一種計盒維數(shù)估算的新方法

王曉燕，陳志杰，姜友華，唐文瀾，薄乾禎

(1.湖北大學(xué)資源環(huán)境學(xué)院，湖北省農(nóng)業(yè)遙感應(yīng)用工程技術(shù)研究中心，湖北 武漢 430062;2.武漢大學(xué)土木建筑工程學(xué)院，湖北 武漢 430072)

0 引言

所謂分形(Fractal)，原意為破碎和不規(guī)則，用以指那些與整體以某種方式相似的部分構(gòu)成的一類形體，如海岸線的彎曲、植物的分支、浮云的輪廓、山脊的形態(tài)、晶體的生長和流體的滲透等，其基本特征是自相似性(Self-similarity).分形理論最早由美籍法國科學(xué)家B. Mandelbrot創(chuàng)立，該理論用分形維數(shù)(Fractal dimension)(簡稱分維)的概念來度量自然現(xiàn)象的不規(guī)則程度，不僅可以揭示事物內(nèi)部的自仿射或自相似特性，還可以揭示復(fù)雜系統(tǒng)的工作原理.經(jīng)過近30年的發(fā)展，已經(jīng)被廣泛地應(yīng)用于各種社會科學(xué)和自然科學(xué)領(lǐng)域[1].分形維數(shù)是刻畫目標(biāo)分形特征的一個重要參數(shù)，其定義有很多，而且對同一物體以不同方式定義或側(cè)重面不同，其分形維數(shù)也各不相同[2].常用的分維有Hausdorff維數(shù)、計盒維數(shù)、相似維數(shù)、信息維數(shù)和關(guān)聯(lián)維數(shù)等，其中計盒維數(shù)又是一種使用最為廣泛的維數(shù)之一.如計盒維數(shù)可用于分析生態(tài)學(xué)中植物群落分布格局特征及其尺度變化特征[3]，也可以反映自然界中水系的空間分布特征和內(nèi)部結(jié)構(gòu)[4]；在云霧遙感監(jiān)測中，采用計盒維數(shù)法與其他方法結(jié)合起來進(jìn)行云霧的識別和分離[5]；此外，計盒維數(shù)在圖像特征、聲波信號分形特征提取等方面也有廣泛的應(yīng)用[1,6].然而，在計盒維數(shù)的實際估算中，還有一些問題是廣大學(xué)者十分關(guān)心和感到困惑的.正如陳彥光指出，許多基本問題尚未解決，這些問題包括：測量尺度問題、標(biāo)度區(qū)的識別問題和統(tǒng)計分析標(biāo)準(zhǔn)的確定問題等[7].總體來說，目前的情況仍然是，在計盒維數(shù)估算中，尚缺乏一種可操作的實用方法.

由于數(shù)學(xué)上標(biāo)準(zhǔn)分形體都有確切的理論分維值[8-9]，本文中采用3種標(biāo)準(zhǔn)的兩維分形體(Koch曲線、Sierpinski三角形墊片、Vicsek分形)為實驗對象，揭示盒子大小、盒子數(shù)量、盒子遞減方式、盒子遞減速率和標(biāo)度區(qū)判斷等對計盒維數(shù)估算的影響，并在此基礎(chǔ)上提出相應(yīng)的建議和解決問題的具體方法，這為計盒維數(shù)的準(zhǔn)確和快速估算提供理論依據(jù).

1 計盒維數(shù)估算中涉及的若干問題

計盒維數(shù)(box dimension)概念比較清晰，計算相對簡單，并且對于是否具有自相似特性的圖像均適用，是分形分析中較為直觀實用且使用最廣泛的一種.實際應(yīng)用中可形象地理解為，在集合F中(可以是線、面或體)，構(gòu)造一些邊長為r的正方形(體)(或稱為盒子)去覆蓋集合，計算不同r值的“盒子”和F相交的個數(shù)N(r)，由N(r)與r在雙對數(shù)坐標(biāo)系中直線的斜率值可求得計盒維數(shù)D.D是傳統(tǒng)意義上尺度為r的計盒維數(shù)，用以表征相同形狀的小集合覆蓋一個集合的效率.

logN(r)=-Dlog(r)+C

(1)

在計盒維數(shù)的實際估算中，盒子大小、盒子數(shù)量、盒子遞減方式、盒子遞減速率以及標(biāo)度區(qū)識別等是我們經(jīng)常碰到的棘手問題.

計盒維數(shù)的估算中，當(dāng)盒子尺度太大時，盒子不能很好刻畫分形體，從而使分維估算效果不佳；當(dāng)盒子尺度小到一定程度，盒子可以更好地逼近分形體.但是，當(dāng)尺度進(jìn)一步小到一定程度之后，就會達(dá)到分辨率的極限.實際上，嚴(yán)格意義上的分形體僅存于數(shù)學(xué)世界，即使在數(shù)字化環(huán)境下采用計算機生成的分形圖形，得到的圖形分辨率也是有限的.因此，當(dāng)尺度小到一定程度之后，就會達(dá)到分辨率的極限.所以，盒子尺寸不應(yīng)該是無限小、而應(yīng)該是不大不小.

1.2 盒子數(shù)量實際分維估算中，我們總是希望盒子數(shù)量越多越好，這是因為如果盒子數(shù)量太少，級別不夠，也不利于逼近不同細(xì)節(jié)的分形體.一般來說，盒子數(shù)量多一是比較的.但是，根據(jù)我們的大量實驗，如果使用很小的盒子衰減速率(如ε=0.80)，盒子數(shù)量必然很多，對于線狀地物估算的分維值越接近1.0，對于面狀地物估算的分維值越接近2.0，這與真實值有很大差異，這常令人困惑的問題之一.所以，盒子數(shù)量并不是越多越好，只需要保持適當(dāng)?shù)臄?shù)量即可.

如果采用算術(shù)遞減方式，在實際計算中，很難把握盒子大小和盒子數(shù)量.相對而言，指數(shù)遞減方式可以使盒子比較快速地變小，盒子數(shù)目與盒子大小的乘積能比較快速逼近測量對象的某個測度(長度、面積或者體積)，容易捕捉分形體可能存在的等級體系遞階結(jié)構(gòu)特征.實際上，在分維估算過程中，既可以采用指數(shù)遞減測度，也可以采用算術(shù)遞減測度.但是，在絕大多少情況下，算術(shù)遞減尺度并不優(yōu)于指數(shù)遞減尺度[7].也即，測度的盒子最好采用指數(shù)方式遞減.

表1 盒子大小與盒子數(shù)量關(guān)系(Koch曲線)

3)對于自然圖形，建議采用遞減速率：ε=0.75或ε=0.80.因為無法判斷自然圖形分形體結(jié)構(gòu)，我們不清楚采用何種遞減速率可以更好地逼近分形體，所以建議采用遞減速率：ε=0.75或ε=0.80，這種遞減速率可以使盒子的慢慢遞減，更容易逼近自然圖形的不同細(xì)節(jié)，分維估算效果更好.

1.5 標(biāo)度區(qū)判斷方法標(biāo)度區(qū)識別是一個十分關(guān)鍵的問題.分形是一種分布廣泛的具有標(biāo)度性質(zhì)的現(xiàn)象.測量尺度與相應(yīng)測度的冪律關(guān)系通常僅在一定尺度范圍內(nèi)有效，從而形成所謂標(biāo)度區(qū).也就是說，雙對數(shù)坐標(biāo)上不是一條直線，而是兩條以上的直線段[7].但是，如何判斷標(biāo)度區(qū)，我們尚缺乏可操作的實用方法，這里我們提出一種標(biāo)度區(qū)判斷的新方法.

根據(jù)不同尺度下覆蓋目標(biāo)的總長度(或總面積)曲線，通過目視判別方式就可以看出：當(dāng)盒子太大，總長度(或總面積)波動很明顯時，就需要剔除前面這些對數(shù)點對；當(dāng)盒子變小，總長度(或總面積)基本上不隨盒子變小而發(fā)生變化時，就需要不選取后面這些對數(shù)點對.也就是說，僅僅保留中間的對數(shù)點對.具體來說：

①若目標(biāo)圖形為線型，則沿橫軸方向，將每相鄰兩點構(gòu)成的直線，直線的斜率大于零且后續(xù)不存在斜率小于零的第一個點作為最大盒子，或者直線的斜率小于零且后續(xù)不存在斜率大于零的第一個點作為最大盒子，直線的斜率近似于零的最后一個點作為最小盒子，從而得到分維估算的合理尺寸的盒子組.

②若目標(biāo)圖形為面型，則沿橫軸方向，將每相鄰兩點構(gòu)成的直線，直線的斜率小于零且后續(xù)不存在斜率大于零的第一個點作為最大盒子，或者直線的斜率大于零且后續(xù)不存在斜率小于零的第一個點作為最大盒子，直線的斜率近似于零的最后一個點作為最小盒子，從而得到分維估算的合理尺寸的盒子組.

2 計盒維數(shù)估算新方法驗證

由于3種嚴(yán)格分形體(Koch曲線、Sierpinski三角形墊片、Vicsek分形)有確切的分維理論值，下面就以這3種標(biāo)準(zhǔn)分形體為研究對象，驗證本文中提出的建議和相關(guān)方法的實驗效果.

2.1 Koch曲線、Sierpinski三角形墊片、Vicsek分形Koch曲線是1904年瑞典數(shù)學(xué)家Koch構(gòu)造的幾何圖形.Koch曲線的生成過程：第一步，給定一個初始圖形為一條線段；第二步，將這條線段中間的1/3處向外折起；第三步，按照第二步的方法不斷的把各段線段中間的1/3處向外折起.如此循環(huán)下去最終即可構(gòu)造出Koch曲線(圖1).

圖1 Koch 曲線

Sierpinski三角形是由波蘭數(shù)學(xué)家Sierpinski在1915年提出.先作一個正三角形，挖去一個“中心三角形”(即以原三角形各邊的中點為頂點的三角形)，然后在剩下的小三角形中又挖去一個“中心三角形”，如此循環(huán)下去就得到高級Sierpinski三角形墊片(圖2).

圖2 Sierpinski三角形墊片

Vicsek分形體是1983年由英國數(shù)學(xué)家Vicsek提出的，第1級Vicsek分形由5個同種小正方形的組成，其配置方式是一個小正方形在正方形的中心，4個小正方形分別在正方形的4個角上；第2級的Vicsek分形由5個第1級Vicsek分形組成，其配置方式與第1級Vicsek分形相同，重復(fù)構(gòu)造下去，可以得到所有高級的Vicsek分形(圖3).

2.2 實驗數(shù)據(jù)以Koch曲線、Sierpinski三角形墊片、Vicsek分形3種標(biāo)準(zhǔn)分形為研究對象，對本文中的方法進(jìn)行驗證，實驗數(shù)據(jù)如表2.

表2 實驗數(shù)據(jù)(加黑數(shù)據(jù)為有效點對)

圖3 Vicsek分形

2.3 實驗數(shù)據(jù)分析當(dāng)所有點對參與分維估算時，估算的分維值與理論值差異較大(圖4、表3)；根據(jù)本文中提出的點對剔除方法，當(dāng)僅有有效點對參與分維估算時，估算的分維值則非常接近分維理論值(圖6、表3).這是因為，一方面，測量的前幾步由于尺度太大，測量體與分形體吻合不好，測量尺度與相應(yīng)測度的標(biāo)度關(guān)系不能很好地反映分維數(shù)值；另一方面，當(dāng)測量的尺度足夠小時，就會達(dá)到分辨率的極限，或者超越分形最小單元的界限，從而尺度與相應(yīng)測度的標(biāo)度關(guān)系失效.

圖4 分維(所有點對參與估算)(左：Koch曲線，中：Sierpinski三角形墊片，右：Vicsek分形)

圖5 不同盒子測度下估算的總長度或總面積(左：Koch曲線，中：Sierpinski三角形墊片，右：Vicsek分形)(紅色點為有效點對)

圖6 分維(有效點對參與估算)(左：Koch曲線，中：Sierpinski三角形墊片，右：Vicsek分形)

表3 3種標(biāo)準(zhǔn)分形體的理論和估算分維值

3 結(jié)論和討論

按照上述方法，標(biāo)度區(qū)的判斷結(jié)果大同小異.實際上，將標(biāo)度區(qū)少算幾個觀測點原則上不會顯著影響分維估算結(jié)果.或許準(zhǔn)確的分維值很難找到，實際上單獨一個分維數(shù)值或許沒有太多的信息，使用同樣方法得到的多個分維值比較才更有意義[7].

計盒維數(shù)揭示了研究對象的空間復(fù)雜程度、細(xì)節(jié)多少，或者反映出對平面空間的填充度能力、存在空隙多少等.當(dāng)D=2.0時，所選范圍所有的空隙全部填滿，研究目標(biāo)為歐氏幾何圖形；當(dāng)D=0.0時，研究目標(biāo)集聚成一點.以城市形態(tài)為例，在二維空間中，分維通常圍繞D=1.7變化，而D大于1.9和小于1.4的城市形態(tài)比較罕見[7,12].

任何一個圖形都存在一個空間維數(shù)(整數(shù)維、分?jǐn)?shù)維).把一個復(fù)雜圖形采用一個數(shù)據(jù)(分維)來表示，是一個降維問題，一定存在信息丟失，所以存在“異物同維、同維異物”現(xiàn)象.