自伴算子代數上保持乘積的c-數值半徑映射的刻畫

張艷芳，方小春

（同濟大學數學科學學院，上海200092）

1 引言

矩陣代數和算子空間上保持特定性質的映射的刻畫問題，是算子理論和算子代數的一個重要研究方面。c-數值域和c-數值半徑，作為矩陣和算子的一類重要概念，在量子計算和量子糾錯碼方面有廣泛的應用，因此也被許多學者研究［1-3］。

令R 表示實數域且設c=(c1，…，ck)tr∈Rk，H 是復Hilbert 空間且dim(H)≥k，對于H 上的任一有界線性算子A，是H的一組正交單位向量}

和

分別稱為A 的c-數值域和c-數值半徑。特別地，當k=1 且c1=1 時，就得到A 的數值域和數值半徑。不難看到，將c 的分量按照降序排列后并不改變算子的c-數值域和c-數值半徑，因此在本文中總假設c1≥…≥ck。

令F代表c-數值域或c-數值半徑，設Ω是一個集合，映射T：Ω→Ω滿足：

對任意的A，B∈Ω都成立。文獻［4］刻畫了當Ω為n階矩陣代數，°代表矩陣減法，F為c-數值半徑時，映射T 的形式。之后文獻［5］中刻畫了當Ω 為復Hilbert空間上有界線性算子全體組成的代數，°代表算子乘法且F為c-數值域時，映射T的形式。

本文主要研究了自伴算子空間上保持算子乘積的c-數值半徑的滿射形式。即刻畫了當Ω 為復Hilbert 空間上自伴的有界線性算子全體組成的實Jordan代數，°代表矩陣乘法且F為c-數值半徑時，滿足式(1)的滿射T 的形式。由于映射保持算子乘積的c-數值半徑是該映射保持算子乘積的c-數值域的必要條件，進而對于一類特殊的c，給出保持算子乘積c-數值域滿射的刻畫。本文的主要結構如下：第二部分給出自伴算子代數上保持算子乘積的c-數值半徑的滿射的刻畫。第三部分中，對于一類特殊的c研究了自伴算子代數上保持算子乘積的c-數值域的映射。

下面介紹本文用到的主要符號：令C 表示復數域，令H 是復Hilbert 空間，記H 上有界線性算子全體組成的代數為B(H)，其中的自伴算子全體組成的子代數記為Bs(H)，并將單位算子記為I。對于任意x，f ∈H，x ?f表示H上的一個秩一算子且對z∈H，(x ?f )z= z，f x。且每個秩一算子都可以表示成這樣的形式。對于H的一組就范正交集{ei}i∈Γ，任意的x ∈H 都能表示為其中ξi∈C。定 義 一 個 算 子J：H →H，其 作 用 為算子A 的共軛算子記為，其形式為易 知對 于 任 意i，j ∈Γ 都成立。

2 保持算子乘積的c-數值半徑的映射

定理1設c ∈Rk滿足ci's 不全相等，H 為復Hilbert 空 間。若Φ:Bs(H) →Bs(H) 是 滿 射 且 當dim(H) = 2時，Φ(I)=±I，那么

成立當且僅當存在H 上的酉算子U 和泛函f：Bs(H)→{-1，1}使得：

對所有的A∈Bs(H)都成立，或者

對所有的A∈Bs(H)都成立。

為了證明該定理，需要用到以下幾個引理。

引理1設c ∈Rk滿足ci's不全相等,若T是B(H)上的秩一算子，則：

（2）T的c-數值半徑是：

其中：

證明：（1）見文獻［5］。

（2）由第1 節(jié)知Wc(T)是橢圓或者線段，若Wc(T)是橢圓，那么rc(T)是與半長軸a之和，即得若Wc(T)是線段，則||T||=|tr(T)|，從而有：

引理1得證。

引理2設A，B∈Bs(H)，則下列說法成立：

（1）若||A||=||B||，則A=±B。

（2）若rc(Ax ?x)=rc(Bx ?x) 對 所 有 的x ∈H都成立，則A=±B。

證明：（1）見文獻［6］。

（2）對于A，B∈Bs(H)和任意x ∈H，有：

由于B自伴，可得：

所以||A||≥||B||。同理可得||B||≥||A||，得證。

引 理3設A,B,D ∈Bs(H)，若AB ∈CI{0} 且BD ∈CI{0}，則A,B,D 均可逆且存在非零實數t，使得A= tD。

證明：對于A,B ∈Bs(H)，(AB)*= BA 且AB 與BA有相同的非零譜值。由AB ∈CI{0}，可知AB 與BA有相同的單點譜。因此AB = BA 且都屬于RI{0}。同理可得BD ∈RI{0}。從而存在非零實數t 使得A= tD。

下面引理是著名的Wigner 定理，它是量子力學中起重要作用的基礎性定理。關于它的進一步研究，請參考文獻［7］。

引理4令H 是復Hilbert 空間，Δ:H →H 是一個雙射，并且對任意的x,y ∈H滿足:

那么

其中U：H →H 是酉算子或共軛酉算子，泛函δ：H →C滿足|δ(x)|≡1。

引理5[8]令M2s表示2 階Hermitian 矩陣全體組成的集合。設滿射滿足:

那么Φ雙邊保持秩一矩陣，即T ∈M2s是秩一矩陣當且僅當Φ(T)是秩一矩陣。

接下來完成定理1的證明。

定理1 證明由c-數值半徑的酉不變和共軛酉不變性以及的事實易得充分性,故只給出必要性的證明。下分dim H ≥3 和dim H = 2 兩種情形來證明。

情形1：dim H ≥3

由引理4，Φ(A0)，Φ(B0)都可逆。由于dim H不小于3，從而A0的零子空間ker(A0)和B0的零子空間ker(B0)至少有一個維數不小于2，不妨設ker(A0)的維 數 大 于 等 于2。取 正 交 的x，y ∈ker(A0)，令E=x ?x，易 知A0E 的c-數 值 半 徑 為0。如 果Φ(A0)Φ(E)=0，那么有Φ(E)=0，進而E=0，不可能，說明Φ(A0)Φ(E)∈CI{0}。令D=y ?y，同理可得Φ(D)Φ(A0)∈CI{0}。由引理4 知，存在非零 實 數t 使 得Φ(E)=tΦ(D)。由ED=0 可 知Φ(E)Φ(D)∈CI。從而Φ(E)和Φ(D)都屬于CI{0}，所以rc(Φ(E)2)=0。但由引理1知rc(E2)≠0，矛盾。故對所有自伴算子A，B都有：

類似地可以說明Φ(A)Φ(B)=0?AB=0。因此得Φ 符合式（3）。由文獻［6］中的引理2.1 知，存在H 上的酉算子U 和泛函g：Bs(H)→R{0}使得：

對所有秩一T ∈Bs(H)都成立，或者

對所有秩一T ∈Bs(H)都成立。

由已知rc(Φ(T)2)=rc(T2)，可得：

從 而g(T)∈{-1，1} 對 所 有 秩 一T ∈Bs(H) 都成立。

對于A∈Bs(H)，定義：

顯然Ψ(T)=g(T)T對所有秩一T ∈Bs(H)成立。故對于任意秩大于1 的A∈Bs(H)和x ∈H都有：

由引理2知，Ψ(A)=±A。所以存在泛函h：Bs(H)→{-1，1}使得Ψ(A)=h(A)A，A∈Bs(H)，顯然對所有自伴秩一算子T都有h(T)=g(T)。

情形2：dim H=2

此時B(H)?M2(C)，此處M2(C)是指二階復矩陣全體組成的代數。首先說明Φ：M2s→M2s雙邊保秩一性。

若c1+c2≠0，則rc(A)=0當且僅當A=0，從而Φ滿足式(3)。再由引理5，Φ雙邊保持秩一性。

若c1+c2=0，可證明A=0 當且僅當Φ(A)=0。實 際 上 若Φ(A)=0，對 任 意x ∈C2，rc(Ax ?x)=0，從而Ax ?x ∈CI，所以A=0。

且Q1有特征值λ1和λ2，易知：

以及

由于

因此

由rc(P12)=rc(Q12)得c1=c1|λ12-λ22|。所以

式(8)和式(9)表明λ1λ2=0。這意味著Q1只有一個非零特征值1或-1，從而Φ(P1)是秩一的。設Q2=Φ(P2)，同理可以說明Q2也是秩一的，且它的非零特征值為1 或-1。顯然Q1Q2=Q2Q1=0，因此，存在C2上酉矩陣U0使得U0*Q1U0=±P1和U0*Q2U0=±P2同 時 成 立 。 令 Ψ(A)=U0*Φ(A)U0對所有A∈M2s都成立，則只要A 或B是秩一的，就有：

對于秩一Hermitian矩陣T，若T ∈RP1∪RP2,則Φ(T)一定是秩一的，若T ?RP1∪RP2，設:

且設：

其特征值μ1≥μ2，則μ1，μ2有式(7)和(8)的形式。由

可得：

即：

同理考慮rc(TP1)，可得：

由

可得：

通過比較式(11)和(12)，得到：

將式(13)代入式(11)，得到：

再將式(14)代入式(10)，可得：

所以Ψ(T)是秩一的，從而Φ(T)也是秩一的。類似地，對任一T ∈M2s，若Φ(T)是秩一矩陣，也可證明T是秩一矩陣。

至此已經得到Φ 雙邊保持秩一，即對任意x ∈C2，存在ux∈C2和泛函g：C2→R使得：

對所有x ∈C2都成立。定義單射V：C2→C2，其作用為Vx=ux。由于Φ是滿射且雙邊保持秩一，因此V是滿射。因為

從而有：

或

對任意的A ∈M2s,定義:

顯然，?(x ?x)=g(x)x ?x 對所有x ∈C2都成立。那么對于可逆的A∈M2s和任意x ∈C2都有：

由引理3，存在泛函h：M2s→{-1，1}使得：

對 所 有A∈M2s成 立，其 中，當rankA=1 時，h(A)=g(A)。定理1得證。

3 保持乘積的c-數值域的映射

這部分給出自伴算子代數上一類保持算子乘積的c-數值域映射的刻畫。

定理2設c ∈Rk滿足c1+ ck≠0, H 為復Hilbert空間。若Φ:Bs(H)→Bs(H)是滿射且當dim(H) = 2時，Φ(I) =±1，那么：

對任意A，B∈Bs(H)都成立，當且僅當存在H 上酉算子U使得：

對所有的A∈Bs(H)都成立。

定理2 的證明需要用到以下引理，它來自文獻［5］的引理2.5。

引理6設T,S ∈B(H) 都是秩一的且滿足Wc(T) = Wc(S),那么：

（1）當c1+ck≠0時，tr(S)=tr(T)；

（2）當c1+ck=0時，tr(S)=±tr(T)。

最后完成定理2 的證明。

定理2證明：充分性顯然，因此只給出必要性的證明。由于滿射Φ:Bs(H) →Bs(H)符合式(2)，那么Φ 具有定理1 的形式，即存在H 上的酉算子U 和泛函f：Bs(H)→{-1，1}使得：

對所有的A∈Bs(H)都成立，或者

對所有的A∈Bs(H)都成立。

首先證明Φ是線性的。對A1，A2，B∈Bs(H)和秩一自伴的T，Wc(Φ(B)Φ(T))=Wc(BT)和引理2及引理6表明：

由于Φ是滿射且保持秩一，因此Φ(T)可以取遍所有自伴秩一x ?x（x ∈H），從而Φ 是可加的。同理可以證明Φ是齊次的，即對任意α∈C，都有：

所以f 必須是是常值泛函，即f(A)≡ε 對所有的A∈Bs(H)成立，其中ε=±1。

若Φ(A)=εUJAJU*對所有的A∈Bs(H)都成立，那么對任意B∈Bs(H)和秩一自伴x ?x都有：