基于車道的交叉口車道功能和信號相位優(yōu)化模型

聶 磊，馬萬經

（同濟大學道路與交通工程教育部重點實驗室，上海201804）

常規(guī)交通信號配時設計方法是以交叉口車道功能方案為輸入，計算交叉口信號配時參數(shù)。若評價指標不理想，則需調整車道功能方案，反復試算后，獲得最佳的交通設計和交通控制方案。這種方法費時費力，還可能得不到最優(yōu)化方案，特別是城市內部車道數(shù)較多的復雜交叉口。

車道功能和相位方案是影響交叉口時空資源利用水平和整體交通運行效率的關鍵因素，它們都是交叉口時空資源優(yōu)化中的戰(zhàn)略變量（慢變量），一般相對穩(wěn)定，更適用于將兩者整體離線優(yōu)化。而周期和綠信比屬于戰(zhàn)術變量（快變量），容易改變更易動態(tài)調整［1］，可在車道功能和相位方案確定后再進行優(yōu)化。車道功能和相位方案相互耦合、相互影響，必須整體考慮。

相位方案是給行人、車輛等各種交通流分配通行權，它是確保信號控制交叉口安全和效率的基本控制機制和參數(shù)［2］。相位設計方法主要有兩種模式，一種是早期基于相位階段（stage-based），一種是后來基于信號燈組（signal group-based）［3］?；谙辔浑A段的研究分為兩類，第一類是提出相位選擇的原則和邏輯流程，以定性分析和實踐經驗為主，或者以左轉相位等某一類型相位進行定量分析，這類研究［4-7］缺少整體的精確的數(shù)學模型表達和優(yōu)化算法。第二類以采用圖論、聚類或集合的方法建立相位數(shù)學優(yōu)化模型［8-13］，但模型較為簡單，較少考慮搭接相位，實用性和靈活性不夠。美國雙環(huán)相位（Dural-Ring）［14-15］結構其本質也是基于信號燈組。基于信號燈組方法往往將相位方案與周期、綠信比等信號控制參數(shù)整體優(yōu)化［16-18］，優(yōu)化模型相對復雜。

Lam 等［19］以交叉口關鍵流量比之和最小為優(yōu)化目標，首次建立了車道功能與信號配時組合優(yōu)化模型，以車道組為優(yōu)化對象，沒有考慮合用車道內部車道流量會出現(xiàn)不均衡分布，車道組內部車道飽和度無法做到均衡，不一定能得到最優(yōu)結果，甚至得出錯誤結論。Wong等［3，16，20-22］提出了基于車道的十字交叉口車道功能和信號配時優(yōu)化模型，車道功能是一組邏輯變量反映每個車道是否能夠允許通行到其他出口，模型變量與進口車道數(shù)量相關，4 車道進口的變量數(shù)超過兩百個，約束也近七百個，建模和求解難度較高；以儲備通行能力為優(yōu)化目標時，周期往往取最大值，綠信比也是按照等飽和度分配，優(yōu)化結果存在延誤較大的問題。以延誤最小為優(yōu)化目標，模型屬于混合整數(shù)非線性規(guī)劃，變量多求解較為困難，實際應用受到限制。He［23］和Liu［24］等在基于Wong 的模型基礎上，調整約束使模型適用于國內右側通行，并增加了短車道約束或排隊影響，但周期仍取最大值，延誤較高的問題依然存在。Yao 等［25］提出以最小延誤的單目標和最小延誤、最大通行能力的雙層目標，優(yōu)化交叉口相位方案、綠信比和短車道長度的模型，但車道功能未同步優(yōu)化。張鵬等［17］提出基于Dural-Ring 相位的以延誤最小為目標的交叉口車道與信號配時協(xié)同優(yōu)化模型，但車道功能沒有考慮直右、直左右、左右等共享車道，同時相位方案沒有考慮單口放行相位方案，應用受限。

趙靖等提出了動態(tài)車道及出口道左轉的車道功能與信號方案整體優(yōu)化模型［1，26-28］，能夠提高交叉口通行能力，但對于空間緊張的城市道路實施難度較大。Ma 等［29］參考Wong 的模型思路提出了基于車道的環(huán)島交叉口車道功能和信號配時優(yōu)化模型。Yu等［30］基于Wong的模型提出了車道功能和信號配時隨機優(yōu)化模型，使得車道功能魯棒性更強，對流量波動更加不敏感。

本文首先建立基于車道的交叉口車道功能和信號相位組合優(yōu)化模型；然后提出模型求解算法；最后通過實例驗證模型有效性，并進行敏感性分析。本文提出的模型變量較少，與目前交通設計方法銜接更好，更易理解，能夠得到全局最優(yōu)解，求解方法也相對簡單。

1 車道功能和相位優(yōu)化模型

1.1 模型輸入

模型輸入包括交叉口流量、進出口總車道數(shù)、路段車道數(shù)，具體表達如下。

①交 叉 口 流 量：Qi，j，單 位 為pcu·h-1，i，j ∈{1，2，3，…，N }，i，j 代表方向或進口序號，南進口為1，序號順時針增加，N為交叉口進口數(shù)；

②交叉口第i個進出口總車道數(shù)：Li；

③交叉口第i個進口路段車道數(shù)：Bi

1.2 模型變量

δi，k為第i 個進口第k 種車道功能的車道數(shù)，k={0，1，2，…，7}，共計N×8 個變量，若N=4，則有32個整數(shù)變量。8 種車道功能中，k=0 代表出口道，k=1～7 分別代表左轉（掉頭或左轉掉頭）、直左車道、直行車道、直左右車道、左右車道、直右車道、右轉車道。

1.3 模型約束

1.3.1 進出口道數(shù)量約束

第i 個進口的進口道車道數(shù)和出口車道數(shù)之和等于進出口總車道數(shù)，第i個進口第k種車道功能的車道數(shù)大于等于0，出口道數(shù)不小于路段基本車道數(shù)，出口道在路段基本車道數(shù)基礎上最多拓寬1車道。

1.3.2 合用車道約束

合用車道的數(shù)量至多一條，否則進口內部車道就將產生沖突。若有直左右車道，則直行、直左、左右、直右車道數(shù)量均為0，否則將產生沖突。

若δi，4=1，則：

若δi，5=1，則：

1.3.3 車道功能模式約束

根據(jù)車道功能不同，進口車道功能一般可以分為4種模式，模式I為獨立的左轉、直行和右轉車道，進口道為三組獨立的車流（車道組）；模式II 為具有直左合用車道，沒有直右合用車道；模式III 位有直右合用車道，沒有直左合用車道；模式IV 為有直左右合用車流或同時具有直右和直左車流，整個進口道為一個車流。如果只考慮某一模式的方案，可采用表1的約束。

表1 進口道車道模式表Tab.1 Entrance lane mode table

Mi為i 進口進口車道數(shù)，Mi=Li-δi，0，qxi，2和qxi，3為i進口直左合用車道中的左轉和直行流量；qxi，5和qxi，6為i 進口直右合用車道中的直行和右轉流量；qxi，1、qxi，4、qxi，7為i 進口獨立左轉、直行和右轉車道的流量。

1.3.4 進出口道車道平衡

一般情況下，出口道車道數(shù)要分別大于等于左側右轉車道、對向直行車道和右側左轉車道的車道數(shù)。

T(i)為進口序號轉換函數(shù)，定義為：若i≤N，T(i)=i，否則i＞N，T(i)=i-N。

1.3.5 流量與車道功能匹配

若某個流量流向大于0，則必須有該流向的車道功能。同理某個流量流向等于0，則禁止該流向的車道功能。

若左轉流量Qi，T(i+1)＞0，則：

若直行流量Qi，T(i+2)＞0，則：

若右轉流量Qi，T(i+3)＞0，則：

若左轉流量Qi，T(i+1)=0，則：

若直行流量Qi，T(i+2)=0，則：

若右轉流量Qi，T(i+3)=0，則：

1.3.6 車道組流量等飽和度

對于模式I，左轉、直行和右轉都是獨立車道，各流向的車道流量都是平均分配，每種車道功能的每個車道的流量比和飽和度都是相同的。而對于模式II～IV，有合用車道的進口車道功能方案，存在合用車道與多個車道共同構成車道組，特別是對于模式IV，整個進口道作為一個車道組，如果是按照車道組整體優(yōu)化，默認認為車道組內所有車道流量均衡分配，完全共享，并按照等飽和度原則分配車道流量是偏樂觀和理想的，有些車道功能方案設置合用車道，但實際車道流量無法完全共享做到等飽和度，因此采用車道為優(yōu)化對象優(yōu)化更符合實際。對于存在直行左轉合用車道的模式II和直行右轉合用車道的模式III，同樣存在上述問題。如果這些方案合用車道流量不均衡，無法做到等飽和度或等流量比，從本質上來講應轉化為模式I獨立左右轉車道模式，因此這些不合理的車道功能方案，應予以舍棄。

（1）模式II

直行和左轉合用車道構成一個車道組，根據(jù)排隊理論，車道組內部車道的飽和度相同，由于車道組在信號控制中是共用一個信號燈組，綠燈時間也相同，所以車道組內部車道的流量比也應相同。即：

式中Si，1、Si，2、Si，3分別為左轉、直行和右轉飽和流量，取值分別為1 650、1 800 和1 550 pcu·h-1［31］；θ 為左轉流量對直行流量折算系數(shù)，θi=Si，2/Si，1。

（2）模式III

式中：φ 為右轉流量對直行流量折算系數(shù)，φ=Si，2/Si，3。

（3）模式IV-1

式中：Si，0為Si，SL和Si，SR中的較小值；Si，SL為直行左轉合用車道飽和流量，Si，SR為直行右轉合用車道飽和流量。

（4）模式IV-2

等飽和約束條件，分為8種情況，實現(xiàn)車道流量守恒和等飽和度［32］。

（1）情況1（δi，1＞0，δi，3＞0，δi，7＞0）

（2）情況2（δi，1=0，δi，3＞0，δi，7＞0）

（3）情況3（δi，1＞0，δi，3=0，δi，7＞0）

（4）情況4（δi，1＞0，δi，3＞0，δi，7=0）

（5）情況5（δi，1=0，δi，3=0，δi，7＞0）

（6）情況6（δi，1＞0，δi，3=0，δi，7=0）

（7）情況7（δi，1=0，δi，3＞0，δi，7=0）

（8）情況8（δi，1=0，δi，3=0，δi，7=0）

式（15）～（22）共8種情況的約束方程，均為線性方程組，可以表達為

式中：Ai，m為i 進口對應第m 種情況的7×7 矩陣，具體表達參見文獻［32］；Xi為i 進口車道功能1、2、3、6、7 各 自 的 分 流 向 流 量，參 見 表1，Xi=為左轉、右 轉 和直行流量，

式（23）為線性方程組，可以采用LU 分解法求解。如果矩陣A的秩和增廣矩陣［A B］的秩相同，且都是7，則線性方程組有唯一解；若其秩相等但小于7，則線性方程組有無窮解；如果矩陣A 的秩與增廣矩陣［A B］的秩不相同，則無解。只有當解X的所有元素都不小于0，才是可行解。

因上述模型是線形方程組，若交叉口流量同比例增長，這各車道的流量也同比例增加，流量比也是同比例增加。

1.3.7 左轉專用車道約束

根據(jù)HCM2000手冊，左轉車道約束為

該約束選擇性使用，若車道數(shù)較多，則開啟，可大幅度減少計算量；若車道數(shù)不多，建議可不采用該約束，盡量得到全局最優(yōu)解。

1.3.8 車道功能模式與相位方案

本研究重點針對多車道的、盡量避免沖突點的多相位控制方案。參考Dural-Ring的8相位方案，按照南北向和東西向兩個大相位考慮，南北和東西各考慮6 種基本相位方案（P1～P6），共計36 個相位組合方案。其中P1～P6 分別代表：P1 為對稱放行相位；P2 為單口獨立放行相位；P3 為有搭接的對稱放行相位（搭接相位為某一進口）；P4為有搭接的對稱方向相位（搭接相位為另外進口）；P5為搭接的單口放行相位（搭接相位為對稱直行）；P6為搭接的單口放行相位（搭接相位為對稱左轉）。

車道功能模式與信號相位方案之間對應關系和規(guī)則詳見表2，I 和III 模式兩兩組合下可選擇6 種相位方案，其余只能考慮單口放行的相位方案。

表2 車道功能模式與相位方案Tab.2 Lane function mode and phase scheme

1.4 目標函數(shù)

流量比是可以充分反映交叉口時空資源的重要參數(shù)，可以衡量交叉口時空資源飽和程度［19］。目標函數(shù)采用交叉口關鍵流量比之和最小，出口道同步優(yōu)化模型如下：

Y 為交叉口關鍵流量比之和。若出口不進行優(yōu)化，則目標函數(shù)不變，約束條件選擇式（3）～（22）。

相位方案參考Dural-Ring的8相位方案結構，右轉不控制的交叉口關鍵流量比計算公式見表3。

表3 中，yi，T(i+1)表示i 進口到i+1 出口左轉流量比，yi，T(i+2)表示i 進口到i+2 出口直行流量比，當進口為II和IV模式時，其流量相同，取其一即可。

式（25）～（26）中，主要考慮直行和左轉流量比各種相位情況下最小流量比，但沒有考慮右轉專用車流的流量比。在國內右轉專用車流往往是不受控制，其對周期等控制方案沒有決定作用，但其對車道功能優(yōu)化有影響，如果不加以考慮會產生不合理的車道功能方案。因此，需要對交叉口關鍵流量比進行修正，步驟如下：

步驟1：若交叉口進口存在模式I和II，則轉步驟2，否則結束；

步驟2：記錄所有專用右轉車流的流量比；

步驟3：右轉流量比排序，取最大值。

步驟4：右轉流量比和式（25）～（26）計算值取最大值為交叉口關鍵流量比。

表3 車道功能模式與關鍵流量比Tab.3 Lane function mode and critical flow ratio

搭接相位P3-P6 的流量比之和相等，以流量比最小為目標，相位和車道功能會存在多個最優(yōu)解。對于多個最優(yōu)解，可適用于不同信號控制設備及控制要求，因此本文將所有最小的關鍵流量比之和相同的所有相位均作為最優(yōu)方案。

1.5 模型算法

模型為整數(shù)非線性規(guī)劃?？紤]到交叉口進出口車道數(shù)一般不超過10 條車道，其所有車道功能有限，可行解更是不多，因此，本文采用枚舉法進行求解，可以得到全局最優(yōu)解。本文采用Window 7平臺Visual Studio 2013 中C++實現(xiàn)模型算法，并直接輸出圖片格式的方案，包括交叉口車道功能布置和相位方案。具體算法流程如圖1所示。

圖1 模型算法流程Fig. 1 Model algorithmic flow

2 模型驗證與分析

2.1 交叉口基本參數(shù)

論文以張家港的人民路－長安路四叉十字路口為案例，現(xiàn)狀交叉口交通設計、高峰小時流量及信號燈組（車流）如圖2 所示，各路口均是進口4 條車道，路段和出口均為單向3條車道。信號相位為對稱放行4相位，周期為118 s。

2.2 優(yōu)化結果

2.2.1 只優(yōu)化進口道，出口道不優(yōu)化

根據(jù)模型優(yōu)化，最優(yōu)方案關鍵流量比之和為0.888，相位方案為單口放行，車道功能布置如圖3所示，相位方案為單口放行。按照HCM2000［33］的延誤計算公式，優(yōu)化周期和綠信比，最優(yōu)周期為99 s，車均延誤為63 s。圖3 中，圖中，i 為進口序號，車道內的數(shù)字分別為車道組序號、車道流量、飽和流量和流量比，三、四象限內為相位方案，本例為4 相位方案，相位內依次為相位車道組序號、相位流量比、車道功能示意圖。

2.2.2 進口道和出口道同步優(yōu)化

根據(jù)模型優(yōu)化，最優(yōu)方案關鍵流量比之和為0.777，車道功能布置如圖4 所示，相位方案為搭接相位。按照HCM2000的延誤計算公式，優(yōu)化周期和綠信比，最優(yōu)周期為70 s，車均延誤為40 s。

2.2.3 Wong C K模型

為了進一步論證模型的合理性并比較其性能，本文利用lingo11.0建立Wong［20］提出的基于車道的儲備通行能力最大的車道功能和信號配時優(yōu)化模型（出口道不優(yōu)化）與本模型的結果進行比較。在相同的輸入條件下兩個模型優(yōu)化的車道功能和相位方案結果是相同的，儲備通行能力為μ=1.003 2，周期為最大周期120 s。

2.2.4 結果分析

圖2 交叉口流量、車道功能和相位方案Fig.2 Intersection flow,lane function and phase scheme

圖3 最優(yōu)車道功能和相位圖（出口不優(yōu)化）Fig.3 Optimal lane function and signal phase plan（non-optimization of exit lane）

圖4 最優(yōu)車道功能和相位圖（出口優(yōu)化）Fig.4 Optimal lane function and signal phase plan（optimization of exit lane）

現(xiàn)狀方案、Wong 模型、僅進口道優(yōu)化和進出口道同步優(yōu)化4 種方案的關鍵流量比、周期和延誤對比如圖5所示。

圖5 4個方案優(yōu)化結果對比圖Fig.5 Comparison of optimization results of four schemes

根據(jù)圖5 的優(yōu)化結果，模型能夠有效降低交叉口關鍵流量比、周期和車均延誤，僅優(yōu)化進口道方案較原方案，交叉口關鍵流量比、周期和車均延誤分別降低了16.4%，16.1%和42.7%，延誤較Wong模型低17.1%。進出口道同步優(yōu)化方案較原方案，交叉口關鍵流量比、周期和車均延誤分別降低26.8%、40.7%和63.6%，延誤較Wong模型低47.4%。

2.3 敏感性分析

交叉口車道功能和相位方案主要受交叉口流量、出口道是否優(yōu)化因素影響。為分析方便，做如下假設：

（1）每個進口流量相同，分為1 200、1 500 和1 800 pcu·h-1三檔；

（2）每個進口，左轉比例α，直行比例為β，右轉比例為（1－α－β），α，β ∈[10%，80%]，α+β ≤1。

（3）右轉車按照跟隨各自進口的南北向或者東西向相位通行進行控制。

本文對上述流量和出口道是否優(yōu)化兩個影響因素進行正交實驗，共實驗6次，見表4。

2.3.1 出口不優(yōu)化

出口不優(yōu)化條件下。進口流量1 200 pcu·h-1的交叉口最小關鍵流量比之和的等高線如圖6 所示，最小關鍵流量比之和范圍為0.51～0.722，呈現(xiàn)明顯的兩個波峰。曲面圖如圖7所示，形狀類似于駝峰。

表4 優(yōu)化結果正交實驗表Tab.4 Optimization results of orthogonal experiments

隨著左轉和直行比例增加，流量比先降低再升高，隨后再降低后升高，呈現(xiàn)明顯的W形，β≤0.35，0.5≤α+β≤0.6的區(qū)域形成山嶺。

圖6 交叉口關鍵流量比等高線圖（實驗1）Fig.6 Contour map of critical flow at intersections(test 1)

圖7 交叉口關鍵流量比曲面圖（實驗1）Fig.7 Curved surface of critical flow at intersections（test 1）

對于進口流量為1 500 和1 800 pcu·h-1最小關鍵流量比之和的等高線圖與圖6～圖7 有類似的分布結果，只是其最小關鍵流量比相對較高，范圍分別為0.638～0.903和0.766～1.083。

2.3.2 出口優(yōu)化

出口優(yōu)化條件下，進口流量1 200 pcu·h-1的交叉口最小關鍵流量比之和的等高線如圖8 所示，最小關鍵流量比之和范圍為0.402～0.638，明顯優(yōu)于出口不優(yōu)化。曲面圖如圖9所示，呈現(xiàn)明顯的W形，在α=0.4，β=0.25和α=0.5，β=0.175附近形成兩個明顯的尖峰。

對于進口流量為1 500 和1 800 pcu·h-1最小關鍵流量比之和的等高線圖與圖8～圖9 有類似的分布特征，只是其最小關鍵流量比相對較大，范圍分別為0.503～0.797 和0.603～0.957，總體優(yōu)于出口道不優(yōu)化情況。

圖8 交叉口關鍵流量比等高線圖（實驗4）Fig.8 Contour map of critical flow at intersections（test 4）

圖9 交叉口關鍵流量比曲面圖（實驗4）Fig.9 Curved surface of critical flow at intersections（test 4）

3 結論

（1）論文考慮了交叉口車道功能和相位方案相互耦合的特征，建立了交叉口車道功能和相位方案組合優(yōu)化模型，模型目標函數(shù)采用交叉口關鍵流量比最小，考慮進出口道車道平衡、流量匹配、車道功能沖突、合用車道等飽和度等約束，可以同時優(yōu)化進口道和出口道，并給出了模型的算法流程。

（2）本文提出的模型變量較少，與目前交通設計方法銜接更好，更易理解，能夠得到全局最優(yōu)解，求解方法也相對簡單。經實例驗證和對比分析，交叉口車道功能優(yōu)化模型實用有效，能夠得出最優(yōu)的車道功能方案和相位方案，模型能夠有效降低交叉口關鍵流量比、周期和車均延誤，特別是出口道同步優(yōu)化的情況。模型能提高交叉口交通設計的效率和精度，為交叉口輔助設計軟件開發(fā)奠定理論基礎。

（3）交叉口車道功能和相位優(yōu)化主要受流量、出口道是否優(yōu)化因素影響，經正交實驗分析，隨著左轉和直行比例增加，流量比先降低再升高，隨后再降低后升高，呈現(xiàn)明顯的W 形，關鍵流量比之和分布差異較大，會出現(xiàn)多個峰值和谷值。出口道優(yōu)化結果總體優(yōu)于出口道不優(yōu)化情況。

（4）下階段還需將行人、非機動車通行因素納入模型一并考慮。