挖掘隱性軌跡 妙解三角問題

何曉勤

(江蘇省昆山市柏廬高級中學(xué)，215300)

在處理一些三角問題時,若能從軌跡思想入手,利用解析法處理,可達(dá)到事半功倍的效果.本文通過舉例談?wù)勅菃栴}中的常見的隱性軌跡問題,供大家參考.

一、隱直線的應(yīng)用

例1在?ABC中,已知AB=2,AC2-BC2=6,則tanC的最大值是______.

評注常規(guī)解法主要借助余弦定理尋求三邊長之間的關(guān)系,再運(yùn)用三角函數(shù)的性質(zhì)及基本不等式求最值,對數(shù)學(xué)運(yùn)算的要求較高;軌跡解法通過尋找點(diǎn)C的軌跡,再結(jié)合直角三角形與有向夾角公式、基本不等式求最值,優(yōu)化了思維,簡化了運(yùn)算.一般地,在平面內(nèi),若A、B是兩個定點(diǎn),動點(diǎn)P滿足PA2-PB2=λ(λ為常數(shù)),則點(diǎn)P的軌跡為與直線AB垂直的直線.

二、隱圓的應(yīng)用

例2在?ABC中,BC=4,sinC=2sinB,則當(dāng)?ABC的面積取得最大值時,BC邊上的高為______.

評注常規(guī)解法計(jì)算量較大,對數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)要求較高;軌跡解法對思維要求較高,但能簡化運(yùn)算.一般地,在平面內(nèi)到兩定點(diǎn)A、B的距離之比為λ(λ>0且λ≠1)的動點(diǎn)P的軌跡是一個圓(該圓最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn),故稱為阿波羅尼斯圓,簡稱為阿氏圓).

例3在?ABC中,角A、B、C所對邊分別為a、b、c,若a2+b2+2c2=8,則?ABC的面積的最大值為______.

三、隱橢圓的應(yīng)用

例4在?ABC中,若AB=2,AC+BC=4,則?ABC的面積S的取值范圍為______.

因?ABC的周長為6,由海倫公式，可得

四、隱雙曲線的應(yīng)用

評注例4、例5從橢圓、雙曲線的定義入手很容易探尋到動點(diǎn)的軌跡,再運(yùn)用數(shù)形結(jié)合或利用向量坐標(biāo)運(yùn)算等相關(guān)知識可使問題輕松獲解.

五、隱拋物線的應(yīng)用

評注常規(guī)解法通過換元法,轉(zhuǎn)化為常見函數(shù)(對勾函數(shù))的值域問題處理;軌跡解法通過構(gòu)造動點(diǎn)的軌跡(拋物線),運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想能解決較較復(fù)雜的值域問題.

由上可見,有些三角問題看似與軌跡無關(guān),但利用解析法挖掘隱性軌跡,能優(yōu)化思維、簡化運(yùn)算、拓寬思維,有效培育數(shù)學(xué)運(yùn)算和直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).