意進(jìn)行了課堂探究和實踐.

一、目標(biāo)定位

1.經(jīng)歷從在平面直角坐標(biāo)系特殊位置的三角形面積計算到一般位置三角形面積計算過程，討論分析如何將一般位置三角形面積化歸為特殊位置三角形面積計算，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)直觀、數(shù)學(xué)概括和歸納能力.

2.探索在坐標(biāo)系中三角形有一個頂點在不同函數(shù)圖象上運動時，三角形面積的變化規(guī)律，體會以不變應(yīng)萬變的辯證思想在問題解決中的應(yīng)用.

二、教學(xué)設(shè)計及實踐

1.從特殊位置的三角形面積引入新課

新課開始，教師先給出兩個特殊位置的三角形，要求學(xué)生口答三角形面積.

練習(xí)1如圖1和圖2，口答△ABC的面積.

問題1 你是怎么求兩個三角形面積的？

問題2 這兩個三角形有什么共同特點？

2.探究一般位置三角形面積計算

練習(xí)2 當(dāng)三角形沒有一條邊和坐標(biāo)軸平行如圖3，點A、B、C的坐標(biāo)如圖所示，請同學(xué)們用盡可能多的方法求△ABC的面積.

給學(xué)生充足的時間來研究一般位置三角形面積計算，等每個學(xué)生基本上有三、四種方法以后，分別請同學(xué)們上來分享交流.要求每個學(xué)生都在學(xué)案上畫圖，寫解題思路，教師通過實物投影展示，在學(xué)生展示以后，教師追問.

問題3為什么這樣添線？目的是什么？

問題4為什么補成矩形就可以求了？問題關(guān)鍵點在哪里？

問題5矩形和其他三角形位置特殊在哪里？

每一個學(xué)生交流以后，教師都追問這三個問題，強化對于一般位置三角形面積計算的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化成水平底(鉛垂底)和高的三角形從而求解.在課堂實踐過程中，學(xué)生后續(xù)還出現(xiàn)了十多種方法.

設(shè)計意圖和實踐效果：從特殊到一般，學(xué)生經(jīng)歷困惑，在交流過程中發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生“知其然，不知其所以然”，通過問題的追加，不斷重復(fù)為什么這樣添線，目的是轉(zhuǎn)化三角形的底和高，使得三角形的底和高能夠與坐標(biāo)軸平行，這樣可以利用三角形面積公式求解.在計算三角形面積過程中同時復(fù)習(xí)了一次函數(shù)求解析式，求點坐標(biāo)等知識，并在思維碰撞中不斷創(chuàng)新，學(xué)生們發(fā)掘出了以上15中轉(zhuǎn)化方式.這個時候教師及時總結(jié)歸納，理解核心——坐標(biāo)平面內(nèi)一般位置三角形面積計算需要轉(zhuǎn)化成特殊位置三角形：水平底(高)和鉛垂高(底)，轉(zhuǎn)化方法有：補成三角形(或四邊形)然后減、分割成兩個三角形然后加或者利用平行線等積轉(zhuǎn)換，把一般三角形面積轉(zhuǎn)化成水平底(高)或者鉛垂高(底)的三角形.

3.從定點到動點，理解不變

基于學(xué)生有了計算面積的經(jīng)驗，找到了轉(zhuǎn)化一般三角形面積計算的方法，學(xué)生們對于三角形面積計算有了更高的學(xué)習(xí)積極性和求知欲，教師及時拋出問題3.

練習(xí)3如圖8已知△ABC在平面直角坐標(biāo)中位置為A(0,2) ,B(4，0),C(2，a)，思考：

(1)你能用含有a的代數(shù)式表示△ABC的面積嗎？

(2)當(dāng)三角形面積為8時，你能求出點C的坐標(biāo)嗎？

在教師:“有動點，先畫圖”的引導(dǎo)下，多數(shù)孩子能夠畫出圖形，并用割、補或平行線等積轉(zhuǎn)化中一種方法來解決問題(如圖9).

問題5對比練習(xí)2，你能發(fā)現(xiàn)點C在運動過程中有哪些不變的圖形或數(shù)量關(guān)系？

問題6△ABC的面積大小取決與哪個量？

問題7用點C的縱坐標(biāo)來表示△ABC的面積的方法有哪些？

問題8怎么割補或轉(zhuǎn)化呢？

問題9由此可知，解決動點問題的關(guān)鍵是什么？

設(shè)計意圖：問題8設(shè)計意在通過對比動點和定點的圖形，找到它們之間的聯(lián)系，問題9的設(shè)置促使學(xué)生回顧問題解決得思考過程，突出解決動點問題的關(guān)鍵是找到不變的量，找到轉(zhuǎn)化面積問題的方法從而“構(gòu)造”出水平方面或鉛垂方向的三角形，從而得到面積計算的方法.

4.拓展升華

在歸納出定點問題轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵之后，教師給出綜合背景的練習(xí)，以促使學(xué)生進(jìn)一步鞏固理解所學(xué)的知識.

(1)若點C為拋物線在第一象限的一個動點，求△ABC面積的最大值.

(2)當(dāng)△ABC為面積為3時，求點C的坐標(biāo).

設(shè)計意圖：從點在直線上動，到點在拋物線上動，三角形圖形變化情況更加復(fù)雜了，如何去偽存真的找到解決問題的關(guān)鍵，是設(shè)置練習(xí)4的用意.經(jīng)歷了定點的三角面積計算，到點在直線上動，最后落腳于點在拋物線上動，來拓展和鞏固坐標(biāo)平面內(nèi)三角形面積計算，讓學(xué)生體會從特殊到一般，再把一般轉(zhuǎn)化成特殊，整堂課的設(shè)計水到渠成.

三、教學(xué)反思

1.遵循學(xué)生認(rèn)知規(guī)律 螺旋上升安排教學(xué)內(nèi)容

章建躍博士在《核心素養(yǎng)統(tǒng)領(lǐng)下的數(shù)學(xué)教學(xué)變革》中寫道：“數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)鍵點是要從數(shù)學(xué)知識發(fā)生發(fā)展過程的合理性、學(xué)生思維過程的合理性上加強思考.”所以根據(jù)學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，螺旋上升的安排教學(xué)過程，反復(fù)多次滲透數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生在解題的時候經(jīng)歷這個邏輯過程，促使學(xué)生學(xué)會思考， 重視培養(yǎng)學(xué)生自主探究，發(fā)現(xiàn)問題，解決問題的能力，這樣才能真正達(dá)到“數(shù)學(xué)育人”核心素養(yǎng)目標(biāo).

2.基于活動體驗 類比歸納體驗成功

數(shù)學(xué)知識的獲得是學(xué)生主動參與，積極探究的過程，因為設(shè)計一系列有助于學(xué)生探究的活動設(shè)計是不可少的，本節(jié)課切入點小，從特殊位置三角形面積求解引入，采用啟發(fā)探究，從特殊到一般，先歸納再推理. 從定點到動點，學(xué)生在觀察，對比，總結(jié)，應(yīng)用中悟出動點問題一般方法，以不變應(yīng)萬變.

3.教學(xué)設(shè)計把握“度”，學(xué)生活動把握“悟”

教學(xué)之道在于“度”，問題的設(shè)計需要恰時，恰點、直接要害的反映本質(zhì)，簡明易懂的問題容易引發(fā)學(xué)生思考和討論.很多數(shù)學(xué)問題靜態(tài)問題中，往往可以從多種角度找到解決問題的多種方法，可以說是“條條大路通羅馬”.但是一題雖然多解，多解的方法中也有不變思想方法，教師要通過一系列問題設(shè)計，引導(dǎo)學(xué)生思考問題本質(zhì).