高二數(shù)學(xué)測(cè)試

一、選擇題(本題每小題5分,計(jì)60分)

1.若(1+i)+(2-3i)=a+bi(a,b∈R,i是虛數(shù)單位),則a、b的值分別等于( )

(A)3,-2 (B)3,2

(C)3,-3 (D)-1,4

2.曲線f(x)=x3-x+3在點(diǎn)P處的切線平行于直線y=2x-1,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為( )

(A)(1,3) (B)(-1,3)

(C)(1,3)和(-1,3) (D)(1,-3)

3.若f(x)=2xf′(1)+x2,則f′(0)等于( )

(A)2 (B)0 (C)-2 (D)-4

4.下面為函數(shù)y=xsinx+cosx的遞增區(qū)間的是( )

5.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有極大值和極小值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )

(A)(-1,2) (B)(-∞,-3)∪(6,+∞)

(C)(-3,6) (D)(-∞,-1)∪(2,+∞)

(A)充分不必要條件

(B)必要不充分條件

(C)充要條件

(D)既不充分也不必要條件

(A)(1,2] (B)(4,+∞]

(C)[-∞,2) (D)(0,3]

8.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z-i|=1,z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(x,y),則該點(diǎn)滿足的方程( )

(A)(x+1)2+y2=1

(B)(x-1)2+y2=1

(C)x2+(y-1)2=1

(D)x2+(y+1)2=1

(A)[-5,0) (B)(-5,0)

(C)[-3,0) (D)(-3,0)

10.若x=-2是函數(shù)f(x)=(x2+ax-1)ex-1的極值點(diǎn),則f(x)的極小值為( )

(A)-1 (B)-2e-3

(C)5e-3(D)1

11.做一個(gè)無(wú)蓋的圓柱形水桶,若要使其體積是27π,且用料最省,則圓柱的底面半徑為( )

(A)3 (B)4 (C)6 (D)5

12.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇-1,4],部分對(duì)應(yīng)值如下表:

x-10234 f(x)12020

f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖象如圖所示.當(dāng)1

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

二、填空題(本題每小題5分，計(jì)20分)

三、解答題(本大題共6小題，計(jì)70分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)

17.(本小題滿分10分)已知曲線

(1)求曲線在點(diǎn)P(2，4)處的切線方程；

(2)求曲線過(guò)點(diǎn)P(2，4)的切線方程.

18.(本小題滿分10分)設(shè)f(x)=a(x-5)2+6lnx,其中a∈R，曲線y=f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線與y軸相交于點(diǎn)(0，6).

(1)確定a的值；

(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.

(1)求實(shí)數(shù)m的值；

(2)求近期每天在[4,22]時(shí)段空氣質(zhì)量指數(shù)最高的時(shí)刻.(參考數(shù)值：ln 6=1.8)

20.(本小題滿分10分)已知函數(shù)f(x)=lnx-ax2+x,a∈R.

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

21.(本小題滿分14分)設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)

f(x)=ex-2x+2a,x∈R.

(1)求f(x)的極值；

(2)求證：當(dāng)a>ln 2-1且x>0時(shí)，有

ex>x2-2ax+1.

22.(本小題滿分14分)已知函數(shù)

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)設(shè)m>0,求f(x)在區(qū)間[m,2m]上的最大值.

參考答案

一、選擇題

1.A；2.C;3.D;4.C;5.B;6.A;

7.A;8.C;9.C;10.A;11.A;12.D.

二、填空題

16.(-∞,-1)∪(1,+∞).

三、解答題

17.(1)4x-y-4=0.(過(guò)程略)

故所求的切線方程為x-y+2=0或4x-y-4=0.

令f′(x)=0,解得x=2或x=3.當(dāng)03時(shí)，f′(x)>0;當(dāng)2

令f′(x)=0，得x=12.當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)與f(x)的變化情況如下表：

x(4,12)12(12,22)f ′(x)+0-f(x)↗極大值↘

所以函數(shù)在x=12處取極大值也是最大值，即每天空氣質(zhì)量指數(shù)最高的時(shí)刻為12時(shí).

答：(1)實(shí)數(shù)m的值為12；(2)每天空氣質(zhì)量指數(shù)最高的時(shí)刻為12時(shí).

當(dāng)a≤0時(shí)，顯然f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)單調(diào)增.

下面給出證明.

當(dāng)a≥1時(shí)，a≥g(x)max=1,方程a=g(x)至多一解，不合題意；當(dāng)a≤0時(shí)，方程a=g(x)至多一解，不合題意.

綜上，所求a的取值范圍點(diǎn)(0,1).

21.(1)f′(x)=ex-2,令f′(x)=0,可得x=ln 2.

易見(jiàn)f(x)在(-∞,ln 2)單調(diào)減，在(ln 2,+∞)單調(diào)增.故f(x)在x=ln 2處取得極小值，極小值為f(ln 2)=2-2ln 2+2a.

(2)設(shè)g(x)=ex-x2+2ax-1,x∈R,于是g′(x)=ex-2x+2a.由(1)知當(dāng)a>ln 2-1時(shí)，g′(x)取最小值為g′(ln 2)=2(1-ln 2+a)>0.于是有g(shù)′(x)>0，g(x)在R內(nèi)單調(diào)增，從而g(x)>g(0)=0.

從而對(duì)任意x∈(0,+∞)，ex-x2+2ax-1>0,即ex>x2-2ax+1.得證.