高三數(shù)學(xué)綜合測試

一、填空題(本大題共14小題,每小題5分,計70分)

1.集合A={x|x=2k-1,k∈Z},B={1,2,3,4},則A∩B=______.

2.已知復(fù)數(shù)z=a+bi(a、b∈R),且滿足iz=9+i(其中i為虛數(shù)單位),則a+b=______.

3.某校高二(4)班統(tǒng)計全班同學(xué)中午在食堂用餐時間,有7人用時為6分鐘,有14人用時7分鐘,有15人用時為8分鐘,還有4人用時為10分鐘,則高二(4)班全體同學(xué)用餐平均用時為______分鐘.

4.函數(shù)f(x)=(a-1)x-3(a>1,a≠2)過定點(diǎn)______.

5.等差數(shù)列{an}(公差不為0),其中a1,a2,a6成等比數(shù)列,則這個等比數(shù)列的公比為______.

6.小李參加有關(guān)“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”的答題活動,要從4道題中隨機(jī)抽取2道作答,小李會其中的3道題,則抽到的2道題小李都會的概率為______.

7.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn),AB=1，AD=2,AA1=1,則點(diǎn)A到平面A1DE的距離是______.

8.在如圖所示的流程圖中,輸出n的值為______.

9.圓C:(x+1)2+(y-2)2=4關(guān)于直線y=2x-1的對稱圓的方程為______.

12.對于任意的正數(shù)a、b,不等式(2ab+a2)k≤4b2+4ab+3a2恒成立,則k的最大值為______.

14.函數(shù)f(x)=|x2-1|+x2+kx+9在區(qū)間(0,3)內(nèi)有且僅有兩個零點(diǎn),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是______.

二、解答題(本大題共6小題,計90分.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

(1)角C的大小;

16.(本小題滿分14分)在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是平行四邊形,O為其中心,?PAD為銳角三角形,且平面PAD⊥底面ABCD,E為PD的中點(diǎn),CD⊥DP.

(1)求證:OE∥平面PAB;

(2)求證:CD⊥PA.

(1)求?PF1Q的周長;

(2)求?PF1M面積的最大值.

18.(本小題滿分16分)一酒企為擴(kuò)大生產(chǎn)規(guī)模,決定新建一個底面為長方形MNPQ的室內(nèi)發(fā)酵館,發(fā)酵館內(nèi)有一個無蓋長方體發(fā)酵池,其底面為長方形ABCD(如圖所示),其中AD≥AB.結(jié)合現(xiàn)有的生產(chǎn)規(guī)模,設(shè)定修建的發(fā)酵池容積為450米3，深2米.若池底和池壁每平方米的造價分別為200元和150元,發(fā)酵池造價總費(fèi)用不超過65 400元.

(1) 求發(fā)酵池AD邊長的范圍;

(2)在建發(fā)酵館時,發(fā)酵池的四周要分別留出兩條寬為4米和b米的走道(b為常數(shù)).問:發(fā)酵池的邊長如何設(shè)計,可使得發(fā)酵館占地面積最小.

(1)求數(shù)列{an}、{bn}的通項(xiàng)公式;

20.(本小題滿分16分)設(shè)函數(shù)f(x)=lnx-ax,a∈R,a≠0.

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù)f(x)=0有兩個零點(diǎn)x1、x2(x1

(i)求a的取值范圍;

三、附加題(本大題有4小題，每小題10分，計40分.解答時應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

(1)求直線OC與DE所成角的余弦值;

(2)求二面角A-DE-C的正弦值.

參考答案

一、填空題

1.{1，3}；2.-8；3.7.5;4.(0,-2);

二、解答題

16.(1)連BD.因?yàn)锳BCD為平行四邊形，O為其中心，所以，O為BD中點(diǎn).

又因?yàn)镋為PD中點(diǎn)，所以O(shè)E∥PB.

又PB?平面PAB，OE?平面PAB，

所以，OE∥平面PAB.

(2)作PH⊥AD于H，因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PH⊥AD，PH?平面PAD，所以，PH⊥平面ABCD.

而CD?平面ABCD，所以CD⊥PH.

又CD⊥PD，PD∩PH=P，

PD?平面PAD，PH?平面PAD，

所以，CD⊥平面PAD.

又PA?平面PAD，所以，CD⊥PA.

17.由2c=4,得c=2,F1(-2,0),F2(2,0).

因此，?PF1Q的周長=PF1+PF2+QF1+QF2=4a=12.

答：發(fā)酵池AD邊長的范圍是不小于15米，且不超過25米.

①b≥4時，S′(x)≥0,S(x)在[15,25]單調(diào)增，則x=15.即AB=AD=15米時，發(fā)酵館的占地面積最小.

因?yàn)閎1=1,b2=2，所以數(shù)列{bn}是以首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列，可得bn=n.

當(dāng)a<0時，f′(x)>0，f(x)在(0,+∞)單調(diào)增.

設(shè)平面DEC的法向量為n=(x2,y2,z2),則

設(shè)二面角A-DE-C的平面角為α，則

23.當(dāng)n=1時，設(shè)f(x)=ex-1-x,x∈(1,+∞)，則f′(x)=ex-1-1>0,f(x)在(1,+∞)單調(diào)增.

所以f(x)>f(1)=0,即ex-1>x,即n=1時，原命題成立.

綜上，原命題得證.