品味問題內(nèi)涵 凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì)*
——一以一道填空壓軸題的教學(xué)為例

陳 靜

(江蘇省揚(yáng)州大學(xué)附屬中學(xué),225002)

波利亞指出:“掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題.”對試題的探索,不僅能追本溯源,啟發(fā)學(xué)生的多角度思考,最大限度地挖掘?qū)W生的思維潛能,還能更好地開發(fā)試題的教學(xué)功能[1].錯誤也是一種有價值的課程資源,近期有一道聯(lián)考試題,作為填空題的壓軸題,難度較大,得分率很低,筆者對這道近乎廢題的難題進(jìn)行再利用,把它作為課堂教學(xué)的探究資源,引導(dǎo)學(xué)生挖掘其隱含的思維價值,透視其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)本質(zhì).

一、剖析考場得失 把脈解題思路

二、追溯題根本源 引導(dǎo)突破難點(diǎn)

師:在大家的考后反思中,我發(fā)現(xiàn)同學(xué)們對這道題的考場反應(yīng)很豐富,這些都是珍貴的資源,讓我們一起來開發(fā)吧.

師:初中學(xué)過“將軍飲馬”問題,其本質(zhì)原理是兩點(diǎn)之間的所有連線中,以線段長為最短(三角形兩邊之和大于第三邊),這是一個公理,本題的最值問題能否轉(zhuǎn)化為這一原理來解決?

師:這個式子可以轉(zhuǎn)化為動點(diǎn)C到兩定點(diǎn)距離之和?

師:非常好!通過一系列的代數(shù)變形,將問題轉(zhuǎn)換到“將軍飲馬”問題.這啟示我們在解題時要注意轉(zhuǎn)化、化歸,由已知到未知,化復(fù)雜為簡單,將生疏的問題轉(zhuǎn)化為熟知的課本知識.解題時要注意優(yōu)化計算,確保目標(biāo)達(dá)成.

設(shè)計意圖數(shù)學(xué)題能否簡潔而富有創(chuàng)造性地解答,往往取決于是否能透過問題表象洞悉其蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)本質(zhì).所謂數(shù)學(xué)本質(zhì),是指能真正反映數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)規(guī)律的概念、原理、公理、定義、公式等等[2].對數(shù)學(xué)本質(zhì)的領(lǐng)悟,是提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)知識的掌握、數(shù)學(xué)能力的形成的一個前提和必要條件.揭示數(shù)學(xué)本質(zhì),可將復(fù)雜問題簡單化、深邃問題大眾化,使學(xué)生容易理解和掌握.

三、多種視角探究 彰顯數(shù)學(xué)魅力

(學(xué)生們陷入了思考)

師:這個想法不錯,有探究的味道!沒有點(diǎn)E坐標(biāo),如何繼續(xù)?

師:逆向思維，這個做法很精彩!誰能接著生4的思路繼續(xù)作答?

生5:該方程應(yīng)該和x2+y2-2x-3=0是同一個方程,利用對應(yīng)項系數(shù)相等,可以求出點(diǎn)E坐標(biāo)，以下同解法1.

師:理解得非常透徹!請同學(xué)們按照這個解題思路,在演算紙上求出點(diǎn)E坐標(biāo).

(展示學(xué)生演算結(jié)果,得點(diǎn)E(5,0))

師:此解法的精彩之處在于意識到兩次求得的點(diǎn)C的軌跡是同一個圓,用待定系數(shù)法確定點(diǎn)E坐標(biāo),優(yōu)化解題思路,簡化計算過程.

設(shè)計意圖教會學(xué)生怎樣思考,如何才能想到解題方法是解題教學(xué)的首要任務(wù).教師要稚化自己的思想,誘導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行漸行漸深的探究,逐步暴露解題的思維過程.教師應(yīng)搭建腳手架,引導(dǎo)學(xué)生將符號化的知識打開,將靜態(tài)的知識激活,將碎片化的知識聯(lián)結(jié),獲得自己對題目本質(zhì)的理解與感悟,從而構(gòu)建出自己的解題思路.

師:這個想法很有思考性,能解釋一下阿氏圓嗎?

(學(xué)生們陷入了思考)

師:(繼續(xù)引導(dǎo)啟發(fā))這種成比例的問題,能否利用初中相似三角形的思路來解決呢?

師:好神奇!圖形的力量太強(qiáng)大了!思考問題時,借助圖形,充分運(yùn)用平面幾何知識,回歸題目本質(zhì),可以降低運(yùn)算量,使得解題更快捷.

設(shè)計意圖加德納說過:“數(shù)學(xué)的真諦就在于不斷尋求用越來越簡單的方法證明定理和解決數(shù)學(xué)問題.”充分運(yùn)用初中所學(xué)的圖形知識,構(gòu)造相似三角形確定E點(diǎn)位置,求出點(diǎn)E坐標(biāo).該解法甚為巧妙,跳出了“數(shù)”的囹圄,從“形”的角度重新認(rèn)識它,使形象思維與抽象思維相結(jié)合,能激發(fā)學(xué)生產(chǎn)生再創(chuàng)造性想象,還原了題目本質(zhì).

四、變式拓展延伸 提升思維品質(zhì)

設(shè)計意圖解題教學(xué)中做適當(dāng)?shù)耐卣寡由?依據(jù)原問題本質(zhì)進(jìn)行一些有價值的變式探究,能夠挖掘題目自身所蘊(yùn)含的內(nèi)在規(guī)律和本質(zhì),拓寬例題的教學(xué)功能,促進(jìn)知識方法的遷移提升.精心設(shè)置問題的變式,可以激活學(xué)生的思維,多角度訓(xùn)練學(xué)生的思維,提高學(xué)生思維的深度和廣度.

五、教學(xué)反思

1、立足學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ),從學(xué)生熟知情境還原題根本質(zhì)

從學(xué)生實(shí)際出發(fā),遵循“最近發(fā)展區(qū)”原理,充分利用學(xué)生已有的知識儲備,引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟題根本質(zhì),高屋建瓴地理解、掌握數(shù)學(xué).這樣的解題教學(xué)才能更好地啟發(fā)學(xué)生弄清楚解法的來龍去脈,幫助學(xué)生提煉數(shù)學(xué)思想方法,確實(shí)提升學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力.數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該著眼于研究如何凸顯數(shù)學(xué)的本質(zhì),如何精中求簡、返璞歸真，讓學(xué)生享受數(shù)學(xué)本質(zhì)探究的樂趣,領(lǐng)會和體驗數(shù)學(xué)的價值和魅力.

2、逐步突破學(xué)生疑難點(diǎn),在學(xué)生憤悱之時引出新方法

告知學(xué)生,他們會忘記;板演給學(xué)生看,他們會記住;讓學(xué)生參與,他們就能在參與中徹悟.在解題教學(xué)中,學(xué)生困惑最多的就是為什么會想到這樣的解題方法,而僅憑學(xué)生個人則無法想到問題的解題思路.對此,教師要善于在學(xué)生思維障礙處進(jìn)行引導(dǎo),做到“不憤不啟,不悱不發(fā)”,這樣才能幫助學(xué)生解除解題中的困惑,使解題思路逐步清晰明朗,解題過程自然流暢.因此,要解決深入研究問題的困難,就要針對解題的障礙之處進(jìn)行適當(dāng)調(diào)節(jié),找到突破問題的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn),幫助學(xué)生走出思維的困境[3].在解題過程中,要充分暴露學(xué)生的思維活動,捕捉學(xué)生思維的閃光點(diǎn),引領(lǐng)學(xué)生主動學(xué)習(xí),促進(jìn)學(xué)生積極思考,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣,指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方法,從而全面提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

米山國藏說過:在學(xué)校學(xué)的數(shù)學(xué)知識,畢業(yè)后若沒有什么機(jī)會用,一兩年后很快就忘掉了.然而,不管他們從事什么工作,唯有深深銘刻在心中的數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)的思想方法、研究方法、推理方法和看問題的著眼點(diǎn)等,卻隨時隨地發(fā)生作用,使他們終身受益.