基于貝塞爾曲線的卵石骨料混凝土細(xì)觀模型

潘子超，李天華，阮 欣

（1. 同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院，上海200092；2. 新疆城建試驗(yàn)檢測(cè)有限公司，新疆烏魯木齊830000）

在細(xì)觀尺度上，混凝土是一種由水泥砂漿、骨料和界面層構(gòu)成的復(fù)合材料。其中，骨料包含碎石和卵石兩種類型。碎石骨料的特點(diǎn)是：多棱角、表面粗糙度大、與水泥砂漿之間的粘結(jié)力強(qiáng)。卵石骨料的特點(diǎn)是：形狀較為規(guī)則、表面圓滑、與水泥砂漿之間的粘結(jié)力弱。由于上述兩種骨料的特點(diǎn)，在配合比相同的條件下，碎石混凝土強(qiáng)度一般高于卵石骨料。然而，卵石混凝土也具有更好的流動(dòng)性和抗斷裂性能［1］等優(yōu)點(diǎn)，且卵石骨料不需要復(fù)雜的生產(chǎn)線。我國(guó)的卵石資源豐富，尤其在河道、山谷和戈壁等局部地區(qū)。因此，盡管在強(qiáng)度等方面不及碎石混凝土，卵石骨料仍具有一定的應(yīng)用價(jià)值。

為了考慮不同類型的骨料對(duì)混凝土強(qiáng)度、耐久等各種性能的影響，需要在細(xì)觀尺度上開(kāi)展相應(yīng)的研究。這些研究的前提是構(gòu)建混凝土的細(xì)觀模型。目前，針對(duì)碎石骨料混凝土細(xì)觀模型已有很多研究成果。其中，Wang等［2］在極坐標(biāo)系中建立了隨機(jī)多邊形骨料的生成算法及基于波前法的網(wǎng)格劃分方法。高政國(guó)和劉光廷［3］提出了基于生長(zhǎng)法的凸多邊形隨機(jī)骨料的生成算法，并給出了凸多邊形生成條件和方式。同樣基于生長(zhǎng)法，孫立國(guó)等［4］為解決大體積全級(jí)配或三級(jí)配混凝土細(xì)觀模型的構(gòu)建問(wèn)題，提出了一種新的高效骨料投放算法。Pan等［5］建立了基于切割法的凸多邊形隨機(jī)骨料模型。李建波等［6］突破了傳統(tǒng)凸形骨料的限制，建立了一種隨機(jī)凹凸型骨料模型，使細(xì)觀模型更接近于混凝土試件斷面的實(shí)際情況。為了增加骨料形狀的真實(shí)性，一些學(xué)者采用圖像處理的方式來(lái)獲取真實(shí)骨料的形狀。付兵等［7］采用圖像處理方法從真實(shí)混凝土試件的斷面中提取骨料形狀建立骨料庫(kù)，并從數(shù)據(jù)庫(kù)中隨機(jī)選出骨料建立細(xì)觀模型。Garboczi［8］將球面調(diào)和函數(shù)應(yīng)用于骨料形狀的模擬，通過(guò)對(duì)電子計(jì)算機(jī)斷層掃描（computed tomography，CT）圖像的矢量化建立骨料模型。這種方法具有很高的真實(shí)性，但效率很低。上述研究的一個(gè)共性是采用隨機(jī)多邊形或多面體模擬骨料形狀。這些方法不適用于卵石骨料?？紤]到卵石具有圓滑表面的特性，文獻(xiàn)中多采用圓形、橢圓形來(lái)模擬其形狀［9-10］，但這種假定過(guò)于簡(jiǎn)單。

因此，本文首先建立一種基于貝塞爾曲線的卵石骨料混凝土細(xì)觀模型，引入骨料長(zhǎng)寬比和半徑變異度兩個(gè)參數(shù)控制卵石骨料的形狀。其次，通過(guò)圖像處理方法對(duì)1 000多個(gè)真實(shí)卵石骨料的分析提取骨料長(zhǎng)寬比和半徑變異度的隨機(jī)分布特性。在此基礎(chǔ)上，針對(duì)物質(zhì)傳輸問(wèn)題，選擇迂曲度表征骨料對(duì)物質(zhì)傳輸速率的影響，建立基于Floyd-Warshall動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法的迂曲度計(jì)算過(guò)程。最后，通過(guò)參數(shù)分析，研究卵石和碎石骨料混凝土細(xì)觀模型在迂曲度上的不同。

1 卵石骨料模型

卵石骨料由于沒(méi)有明顯的棱角，可通過(guò)對(duì)多邊形頂點(diǎn)進(jìn)行光滑處理來(lái)獲得骨料的形狀。這個(gè)步驟模擬了碎石在自然環(huán)境中不斷磨蝕而形成卵石的過(guò)程。借助于貝塞爾曲線，可將這種磨蝕過(guò)程量化，從而得到不同光滑程度的帶有一定曲率的多邊形（以下簡(jiǎn)稱曲率多邊形）。

1.1 初始多邊形

根據(jù)骨料的級(jí)配在極坐標(biāo)中生成一個(gè)初始多邊形。為此，首先隨機(jī)確定多邊形的頂點(diǎn)數(shù)N0。N0的取值范圍為Nmin～Nmax。其中，Nmin和Nmax為人為設(shè)定的最小和最大多邊形頂點(diǎn)數(shù)。其次，將整個(gè)坐標(biāo)系沿著角度方向劃分為N0個(gè)相同的區(qū)域，在每一個(gè)區(qū)域，隨機(jī)生成多邊形頂點(diǎn)的極坐標(biāo)Pi(αi，ri)。其中，αi和ri分別為多邊形第i個(gè)頂點(diǎn)（i=1，2，…，N0）在極坐標(biāo)系統(tǒng)中的極角和極徑。αi和ri的取值范圍分別為2π(i-1)/N0～2πi/N0和r0(1-β)～r0(1+β)。其中，r0為與多邊形等面積的基準(zhǔn)圓的半徑，β反映了在極坐標(biāo)下初始多邊形各頂點(diǎn)半徑的變異性程度（以下簡(jiǎn)稱半徑變異度）。圖1給出了一個(gè)具有4個(gè)頂點(diǎn)（P1～P4）的初始多邊形的生成實(shí)例。

圖1 初始多邊形的生成過(guò)程Fig.1 Generation procedure of initial polygon

研究表明，骨料的長(zhǎng)寬比對(duì)混凝土傳質(zhì)過(guò)程有一定的影響［9-10］。因此，當(dāng)?shù)玫匠跏级噙呅魏?，需要?duì)其進(jìn)行拉伸，從而得到滿足給定長(zhǎng)寬比的多邊形。為此，首先定義任意多邊形的長(zhǎng)寬比。對(duì)于圖2 所示的多邊形，選擇任意一條邊，確定多邊形的外接矩形，其長(zhǎng)度和寬度分別為li和hi（li＞hi）。例如，圖2中的多邊形的邊P4P5對(duì)應(yīng)的外接矩形的長(zhǎng)度和寬度分別為l45和h45。則多邊形的長(zhǎng)寬比為

圖2 多邊形外接矩陣示意圖Fig.2 Schematic diagram of polygonal circumscribed matrix

1.2 貝塞爾曲線

貝塞爾曲線（Bézier curve）是一種應(yīng)用于二維圖形應(yīng)用程序的數(shù)學(xué)曲線，在矢量圖形軟件中可以精確地控制所繪曲線的形狀。貝塞爾曲線的最大特點(diǎn)是，通過(guò)調(diào)整若干控制點(diǎn)的位置來(lái)確定曲線的弧度，從而將繪制曲線的問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)楦淖兛刂泣c(diǎn)的坐標(biāo)，而后者在計(jì)算機(jī)中非常容易實(shí)現(xiàn)，且具有很高的精度。

貝塞爾曲線的復(fù)雜程度和靈活性隨著控制點(diǎn)的個(gè)數(shù)增加而增加。一般使用較多的是具有3個(gè)和4個(gè)控制點(diǎn)的貝塞爾曲線，分別被稱為二次和三次貝塞爾曲線。本文采用的是前者。

采用貝塞爾曲線建立卵石骨料模型的流程如下。得到如圖1 所示的初始多邊形后，針對(duì)多邊形的每一個(gè)頂點(diǎn)，選擇如圖3所示的三個(gè)控制點(diǎn)P1、Q1和Q2。其中，P1為多邊形的頂點(diǎn)，Q1和Q2分別位于P1所在的兩個(gè)鄰邊上，δ 為一個(gè)在0～1.0 范圍內(nèi)的參數(shù)。同時(shí)，定義P1Q1的距離為

式中：γ為一個(gè)取值范圍為0～1.0的參數(shù)。

圖3 采用貝塞爾曲線對(duì)多邊形頂點(diǎn)進(jìn)行光滑處理Fig.3 Smoothing polygon vertex by Bézier curve

根據(jù)選擇的三個(gè)控制點(diǎn)，貝塞爾曲線由圖3 中B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡生成：

式中：P1、Q1和Q2分別為P1、Q1和Q2的坐標(biāo)向量；δ為一個(gè)在0～1.0 范圍內(nèi)的參數(shù)；B(δ)為B 對(duì)應(yīng)于δ的坐標(biāo)向量。

當(dāng)貝塞爾曲線生成后，根據(jù)多邊形的凹凸情況，對(duì)初始多邊形的形狀進(jìn)行調(diào)整。對(duì)于凸出的頂點(diǎn)，將位于貝塞爾曲線以外的部分從初始多邊形中去除；對(duì)于凹入的頂點(diǎn)，增加貝塞爾曲線與初始多邊形頂點(diǎn)圍成的區(qū)域，分別如圖3中P1點(diǎn)和P3點(diǎn)所示。

經(jīng)貝塞爾曲線處理后的曲率多邊形的光滑程度由式（2）中的參數(shù)γ控制。如圖4所示，γ越大，光滑程度越高。但當(dāng)γ＞1.0 時(shí)，相鄰的貝塞爾曲線相交，這是不允許的。因此，γ 的變化范圍為0～1.0。γ=0 相當(dāng)于初始多邊形沒(méi)有經(jīng)過(guò)光滑處理。由于卵石骨料沒(méi)有明顯的棱邊和棱角，因此通常情況下，可取γ=1。

1.3 侵入判定

圖4 參數(shù)γ的取值對(duì)骨料形狀光滑程度的影響Fig.4 Influence of parameter γ on smooth degree of aggregate shape

建立卵石骨料模型后，為了生成最終的混凝土細(xì)觀模型，需要將卵石骨料逐個(gè)放入到水泥砂漿中。作為固體顆粒，骨料之間不能重合，因此在將骨料放入到水泥砂漿中，需要對(duì)每個(gè)骨料進(jìn)行侵入判定。為此，首先將曲率多邊形的貝塞爾曲線部分離散為由一系列密集點(diǎn)組成的線段。其次，針對(duì)每一個(gè)點(diǎn)，判斷其是否在另一個(gè)曲率多邊形內(nèi)。這里采用了如下方法：①?gòu)囊粋€(gè)點(diǎn)生成任意一條射線；②對(duì)曲率多邊形的每一條邊進(jìn)行遍歷；③對(duì)每一條邊，判斷其與射線是否存在交點(diǎn)，注意到此時(shí)的邊是線段，而不是直線；④如果多邊形與射線的交點(diǎn)總數(shù)為奇數(shù)，則該點(diǎn)在多邊形內(nèi)部。

1.2 節(jié)提出的方法同時(shí)適用于凹形和凸形多邊形。如果有任意一個(gè)點(diǎn)位于另一個(gè)曲率多邊形內(nèi)，則存在侵入現(xiàn)象，需要重新生成曲率多邊形的位置。按照上述骨料投放算法，圖5a給出了一個(gè)采用貝塞爾曲線模擬得到的卵石骨料混凝土細(xì)觀模型的示例。作為對(duì)比，圖5b給出了一個(gè)具有相同面積分?jǐn)?shù)和長(zhǎng)寬比的碎石骨料混凝土細(xì)觀模型。可以看出，本文提出的采用貝塞爾曲線的方法可以較為真實(shí)地模擬出具有光滑邊緣的卵石骨料。

圖5 卵石和碎石骨料混凝土細(xì)觀模型示例Fig.5 Examples of concrete mesoscopic model by pebble and crushed-stone aggregates

2 骨料參數(shù)

2.1 參數(shù)獲取方法

在1.2 和1.3 節(jié)提出的采用貝塞爾曲線生成卵石骨料的方法中，骨料的長(zhǎng)寬比（ζ）和半徑變異度（β）是影響骨料形狀的兩個(gè)最重要的參數(shù)。為了保證所生成的骨料形狀與實(shí)際情況相符，根據(jù)真實(shí)骨料的形狀，采用圖像分析方法獲得這兩個(gè)參數(shù)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。為此，收集了新疆烏魯木齊市常見(jiàn)的卵石骨料1 000余個(gè)。骨料的級(jí)配曲線如圖6所示。

圖6 卵石骨料級(jí)配曲線Fig.6 Gradation curve of pebble aggregate

首先，采用二值化、連通區(qū)域標(biāo)記［11］、Canny 邊緣檢測(cè)［12］和凸包等算法獲取每個(gè)骨料的邊緣，如圖7所示，并找到所有可能的骨料外接多邊形?；谶@些外接多邊形和式（1）的定義，可以得到骨料的長(zhǎng)寬比（ζ）。其次，根據(jù)邊緣像素點(diǎn)的位置，求出骨料的中心點(diǎn)坐標(biāo)和各像素點(diǎn)到中心點(diǎn)的距離，得到最大值rm和最小值ri，并計(jì)算出與骨料面積相等的基準(zhǔn)圓的半徑r0。在此基礎(chǔ)上，可得到半徑變異度：

圖7 真實(shí)骨料二維投影圖像的二值化和分離Fig.7 Binarization and segmentation of two-dimensional projection image of real aggregates

2.2 隨機(jī)概率分布

根據(jù)1.1 和2.1 小節(jié)的方法得到每個(gè)卵石骨料的長(zhǎng)寬比（ζ）和半徑變異度（β），并將這些結(jié)果以直方圖的形式給出，分別如圖8 和圖9 所示。可以看出，ζ和β的取值分別集中在1.0～2.0和0.2～0.5之間。為了便于在生成混凝土細(xì)觀模型過(guò)程中確定每個(gè)骨料的ζ 和β，將這兩個(gè)參數(shù)視為隨機(jī)變量，分別選擇正態(tài)分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布和一般極值分布（GEV）對(duì)其進(jìn)行擬合。根據(jù)擬合結(jié)果計(jì)算如下均方根誤差（root mean square error，RMSE）：

式中：yi，0和yi分別為原值和擬合值；N 為數(shù)據(jù)點(diǎn)個(gè)數(shù)。計(jì)算結(jié)果如表1所示?？梢?jiàn)，ζ和β的分布類型均最接近一般極值分布。

圖8 骨料長(zhǎng)寬比（ζ）的直方圖Fig.8 Histogram of aspect ratio of aggregate (ζ)

圖9 骨料半徑變異度（β）的直方圖Fig.9 Histogram of radius variability of aggregate(β)

表1 根據(jù)均方根誤差得到的隨機(jī)分布類型識(shí)別結(jié)果Tab.1 Identification results of random distribution type based on RMSE

得到ζ和β的隨機(jī)分布類型及參數(shù)后，在生成混凝土細(xì)觀模型時(shí)，將根據(jù)對(duì)應(yīng)的隨機(jī)分布進(jìn)行抽樣，得到每一個(gè)骨料的ζ和β的取值。

3 細(xì)觀模型的迂曲度

3.1 迂曲度的定義和計(jì)算方法

水泥的水化過(guò)程在生成水化產(chǎn)物的同時(shí)，也在水泥漿中形成了復(fù)雜的孔隙結(jié)構(gòu)。各類物質(zhì)在孔隙中的傳輸路徑受到孔徑大小、走向和連通性等因素的限制而出現(xiàn)扭曲，如圖10所示。

圖10 微觀尺度上混凝土孔隙結(jié)構(gòu)的迂曲度［13］Fig.10 Tortuosity of pore structure of concrete at micro-scale[13]

因此，物質(zhì)的傳輸速率與孔隙結(jié)構(gòu)的迂曲程度密切相關(guān)，但目前尚沒(méi)有針對(duì)兩者定量關(guān)系的模型。Ishida等［13］在研究氯離子擴(kuò)散的問(wèn)題中，認(rèn)為氯離子的擴(kuò)散通量與迂曲度成反比。而Al-Raoush 等人［14］認(rèn)為物質(zhì)擴(kuò)散系數(shù)與迂曲度的平方成反比。然而，不論是哪一種模型，可以肯定的是，物質(zhì)的傳輸速率隨著迂曲度的增加而降低。因此，迂曲度在一定程度上可以定性地反映物質(zhì)在混凝土中傳輸?shù)碾y易程度。

盡管迂曲度最初是在微觀尺度上定義的，但根據(jù)其基本思想，通過(guò)將微觀尺度上的水泥水化產(chǎn)物和孔隙結(jié)構(gòu)均質(zhì)化為水泥漿，可以定義細(xì)觀尺度上的迂曲度［15］：

式中：lme和lma分別為細(xì)觀和宏觀尺度上的最短物質(zhì)傳輸路徑。

根據(jù)迂曲度的定義，可采用Floyd-Warshall動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法計(jì)算不同侵蝕深度處的迂曲度［16］。為了使用Floyd-Warshall算法，需要將細(xì)觀模型離散成像素密度為n2的圖形。因此，像素密度的選擇對(duì)迂曲度的計(jì)算結(jié)果存在影響。針對(duì)這一問(wèn)題，進(jìn)行了一個(gè)典型算例的分析。模型的大小為0.1×0.1m2，骨料面積分?jǐn)?shù)為0.4，級(jí)配曲線如圖11所示，骨料光滑度為0.5，骨料長(zhǎng)寬比和半徑變異度分別根據(jù)圖8 和圖9 進(jìn)行抽樣。根據(jù)這些參數(shù)，首先生成混凝土細(xì)觀模型。然后，選擇像素密度n=10～80，計(jì)算出各像素密度條件下細(xì)觀模型的迂曲度，如圖11 所示。從圖中可以看出，隨著像素密度的增加，迂曲度逐漸降低，當(dāng)像素密度達(dá)到n=50時(shí)，迂曲度隨像素密度的變化已經(jīng)很小了。由于Floyd-Warshall 算法的時(shí)間復(fù)雜度為O(n3)，計(jì)算時(shí)長(zhǎng)將隨著n 顯著增加，因此在后續(xù)分析中將選擇n=50，不再采用更高的像素密度，以提高計(jì)算效率。

圖11 迂曲度與像素密度的關(guān)系Fig.11 Relationship between tortuosity and pixel density

3.2 分析結(jié)果

3.2.1 計(jì)算參數(shù)

根據(jù)3.1小節(jié)中迂曲度的定義和計(jì)算方法，對(duì)比了卵石和碎石骨料混凝土細(xì)觀模型的迂曲度之間的差異。分析工況中的參數(shù)取值如表2所示。其中，根據(jù)《建設(shè)用卵石、碎石》（GB/T 14685—2011）［17］中的規(guī)定，選擇了三種具有不同最大骨料粒徑的級(jí)配，如圖12所示。為了降低細(xì)觀模型的隨機(jī)性對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響，每個(gè)工況包含了100次模擬，并計(jì)算出迂曲度的平均值。其中，碎石骨料的模擬方法可參考文獻(xiàn)［5］。

3.2.2 骨料含量

骨料含量對(duì)混凝土細(xì)觀模型迂曲度的影響如圖13所示?？梢钥闯?，隨著骨料含量的增加，卵石和碎石骨料細(xì)觀模型的迂曲度均隨之增大，當(dāng)骨料面積分?jǐn)?shù)從0.3增加至0.5時(shí)，兩種骨料細(xì)觀模型的迂曲度分別從1.119和1.121增大至1.174和1.200，增大幅度分別為4.92%和7.05%。這個(gè)結(jié)果可以通過(guò)隨機(jī)行走的理論來(lái)解釋。隨著骨料含量的增加，細(xì)觀模型中的骨料數(shù)目增加，骨料之間的平均距離減小。從暴露面侵入的物質(zhì)粒子在向模型內(nèi)部運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中有更高的概率碰到骨料，從而改變其運(yùn)動(dòng)方向。因此，在統(tǒng)計(jì)意義上，當(dāng)這些物質(zhì)的粒子運(yùn)動(dòng)至特定的深度時(shí)，實(shí)際路徑的長(zhǎng)度要大于骨料含量較小的情況。

表2 細(xì)觀模型迂曲度參數(shù)分析工況Tab.2 Parametric analysis conditions of mesoscopic model tortuosity model tortuosity

圖12 混凝土粗骨料級(jí)配曲線Fig.12 Gradation curveof coarse aggregate of concrete

圖13 不同骨料含量下卵石和碎石骨料混凝土細(xì)觀模型的迂曲度比較Fig.13 Comparison of mesoscopic model tortuosity between concrete made by pebble and crushed-stone aggregates with different aggregate contents

此外，當(dāng)骨料含量一定時(shí)，卵石骨料細(xì)觀模型的迂曲度小于碎石骨料，并且兩者的差別隨著骨料含量的增加而增大，當(dāng)骨料面積分?jǐn)?shù)從0.3增加至0.5時(shí)，兩種骨料細(xì)觀模型迂曲度的差別分別從0.055增大至0.079，變化幅度為43.64%。這一結(jié)果表明，卵石骨料阻礙物質(zhì)傳輸?shù)哪芰π∮谒槭橇?。其主要原因是碎石骨料具有明顯的棱邊。當(dāng)粒子（水分子及各類離子等）運(yùn)動(dòng)到骨料表面時(shí)，由于骨料的不可滲透性，粒子被迫沿著骨料表面繞流，傳輸路徑出現(xiàn)較大程度的扭曲。而卵石骨料表面光滑，會(huì)在細(xì)觀模型內(nèi)部形成流線型的傳輸路徑，對(duì)粒子運(yùn)動(dòng)方向的改變程度顯著低于碎石骨料。因此，卵石骨料細(xì)觀模型的迂曲度小于碎石骨料。

3.2.3 骨料級(jí)配

骨料級(jí)配對(duì)混凝土細(xì)觀模型迂曲度的影響如圖14所示?？梢钥闯觯橇霞?jí)配對(duì)迂曲度沒(méi)有明顯的影響。隨著級(jí)配中最大骨料粒徑的增大，卵石和碎石骨料細(xì)觀模型的迂曲度均隨之減小，但幅度很小。例如，當(dāng)骨料面積分?jǐn)?shù)為0.4時(shí)，對(duì)于級(jí)配1和3，卵石和碎石骨料細(xì)觀模型的迂曲度從1.143和1.150減小至1.136和1.141，減小幅度僅為0.61%和0.78%。而當(dāng)骨料面積分?jǐn)?shù)為0.5時(shí)，這一幅度為1.10%和1.08%。此外，根據(jù)圖14中的結(jié)果還可以發(fā)現(xiàn)，兩種骨料細(xì)觀模型迂曲度的差別并不隨級(jí)配的改變而出現(xiàn)明顯的變化，但會(huì)隨著骨料面積分?jǐn)?shù)的增加而增大。例如，當(dāng)骨料面積分?jǐn)?shù)為0.4增大至0.5時(shí)，對(duì)應(yīng)于級(jí)配1和3的兩種骨料細(xì)觀模型迂曲度的差別分別從0.007和0.005增大至0.022和0.022。但總體上看，骨料級(jí)配對(duì)細(xì)觀模型迂曲度的影響不及骨料面積分?jǐn)?shù)明顯。

圖14 不同級(jí)配下卵石和碎石骨料混凝土細(xì)觀模型的迂曲度比較Fig.14 Comparison of mesoscopic model tortuosity between concrete made by pebble and crushed-stone aggregates with different gradations

4 結(jié)論

本文建立了一種基于貝塞爾曲線的卵石骨料模型，并通過(guò)圖像處理方法獲取了真實(shí)卵石骨料的長(zhǎng)寬比和半徑變異度兩個(gè)重要參數(shù)的取值。在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步開(kāi)展了細(xì)觀模型迂曲度的研究，建立了基于Floyd-Warshall動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法的迂曲度計(jì)算過(guò)程。最后，分析了不同骨料含量和級(jí)配條件下，卵石和碎石骨料混凝土細(xì)觀模型迂曲度之間的差別。根據(jù)分析結(jié)果，可得如下結(jié)論：

（1）貝塞爾曲線可以有效地模擬具有光滑邊緣的卵石骨料，進(jìn)而建立基于卵石骨料的混凝土細(xì)觀模型；

（2）對(duì)真實(shí)卵石骨料形狀的圖像處理結(jié)果表明，骨料長(zhǎng)寬比和半徑變異度均服從一般極值分布，前者取值大多在1.0～2.0 之間，后者取值大多在0.2～0.5之間；

（3）當(dāng)骨料含量和級(jí)配一定時(shí)，卵石骨料細(xì)觀模型的迂曲度小于碎石骨料；卵石和碎石骨料細(xì)觀模型的迂曲度均隨著骨料含量的增加而增大，且兩者的差別隨著骨料含量的增加而增大；

（4）隨著骨料級(jí)配中最大骨料粒徑的增大，卵石和碎石骨料細(xì)觀模型的迂曲度均隨之減小，但幅度很小，且卵石和碎石骨料細(xì)觀模型迂曲度的差別不隨骨料級(jí)配的改變而出現(xiàn)明顯的變化。