聚焦難點(diǎn) 精準(zhǔn)施策
——例談一類含參不等式恒成立問題的難點(diǎn)突破

練育宏

(江蘇省揚(yáng)州市江都區(qū)教育局教研室，225202)

含參不等式恒成立問題一直是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)問題,常與函數(shù)、導(dǎo)數(shù) 、不等式、方程等知識(shí)點(diǎn)相結(jié)合,滲透化歸、數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想,綜合性強(qiáng)且解法靈活. 很多學(xué)生面對(duì)此類問題有時(shí)感到力不從心,筆者歸結(jié)為以下幾個(gè)原因:一是方法的選擇不當(dāng)導(dǎo)致耗時(shí)費(fèi)力；二是求解函數(shù)最值的“功力”不夠深厚；三是不能合理利用化歸等手段讓問題簡(jiǎn)單化、熟悉化.下面借助于幾道典型例題,對(duì)這類問題中所涉及的常用方法進(jìn)行梳理,難點(diǎn)問題進(jìn)行探究,以期拋磚引玉.

一、方法梳理

關(guān)于含參不等式恒成立問題,處理手法一般有以下三種分法.

(1)參變分離法,適用于參量與變量能夠分離且含變量函數(shù)的最值可求型.一般形式為:f(x)>g(a)對(duì)x∈D恒成立?[f(x)]min>g(a)(x∈D);f(x)

(2)整體函數(shù)法,適用于參變量分離比較困難或雖能夠分離但求含變量的函數(shù)最值不易型.一般形式為:f(x,a)>0對(duì)x∈D恒成立?f(x,a)min>0(x∈D);f(x,a)<0對(duì)x∈D恒成立?f(x,a)max<0(x∈D)(a為參量).

(3)數(shù)形結(jié)合法,適用于原不等式可化為f(x)>g(x) 或f(x)g(x) (f(x)

例1設(shè)函數(shù)f(x)=ax3-3x+1(x∈R),若對(duì)于任意x∈(0,1]都有f(x)≥0成立,則實(shí)數(shù)a的范圍是______.

分析該題入口寬,上述三種解法皆可實(shí)施,能通過一題多解揭示處理這類問題的常用方法.

解法1參變分離法

解法2整體函數(shù)法

綜上,a≥4.

評(píng)注使用此法的關(guān)鍵是把握好分類標(biāo)準(zhǔn)的界定,本題分類的標(biāo)準(zhǔn)是導(dǎo)函數(shù)值的符號(hào)定與不定,不定時(shí)其零點(diǎn)是不是極值點(diǎn).

解法3數(shù)形結(jié)合法

二、難點(diǎn)突破

縱觀上述三種方法,有兩種涉及到函數(shù)最值,而求最值的難點(diǎn)主要表現(xiàn)在參量分離后的函數(shù)模型太復(fù)雜、整體構(gòu)造函數(shù)求最值時(shí)分類討論情況較多、分類的標(biāo)準(zhǔn)不知如何界定以及函數(shù)極值點(diǎn)存在但不可求等方面.下面歸納總結(jié)突破難點(diǎn)的策略,供大家參考.

策略1緊扣核心 以形助數(shù)

例2已知函數(shù)f(x)=ax2+ln(x+1)，當(dāng)x∈[0,+∞)時(shí),不等式f(x)≤x恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍______.

分析整體函數(shù)法是解決這類問題的通性通法,此題難點(diǎn)在分類討論的標(biāo)準(zhǔn)界定上.在求導(dǎo)后一般抓住影響導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的核心部分,緊扣核心函數(shù)值的符號(hào)或零點(diǎn)與區(qū)間的相對(duì)位置為分類的標(biāo)準(zhǔn),以形助數(shù)化解討論的難點(diǎn).

(1)當(dāng)a=0時(shí),u(x)=-x≤0,從而g′(x)≤0,g(x)在[0,+∞)單調(diào)減,g(x)≤g(0)=0,滿足題意.

(3)當(dāng)a<0時(shí),u(x)≤0,g′(x)≤0,g(x)在[0,+∞)單調(diào)減,得g(x)≤g(0)=0,滿足題意.

綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,0].

策略2特值代入,縮小范圍

例3設(shè)函數(shù)f(x)=ax3-3x+1(x∈R),若對(duì)任意x∈[-1,1]都有f(x)≥0成立,求實(shí)數(shù)a的值.

分析本例為例1的變式,在原題的基礎(chǔ)上弱化了條件,若采用前面的三種方法都需進(jìn)行討論,此時(shí)可嘗試把區(qū)間的端點(diǎn)值代入預(yù)算,達(dá)到縮小參量取值范圍的目的,簡(jiǎn)化討論.

解依題意,在[-1,1]上f(x)min≥0.于是f(-1)≥0且f(1)≥0,解得2≤a≤4.

綜上,a=4.

評(píng)注恒成立問題中用特值代入縮小參量取值范圍,實(shí)質(zhì)是利用必要性簡(jiǎn)化問題求解過程.

變式已知函數(shù)f(x)=ex-ax2-x-1,當(dāng)x∈[0,+∞)時(shí),f(x)≥0恒成立,求a的取值范圍.

評(píng)注本題在考慮g′(x)的符號(hào)時(shí),由x的端點(diǎn)值縮小參量取值范圍,先找到問題成立的一個(gè)充分條件,再由補(bǔ)集思想驗(yàn)證其必要性,使問題完美獲解.

策略3設(shè)而不求 整體代入

例4已知函數(shù)f(x)=aex-lnx-1(a>0),若f(x)≥0在(0,+∞)恒成立,求a的取值范圍.

評(píng)注本題是極值點(diǎn)存在但不可求問題,突破難點(diǎn)的方法是對(duì)f′(x)的零點(diǎn)x0虛設(shè)而不求,再通過以形助數(shù)、整體代入等方法解決問題.