基于雙層規(guī)劃的危險貨物高速公路運輸網(wǎng)絡(luò)收費

馮雪松，張路凱

（北京交通大學(xué)交通運輸學(xué)院，北京100044）

危險貨物是現(xiàn)代工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中的重要原料成分和應(yīng)用產(chǎn)品，對國民經(jīng)濟發(fā)展起到不可或缺的作用。目前我國道路運輸危險貨物量多達(dá)3億t[1]，與此同時危險貨物運輸事故層出不窮，導(dǎo)致嚴(yán)重的經(jīng)濟損失和社會影響。因此，在危險貨物生產(chǎn)運輸經(jīng)營中控制運輸風(fēng)險極為關(guān)鍵。同時，除監(jiān)測、封裝、檢驗等常規(guī)技術(shù)手段外，科學(xué)合理地設(shè)計運輸網(wǎng)絡(luò)是一種有效實現(xiàn)安全目標(biāo)的管理手段。

按照研究內(nèi)容領(lǐng)域，危險貨物運輸網(wǎng)絡(luò)設(shè)計主要分為基本網(wǎng)絡(luò)拓?fù)湓O(shè)計、時間窗影響限制、不確定因素分析以及多式聯(lián)運體系等。在基本網(wǎng)絡(luò)拓?fù)湓O(shè)計方面，Taslimi 等［2］對于道路危險貨物運輸網(wǎng)絡(luò)進行了綜合優(yōu)化建模研究，其優(yōu)化目標(biāo)包括危險貨物基本運輸網(wǎng)絡(luò)設(shè)計、應(yīng)急中心選址以及風(fēng)險的均衡控制。Kara等［3］提出了基于博弈思想的道路危險貨物運輸網(wǎng)絡(luò)設(shè)計雙層規(guī)劃模型，該模型應(yīng)用對偶原理進行單層規(guī)劃轉(zhuǎn)換以求解。Marcotte 等［4］在Kara等［3］的研究基礎(chǔ)上進一步引入了收費策略，結(jié)果表明考慮收費的風(fēng)險控制效果更為明顯也更為靈活。在時間窗影響限制方面，F(xiàn)an等［5］考慮交通管制條件研究了城市區(qū)域危險貨物運輸網(wǎng)絡(luò)設(shè)計問題，其建立的多目標(biāo)規(guī)劃模型采用啟發(fā)式算法進行求解。Hu 等［6］分析了交通限制條件的引入以及模型中的多目標(biāo)、軟時間窗和備選路段。另外，也有學(xué)者研究了動態(tài)車輛路徑條件下的危險貨物運輸時間窗限制［7］。在不確定因素分析方面，Mohammadi 等［8］考慮不確定條件的影響，對多方式多種類危險貨物運輸網(wǎng)絡(luò)的可靠性進行研究，其基本框架為樞紐選址問題。Ghaderi等［9］采用隨機規(guī)劃方法對多方式危險貨物運輸網(wǎng)絡(luò)進行設(shè)計分析，其模型求解中應(yīng)用了最大似然采樣法、平均近似采樣法及混合采樣法等三類方法對隨機因素條件進行處理。在多式聯(lián)運研究方面，Xie等［10］進行了公路與鐵路聯(lián)合運輸?shù)膬?yōu)化研究，Bevrani等［11］也深入分析了危險貨物多式聯(lián)運網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計問題。

從內(nèi)容和方法來看，以往研究對問題的場景化假設(shè)均較為理想，尤其是對危險貨物運輸網(wǎng)絡(luò)中的復(fù)雜流量因素考慮趨于簡略，在政府管理部門決策方式上也多為簡單的路段“通”與“斷”，缺乏管控靈活性且難以兼顧運輸企業(yè)的運營公平性。鑒于此，該研究以危險貨物高速公路運輸網(wǎng)絡(luò)為研究對象，考慮社會車輛與危險貨物車輛混行且存在擁擠效應(yīng)，參照交通網(wǎng)絡(luò)擁擠收費原理［12］，以路段上對危險貨物車輛進行收費作為政府管理部門決策方式，以控制總風(fēng)險為目標(biāo)對運輸網(wǎng)絡(luò)進行優(yōu)化。

1 模型建立

該研究選取一定區(qū)域高速公路網(wǎng)絡(luò)為對象，高速公路一般具備全域監(jiān)控設(shè)施或裝配有多岔口ETC設(shè)備等，現(xiàn)有的工程實踐條件足以提供硬件支撐實現(xiàn)基于路段的收費策略，因此可充分研究分析該問題的理論延伸和解析方法。針對一般以下危險性程度的貨物運輸［13］，考慮網(wǎng)絡(luò)中既有危險貨物車輛存在也有大量普通社會車輛，二者混行于相同路段上且車輛間存在擁擠效應(yīng)，并且將危險貨物車輛對社會車輛司乘人員的風(fēng)險影響納入考慮。優(yōu)化目標(biāo)為危險貨物運輸網(wǎng)絡(luò)總風(fēng)險，政府的決策是在部分路段上對危險貨物車輛進行收費，對社會車輛無干預(yù)措施。危險貨物車輛在政府決策基礎(chǔ)上自由選擇路徑，社會車輛也自由選擇路徑，最終網(wǎng)絡(luò)中所有混行車輛達(dá)到均衡狀態(tài)，該問題雙層約束特點如圖1所示。

1.1 雙層規(guī)劃模型

圖1 雙層約束特點示意圖Fig.1 Illustration for bi-level constraint characteristics

定義模型所需的參數(shù)符號，以G=(V，A)表示危險貨物運輸網(wǎng)絡(luò)，節(jié)點集合為V，路段集合為A。且i，j ∈V，ij ∈A。單個運輸任務(wù)起訖點為一個OD對（origin to destination）。上層目標(biāo)函數(shù)為最小化危險貨物運輸網(wǎng)絡(luò)總風(fēng)險Z，見式（1）。式（2）為車輛在路段上的通行時間，采用美國聯(lián)邦公路局公路阻抗（bureau of public road，BPR）函數(shù)形式［14］。式（3）為社會車輛路段廣義成本，式（4）為危險貨物車輛路段廣義成本，式（5）為路段上對單位危險貨物車輛的收費。

式中：xij1和xij2為決策變量，分別表示路段ij 上社會車輛流量危險貨物車輛流量；ρij為路段ij 周圍暴露人口數(shù)；tij(Xij)為路段ij上以混合車輛流量為自變量的時間阻抗函數(shù)；ε為路段上社會車輛對于暴露人口的折算系數(shù)；μ 為目標(biāo)函數(shù)中車輛通行時間權(quán)重系數(shù)。

式中：t0ij為路段ij 零流阻抗，即車輛在路段ij 上無擁擠自由流時間；Cij為路段ij通行能力，即路段ij單位時間通行車輛數(shù)；α 和β為BPR 函數(shù)參數(shù)，常用值分別為0.15和4［14］。

式中：Tij1(Xij)為路段ij上以混合車輛流量為自變量的社會車輛路段廣義成本函數(shù)。

式中：Tij2(Xij)為路段ij上以混合車輛流量為自變量的危險貨物車輛路段廣義成本函數(shù)；θ為收費對于時間成本的量綱轉(zhuǎn)化系數(shù)；τij為決策變量，表示路段ij上對單位危險貨物車輛的收費值。

式中：τmin和τmax分別為網(wǎng)絡(luò)中路段上對單位危險貨物車輛收費的最小值和最大值。

下層問題混合車流中不考慮車型對擁擠效應(yīng)的影響，所有車輛在上層決策基礎(chǔ)上自由選擇路徑并最終達(dá)到均衡狀態(tài)（user equilibrium，UE）［12］，得到路段流量并反作用于上層目標(biāo)。相比于常規(guī)單類型車輛UE問題，混合UE問題目標(biāo)函數(shù)無法用直觀數(shù)學(xué)形式表示。均衡狀態(tài)下對于任意某個OD 對，車輛所使用路徑的成本相等且達(dá)到最小，且Tij1(Xij)與Tij2(Xij)均為嚴(yán)格遞增且連續(xù)可微的單調(diào)函數(shù)，因此采用變分不等式來確定混合車輛均衡目標(biāo)狀態(tài)與路段流量形式變分不等式滿足具有兩種車輛類型，需求固定條件下的均衡原則，如式（6）所示：

下層約束條件中，式（7）為社會車輛的路段流量與路徑流量之間關(guān)系。式（8）為社會車輛的需求約束。式（9）為危險貨物車輛的路段流量與路徑流量之間關(guān)系。式（10）為危險貨物車輛的需求約束。式（11）為路段流量和路徑流量的非負(fù)約束。

式（7）～（11）中：fm，rs，1和fm，rs，2為輔助決策變量，分別表示OD對rs間第m條路徑上社會車輛流量和危險貨物車輛流量；qrs，1和qrs，2分別為OD 對rs 間的社會車輛流量和危險貨物車輛流量；δij，m，rs，1表示若路段ij在社會車輛OD對rs間第m條路徑上則其取值為1，否則為0；δij，m，rs，2表示路段ij 在危險貨物車輛OD 對rs間第m條路徑上則其取值1，否則為0。

1.2 最優(yōu)性分析

在1.1 節(jié)雙層規(guī)劃模型中，上層問題為政府的路段收費決策，下層問題為混合車輛均衡狀態(tài)，整個問題的關(guān)鍵在于下層問題中最優(yōu)混合流量的獲得。同時，對于規(guī)劃形式的極值優(yōu)化問題，一階最優(yōu)條件（庫恩塔克條件，KKT conditions）是使一組所求解成為模型最優(yōu)解的必要條件［3］，因此引入拉格朗日乘子構(gòu)建式（12）～（17）。

則下層優(yōu)化問題的一階最優(yōu)條件由式（7）～（17）構(gòu)成，式（12）和式（15）中的wm，rs，1和wm，rs，2分別為社會車輛和危險貨物車輛的路徑廣義成本。變量λrs，1和λrs，2分別為式（8）和式（10）相對應(yīng)的拉格朗日乘子，它們的物理意義分別為OD 對rs 間社會車輛和危險貨物車輛的最小廣義成本。從上述條件與變量的形式可直觀看出，下層問題中混合流量最優(yōu)解的必要性是準(zhǔn)確合理的。

2 算法設(shè)計

雙層規(guī)劃是典型的NP-hard 問題[3]，目前用于求解的常見精確算法有罰函數(shù)法、分枝定界法和靈敏度分析法等[15]，啟發(fā)式算法中以人工智能算法為主。考慮混合車輛均衡的問題復(fù)雜性以及計算效率，該模型應(yīng)用粒子群算法(particle swarm optimization,PSO)求解，其對于規(guī)劃模型中的函數(shù)性質(zhì)沒有特殊要求。計算中假設(shè)每一個粒子的位置表示一種對危險貨物車輛的路段收費方案，下層問題中路段混合流量分配則通過對角化算法獲得。

步驟1：初始化。設(shè)置粒子群規(guī)模Np，最大速度Hmax，最大迭代次數(shù)Γ，以及計算學(xué)習(xí)因子c1、c2和慣性權(quán)重ω的參數(shù)c1f、c2f、c1g、c2g、ωmin、ωmax。初始化粒子的位置和速度，φ 為區(qū)間(0,1)內(nèi)隨機數(shù)，每一粒子的初始飛行速度取Hn=Hmax· φ，并令迭代次數(shù)k = 1。

步驟2：求解下層規(guī)劃模型和評價粒子。對于群體中每一個粒子，求解下層規(guī)劃模型，獲得流量xij1(g,k)和xij2(g,k)。通過目標(biāo)函數(shù)來評估得到每一粒子相應(yīng)結(jié)果的適用性指標(biāo)值。

步驟3：最優(yōu)位置更新。①比較粒子當(dāng)前的適用性指標(biāo)值與個體的最優(yōu)值Opb，若當(dāng)前適用性指標(biāo)值比Opb更優(yōu)，則把當(dāng)前粒子位置標(biāo)記為個體的歷史最優(yōu)位置pgd。②將粒子當(dāng)前適用性指標(biāo)值與粒子群體的整體最優(yōu)值Ogb作比較，如果當(dāng)前適用性指標(biāo)值比Ogb更優(yōu)，則當(dāng)前粒子的位置即為群體最優(yōu)位置pQd。

步驟5：令k = k + 1，循環(huán)回到步驟2，直到達(dá)到最大迭代次數(shù)。

下層問題是兩類車輛混合均衡狀態(tài)下的變分不等式模型，采用對角化算法進行求解。該算法基于對一系列數(shù)學(xué)優(yōu)化子問題的求解，即每次迭代都求解一個優(yōu)化子問題，每個子問題是一個非線性規(guī)劃。在每次迭代中，基于路段已知流量，通過當(dāng)前結(jié)果更新阻抗函數(shù)，使之產(chǎn)生一個標(biāo)準(zhǔn)的用戶均衡問題，并求解路段剩余流量［16］。第v次迭代中要求解的規(guī)劃問 題 目 標(biāo) 可 用 式（18）表 示，路 段 流 量Xij，v=(xij1，xij2)v。

步驟1：初始化，設(shè)置收斂誤差ξ1和ξ2，執(zhí)行隨機網(wǎng)絡(luò)加載得到初始路段流量Xij,v=(xij1,xij2)v，置迭代次數(shù)為v=1。

步驟2.1：計算每一路段上的阻抗，即需求固定的兩類車輛的路段阻抗。

步驟2.2：尋求下降方向，在現(xiàn)有路段阻抗條件下分別尋求兩類車輛對應(yīng)OD對之間的最短路徑和相應(yīng)阻抗，利用“全有全無”方法加載，分別得到路段流量。

步驟2.3：流量更新，設(shè)置迭代步長為1 v，使用Frank-Wolfe算法進行流量更新。

步驟2.4：若滿足目標(biāo)函數(shù)的收斂要求ξv≤ξ1，則迭代計算停止。否則令v=v+1，轉(zhuǎn)步驟2.1。

3 實例分析

如圖2 所示，選取天津地區(qū)高速公路網(wǎng)為研究對象，該網(wǎng)絡(luò)中共有72個節(jié)點（計算編號N1至N72）和135 條雙向路段（計算編號L1 至L135）。采用Matlab 編寫算法，設(shè)置計算相關(guān)參數(shù)：粒子群規(guī)模Np=15，最大迭代次數(shù)Γ=100，學(xué)習(xí)因子c1f=c2g=2.5，c1g=c2f=0.5，慣性權(quán)重系數(shù)ωmin=0.4，ωmax=1.4，最大速度Hmax=6。設(shè)路段上社會車輛對于暴露人口數(shù)的折算系數(shù)ε=2，成本量綱系數(shù)θ=0.7，τmin=0，τmax=50。

下文對目標(biāo)權(quán)重系數(shù)、交通需求量以及危險貨物車輛需求比例對危險貨物運輸網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化效果的影響程度進行了分析。

3.1 目標(biāo)權(quán)重系數(shù)對優(yōu)化效果的影響

表1 和表2 給出了網(wǎng)絡(luò)總交通需求為2 000，危險貨物車輛占總需求比例為5%時，目標(biāo)權(quán)重系數(shù)μ對優(yōu)化效果的影響。由表1 可以看出，對于任意給定權(quán)重系數(shù)μ 值，收費后的目標(biāo)函數(shù)值均小于收費前的相應(yīng)值，收費起到了優(yōu)化效果。隨著μ 值的增大，車輛總通行時間部分在目標(biāo)函數(shù)中的影響越來越大，當(dāng)μ≥5 時目標(biāo)函數(shù)值呈現(xiàn)線性增長趨勢，暴露人口數(shù)不能在目標(biāo)函數(shù)中明顯反映。

表1 目標(biāo)權(quán)重系數(shù)對目標(biāo)函數(shù)值的影響Tab. 1 Impact of objective weight coefficient on objective function value

表2 目標(biāo)權(quán)重系數(shù)對收費后帕累托最優(yōu)狀態(tài)的影響Tab.2 Impact of objective weight coefficient on Pareto optimal state after tolling

圖2 天津地區(qū)高速公路網(wǎng)Fig.2 Expressway network of Tianjin

危險貨物運輸多目標(biāo)優(yōu)化問題在加權(quán)條件下，網(wǎng)絡(luò)中的車輛總通行時間與總暴露人口數(shù)是帕累托改進的兩項要素［2］。由表2可看出，隨著目標(biāo)權(quán)重系數(shù)值μ的增大，車輛時間的增加幅度先是逐漸變大，后趨于平穩(wěn)。其原因是隨著μ 值的增大，車輛時間部分的影響越來越大，到達(dá)一定程度后目標(biāo)函數(shù)中主要是車輛通行時間在起作用，再增大μ 對其變化幅度影響不大。網(wǎng)絡(luò)總暴露人口數(shù)的減少幅度先是逐漸變大，后減小并趨于平穩(wěn)。其原因是初期隨著μ值的增大，收費對暴露人口數(shù)的控制起到了較好效果。后期μ 值過大時，目標(biāo)函數(shù)中暴露人口部分影響極小，不能起到明顯的作用。

3.2 網(wǎng)絡(luò)總交通需求對優(yōu)化效果的影響

表3 和表4 給出了危險貨物車輛占網(wǎng)絡(luò)總交通需求比例為5%，目標(biāo)權(quán)重系數(shù)μ=0.2時，網(wǎng)絡(luò)總交通需求對優(yōu)化效果的影響。

由表3可知，隨著網(wǎng)絡(luò)總交通需求的增大，收費前和收費后的目標(biāo)函數(shù)值都隨之增大。在任意總交通需求條件下，收費后都使得目標(biāo)函數(shù)有所減少，即收費方法是有效可行的。當(dāng)網(wǎng)絡(luò)中車輛總需求較少（少于1 000）時，收費前后目標(biāo)函數(shù)變化較小，這是因為網(wǎng)絡(luò)中車輛較少，收費對危險貨物車輛路徑選擇的影響作用較小。

表3 網(wǎng)絡(luò)總交通需求對目標(biāo)函數(shù)值的影響Tab. 3 Impact of total traffic demand of network on objective function value

表4 網(wǎng)絡(luò)總交通需求對收費后子目標(biāo)變化的影響Tab.4 Impact of total traffic demand of network on the changes of sub-objectives after tolling

由表4可知，無論網(wǎng)絡(luò)總交通需求為多少，收費后網(wǎng)絡(luò)中車輛總通行時間增加的百分比都小于總暴露人口數(shù)減小的百分比，即收費方法在實用效果上是正確的。隨著總交通需求的增大，車輛總通行時間增加的百分比與總暴露人口數(shù)的差距逐漸變小。這是因為網(wǎng)絡(luò)中車輛數(shù)逐漸增加，目標(biāo)函數(shù)中危險貨物車輛對社會車輛司乘人員的風(fēng)險部分影響作用趨于明顯。

3.3 車輛比例對優(yōu)化效果的影響

表5 給出了網(wǎng)絡(luò)總交通需求為2 000，目標(biāo)權(quán)重系數(shù)μ=0.2時，網(wǎng)絡(luò)中危險貨物車輛所占總交通需求比例（0.01、0.05、0.15）對優(yōu)化效果的影響。由表5 可以看出，隨著危險貨物車輛比例的增大，目標(biāo)函數(shù)值、車輛總通行時間以及總暴露人口數(shù)都是增大的。但危險貨物車輛比例從0.01增大到0.05時，目標(biāo)函數(shù)值和總暴露人口數(shù)的增大不明顯，這是因為網(wǎng)絡(luò)中危險貨物車輛數(shù)仍較少，其自身的風(fēng)險性并未對路段周圍暴露人口和社會車輛司乘人員造成較大影響。危險貨物車輛比例從0.01增大到0.05時，車輛總通行時間有一定的變化幅度，其原因是社會車輛在網(wǎng)絡(luò)車輛中占多數(shù)，其路徑選擇只要受到影響就將導(dǎo)致一定的車輛總通行時間增加。

表5 不同危險貨物車輛比例下的收費后結(jié)果Tab.5 Results after tolling under different propor tion of hazardous materials vehicles

4 結(jié)論與展望

在危險貨物運輸網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化問題中，相比于傳統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計方法，收費方法具有更強的靈活性和網(wǎng)絡(luò)可達(dá)性。考慮社會車輛的混行影響更接近外界現(xiàn)實條件，更能確保網(wǎng)絡(luò)交通流量結(jié)果的準(zhǔn)確性，且高速公路現(xiàn)有的工程實踐條件足以提供硬件支撐實現(xiàn)基于路段的收費策略。該研究提出的基于雙層規(guī)劃的道路危險貨物高速公路運輸網(wǎng)絡(luò)收費問題從實際需求出發(fā)，圍繞外界影響和客觀限制因素，應(yīng)用合理的規(guī)劃建模進行網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化研究，體現(xiàn)了科學(xué)決策的價值作用，相應(yīng)方法體系可為危險貨物運輸管理部門提供基礎(chǔ)理論依據(jù)和工程實踐參考。

同時，該研究所建立模型中的參數(shù)設(shè)置還不夠完全精確合理，忽略了車型對擁擠效應(yīng)的影響，對折算系數(shù)、量綱系數(shù)等參數(shù)的設(shè)定也較為簡單，不能確保完全反映實際情況，在以后的研究中可進一步與實際結(jié)合加以改進。此外，該研究可進一步為危險貨物運輸管理決策支持系統(tǒng)（DSS）開發(fā)提供理論架構(gòu)支撐，進而更為直接地體現(xiàn)決策參考作用。