警覺(jué)與疾病的傳播次序性對(duì)動(dòng)力學(xué)的影響

闞佳倩，馬 闖，張海峰

(1. 安徽科技學(xué)院信息與網(wǎng)絡(luò)工程學(xué)院 安徽 蚌埠 233030；2. 安徽大學(xué)互聯(lián)網(wǎng)學(xué)院 合肥 230601；3. 安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 合肥 230601)

近年來(lái)，隨著對(duì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)科學(xué)認(rèn)識(shí)的深入，科學(xué)家們發(fā)現(xiàn)很多的真實(shí)系統(tǒng)都可以用多層網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)進(jìn)行更精確的描述。例如，人際關(guān)系網(wǎng)中的線下朋友關(guān)系以及線上朋友關(guān)系等；不同運(yùn)輸工具(航空網(wǎng)、鐵路網(wǎng)和公路網(wǎng))構(gòu)成的交通網(wǎng)絡(luò)等。因此關(guān)于多層網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)及動(dòng)力學(xué)的研究已經(jīng)成為網(wǎng)絡(luò)科學(xué)領(lǐng)域的一個(gè)研究熱點(diǎn)和重點(diǎn)[1-11]。

傳染性疾病的爆發(fā)會(huì)引發(fā)相關(guān)的信息通過(guò)人群內(nèi)部、新聞媒介以及在線社交網(wǎng)絡(luò)等多種渠道傳播，而人們獲得該信息后會(huì)警覺(jué)且采取一定的預(yù)防措施自我保護(hù)，從而對(duì)疾病傳播產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響。已有學(xué)者在研究傳染病動(dòng)力學(xué)的時(shí)候開(kāi)始從不同角度考慮信息因素的影響，如：個(gè)體根據(jù)對(duì)疾病信息的了解程度來(lái)調(diào)整與外界的接觸情況[12]，個(gè)體行為方式的改變[13]，人群內(nèi)部、新聞媒介以及在線社交網(wǎng)絡(luò)傳播信息對(duì)疾病傳播的影響[14]；文獻(xiàn)[15]基于傳 統(tǒng) 的“ S(susceptible)-I(infected)-S(susceptible)”疾病傳播模型，考慮了節(jié)點(diǎn)會(huì)通過(guò)鄰居的感染狀況而出現(xiàn)警惕狀態(tài)，而警覺(jué)態(tài)易感者被感染的概率顯然和易感態(tài)不同，提出了S(susceptible)-A(aware)-I(infected)-S(susceptible)”模型，但其模型的研究局限于單個(gè)網(wǎng)絡(luò)，沒(méi)有考慮警惕信息的傳播問(wèn)題；文獻(xiàn)[16]又研究了信息傳播對(duì)疾病傳播的影響，并找出在不同網(wǎng)絡(luò)拓?fù)湎伦罾硐氲男畔鞑C(jī)制；文獻(xiàn)[17]在雙層網(wǎng)絡(luò)中研究疾病和信息兩類傳播動(dòng)力學(xué)的相互作用，揭示信息傳播對(duì)疾病傳播及傳播閾值的影響；文獻(xiàn)[18]進(jìn)一步研究了一種局部警覺(jué)控制傳染模型(LACS)，其中當(dāng)節(jié)點(diǎn)的警惕鄰居數(shù)目與信息層節(jié)點(diǎn)度的比值達(dá)到局部警惕率或已被疾病感染，才能變成警惕態(tài)傳播警惕信息；文獻(xiàn)[19]研究了雙層網(wǎng)絡(luò)上具有自激發(fā)和擴(kuò)散機(jī)制的警覺(jué)行為對(duì)傳播動(dòng)力學(xué)的影響；文獻(xiàn)[20]考慮了雙層網(wǎng)絡(luò)上個(gè)體的異質(zhì)性對(duì)警惕信息傳播動(dòng)力學(xué)的影響等。

之前基于雙層網(wǎng)絡(luò)對(duì)疾病傳播與警覺(jué)意識(shí)擴(kuò)散的研究多存在一個(gè)普遍性假設(shè)：在同一時(shí)刻警覺(jué)意識(shí)先傳播，疾病后傳播。雖然信息傳播途徑廣一些，傳播也更加便利一些，但是并非所有情況都如此。比如有些疾病雖然已經(jīng)在人群中傳播，但由于疾病的外部表現(xiàn)不容易被發(fā)現(xiàn)或者危險(xiǎn)性沒(méi)有引起充分注意，可能導(dǎo)致警覺(jué)不能快速傳播。再比如，對(duì)于有些疾病而言，感染疾病的人不太愿意告訴他人自己的得病情況(比如性病等)，因此警覺(jué)也不能快速傳播。故與之前的研究都不同，本文摒棄之前的假設(shè)，而是認(rèn)為警覺(jué)意識(shí)與疾病的傳播是不分先后次序的，進(jìn)而比較兩種機(jī)制對(duì)傳播閾值和傳播范圍的影響。

1 UAU-SIS 模型

文獻(xiàn)[17]考慮到疾病的爆發(fā)會(huì)引發(fā)警覺(jué)意識(shí)的傳播，而且兩種傳播動(dòng)力學(xué)的傳播載體往往不同，因此基于雙層網(wǎng)絡(luò)提出經(jīng)典的UAU-SIS 模型。

雙層網(wǎng)絡(luò)是指警覺(jué)意識(shí)傳播的虛擬層和疾病傳播的接觸層，它們的鄰接矩陣分別為 (aij)N×N和(bij)N×N，其中 N表示網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)數(shù)。類似于傳統(tǒng)的SIS 疾病傳播過(guò)程，虛擬層進(jìn)行警覺(jué)意識(shí)傳播U(unaware)-A(aware)-U(unawre)。按照對(duì)現(xiàn)存疾病風(fēng)險(xiǎn)是否有警覺(jué)意識(shí)，節(jié)點(diǎn)分為無(wú)警覺(jué)態(tài)(U)和警覺(jué)態(tài)(A)。虛擬層中處于警覺(jué)態(tài)的節(jié)點(diǎn)以概率 λ擴(kuò)散警覺(jué)行為，而且無(wú)警覺(jué)的節(jié)點(diǎn)一旦感染自動(dòng)變?yōu)榫X(jué)態(tài)。處于警覺(jué)態(tài)的節(jié)點(diǎn)又會(huì)以概率 δ忘記此信息，再次成為無(wú)警覺(jué)態(tài)。

接觸層是疾病傳播過(guò)程(SIS)，節(jié)點(diǎn)分為易感態(tài)(S)和感染態(tài)(I)。記無(wú)警覺(jué)態(tài)被感染率為 βU，警覺(jué)態(tài)感染率為 βA，感染恢復(fù)率為μ。因?yàn)闊o(wú)警覺(jué)態(tài)節(jié)點(diǎn)不知道疾病的信息，因而沒(méi)有采取相應(yīng)的保護(hù)措施，而警覺(jué)態(tài)節(jié)點(diǎn)了解到疾病的風(fēng)險(xiǎn)，通過(guò)一些自我保護(hù)措施(如減少外出、加強(qiáng)衛(wèi)生等)，所以減少了被感染的幾率。假設(shè)警覺(jué)態(tài)通過(guò)一個(gè)因子 γ來(lái)降低感染，記 βA=γ βU，其中0 ?γ ?1。這種雙層網(wǎng)絡(luò)上兩種動(dòng)力學(xué)相互作用的示意圖如圖1 所示，上層是警覺(jué)意識(shí)傳播的虛擬層，節(jié)點(diǎn)分為無(wú)警覺(jué)態(tài)(U)和警覺(jué)態(tài)(A)；下層是疾病傳播的接觸層，節(jié)點(diǎn)分為易感態(tài)(S)和感染態(tài)(I)。

圖1 雙層網(wǎng)絡(luò)上兩種動(dòng)力學(xué)相互作用的示意圖

2 理論分析

下面將分析雙層網(wǎng)絡(luò)中信息與疾病的傳播次序性對(duì)傳播動(dòng)力學(xué)的影響。

2.1 ordered model 理論分析

圖2 ordered model 中每個(gè)時(shí)步節(jié)點(diǎn)各狀態(tài)的概率轉(zhuǎn)變樹(shù)圖

2.2 concurrent model 理論分析

文獻(xiàn)[17]的研究以及基于此工作的推廣都存在一個(gè)假設(shè)：在同一時(shí)刻警覺(jué)意識(shí)先傳播，疾病后傳播。雖然信息傳播途徑更便利一些，但在有些情況下，這種人為規(guī)定警覺(jué)傳播的優(yōu)先性是欠妥的，因?yàn)橹挥屑膊“l(fā)生了，警覺(jué)意識(shí)才會(huì)傳播，另外，當(dāng)人們沒(méi)有充分意識(shí)到疾病的風(fēng)險(xiǎn)時(shí)，警覺(jué)意識(shí)的傳播也未必快于疾病傳播。故與之前的研究都不同，本文摒棄之前的假設(shè)，而是認(rèn)為警覺(jué)意識(shí)與疾病的傳播是不分先后次序的，提出一種不考慮傳播次序的模型(簡(jiǎn)稱為concurrent model)。

圖3 concurrent model 中每個(gè)時(shí)步節(jié)點(diǎn)各狀態(tài)的概率轉(zhuǎn)變樹(shù)圖

根據(jù)圖3 的概率轉(zhuǎn)移圖并結(jié)合馬爾可夫鏈方法[17-19]，可以列出如下馬爾可夫方程：

從式(10)～式(12)可以得出，傳播閾值依賴于實(shí)際接觸層的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) (bij)N×N、參數(shù) γ以及警覺(jué)密度 ρA。其中 ρA是由信息層網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)、傳播率 λ以及恢復(fù)率 δ等進(jìn)一步確定的。故傳播閾值受到雙層網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)、警覺(jué)意識(shí)的傳播率等因素的影響。同時(shí)研究結(jié)果表明，兩種模型得到的傳播閾值是相同的。

3 數(shù)值模擬與分析

為驗(yàn)證本文的理論結(jié)果，建立一個(gè)節(jié)點(diǎn)數(shù)為2 000、度分布為p(k)～k?2.5的配置網(wǎng)絡(luò)為接觸層(bij)N×N，在接觸層上增加800 條隨機(jī)邊(無(wú)重邊)得到虛擬接觸層 (aij)N×N。首先，將無(wú)序的馬爾可夫鏈方法(MMCA)和數(shù)值模擬(MC)的結(jié)果進(jìn)行比較，如圖4 所示，其中初始感染種子為0.2，λ=0.15， δ =0.6 ， μ=0.4。從圖4 可以發(fā)現(xiàn)兩者擬合很好，進(jìn)而驗(yàn)證了本文基于MMCA 的理論分析的有效性。

圖4 馬爾可夫鏈方法(MMCA)和數(shù)值模擬(MC)方法的對(duì)比

圖5 在不同的警惕恢復(fù)率δ 和疾病恢復(fù)率μ 下，βc隨 λ 的變化圖

進(jìn)一步給出在不同的警覺(jué)意識(shí)傳播率 λ下，感染范圍 ρI隨著感染傳播率 β的變化圖，并在每個(gè)子圖中插入對(duì)應(yīng)的警覺(jué)意識(shí)傳播范圍 ρA隨感染傳播率 β的變化，如圖6 所示，其中初始感染種子為0.2， δ=0.6 ， μ=0.4?？梢园l(fā)現(xiàn)：1) 當(dāng)警覺(jué)意識(shí)傳播率λ 固定時(shí)，隨著感染率 β增大，感染范圍 ρI顯然會(huì)增大，而感染者會(huì)自動(dòng)成為警惕態(tài)促進(jìn)警覺(jué)信息傳播，從而警覺(jué)范圍 ρA增大；2) 當(dāng)警覺(jué)意識(shí)傳播率 λ較小的時(shí)候，從圖6a、6b 和6c 中可以觀察到，無(wú)序模型(con)對(duì)應(yīng)的感染范圍小于有序模型(ordered)對(duì)應(yīng)的感染范圍，但是隨著警覺(jué)意識(shí)傳播率的增加，從圖6d、6e 和6f 中可以觀察到，結(jié)果會(huì)發(fā)生反轉(zhuǎn)，即無(wú)序性模型對(duì)應(yīng)的疾病感染傳范圍會(huì)逐漸大于有序性模型；3) 有序模型(ordered)對(duì)應(yīng)的警覺(jué)傳播范圍 ρA總是大于無(wú)序模型(con)對(duì)應(yīng)的警覺(jué)傳播范圍，對(duì)于這種現(xiàn)象需要分為兩種情況加以解釋：當(dāng) λ較小的時(shí)候，節(jié)點(diǎn)的警覺(jué)態(tài)主要是因?yàn)楸桓腥咀詣?dòng)變?yōu)榫X(jué)態(tài)，而有序模型(con)感染范圍較大一些，所以其警覺(jué)范圍也更大一些；當(dāng)λ較大的時(shí)候，節(jié)點(diǎn)大部分處于警覺(jué)狀態(tài)，因?yàn)橛行蚰Ｐ拖仍谔摂M層進(jìn)行警覺(jué)意識(shí)傳播，故會(huì)有一部分節(jié)點(diǎn)先恢復(fù)成未警覺(jué)狀態(tài)，增加了這部分節(jié)點(diǎn)的感染率，節(jié)點(diǎn)感染會(huì)立馬警覺(jué)，從而導(dǎo)致恢復(fù)成未警覺(jué)狀態(tài)節(jié)點(diǎn)在同一個(gè)時(shí)刻更容易變?yōu)榫X(jué)態(tài)，所以有序模型的警覺(jué)范圍依然大于無(wú)序的。

圖6 在不同的警覺(jué)意識(shí)傳播率λ 下，con 與ordered 中感染范圍 ρI 隨 β的變化圖

圖6 的結(jié)論3)表明：無(wú)論λ 取何值，有序模型對(duì)應(yīng)的警覺(jué)傳播范圍 ρA總是大于無(wú)序模型對(duì)應(yīng)的警覺(jué)傳播范圍。但是結(jié)論2)卻表明： λ較小的時(shí)候有序模型的感染范圍 ρI會(huì)較大一些；相反的，當(dāng)λ 較大的時(shí)候有序模型的感染范圍 ρI會(huì)較小一些。即，不能簡(jiǎn)單地認(rèn)為警覺(jué)傳播范圍大的模型對(duì)應(yīng)的疾病傳播范圍一定更小。這是因?yàn)椋寒?dāng)λ 較小時(shí)，雖然有序模型對(duì)應(yīng)的警覺(jué)傳播范圍大于無(wú)序模型對(duì)應(yīng)的警覺(jué)傳播范圍，但是此時(shí)兩者的警覺(jué)范圍都比較小。對(duì)于有序模型而言，當(dāng)進(jìn)行疾病傳播的時(shí)候，上一步的警覺(jué)者還沒(méi)有通過(guò)虛擬層大范圍擴(kuò)散就又變回為未警覺(jué)態(tài)，從而導(dǎo)致有序模型對(duì)應(yīng)的感染范圍更廣；當(dāng)λ 較大時(shí)，兩個(gè)模型對(duì)應(yīng)的警覺(jué)范圍都很大，而有序模型先通過(guò)虛擬層進(jìn)行警覺(jué)意識(shí)傳播，故會(huì)進(jìn)一步增大警覺(jué)傳播范圍，而警覺(jué)態(tài)節(jié)點(diǎn)會(huì)降低自身的感染率，從而有序模型對(duì)應(yīng)的感染范圍就會(huì)較小一些。

為了進(jìn)一步驗(yàn)證上述結(jié)論是否具有一般性，本文用ER 隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)生成雙層網(wǎng)絡(luò)模型[21]，首先生成一個(gè)節(jié)點(diǎn)數(shù)為2 000、平均度? k?=5的隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)，作為接觸層 (bij)N×N，然后在接觸層上增加800 條隨機(jī)邊(無(wú)重邊)得到虛擬接觸層 (aij)N×N。進(jìn)一步給出在不同的警覺(jué)意識(shí)傳播率 λ下，感染范圍 ρI隨著感染傳播率 β的變化圖，并在每個(gè)子圖中插入對(duì)應(yīng)的警覺(jué)意識(shí)傳播范圍 ρA隨著感染傳播率 β的變化圖，如圖7 所示，其中初始感染種子為0.2，δ=0.6 ，μ =0.4?？梢园l(fā)現(xiàn)，圖7 和圖6 具有相同的現(xiàn)象，從而驗(yàn)證了結(jié)論的普適性。

圖7 在不同的警覺(jué)意識(shí)傳播率λ 下，con 與ordered 中感染范圍 ρI 隨 β的變化圖

4 結(jié) 束 語(yǔ)

本文提出不考慮傳播次序的模型，即警覺(jué)意識(shí)與疾病同時(shí)傳播。通過(guò)理論分析和數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)，感染范圍和閾值不僅依賴于雙層網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)而且受警覺(jué)信息傳播的影響。與之前的模型進(jìn)行對(duì)比發(fā)現(xiàn)：信息與疾病的傳播次序不影響疾病的傳播閾值，但會(huì)影響兩種傳播的動(dòng)力學(xué)傳播范圍。雖然無(wú)序模型對(duì)應(yīng)的警覺(jué)傳播范圍總是小于有序模型對(duì)應(yīng)的警覺(jué)傳播范圍，但卻會(huì)對(duì)疾病傳播范圍有截然不同的影響：在警覺(jué)意識(shí)傳播率較小的時(shí)候，有序模型導(dǎo)致警覺(jué)態(tài)節(jié)點(diǎn)沒(méi)有大范圍傳播就變?yōu)槲淳X(jué)態(tài)，從而導(dǎo)致疾病傳播范圍增加；而當(dāng)警覺(jué)意識(shí)傳播率較大的時(shí)候，有序模型保證警覺(jué)意識(shí)在虛擬層更大范圍擴(kuò)散，從而更有效控制疾病在物理層的擴(kuò)散。本文的研究工作表明：當(dāng)基于雙層網(wǎng)絡(luò)研究疾病和意識(shí)傳播耦合作用時(shí)需要根據(jù)問(wèn)題背景設(shè)定相應(yīng)的模型并進(jìn)行分析，否則可能會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)果。同時(shí)本文的研究工作也豐富了多層網(wǎng)絡(luò)動(dòng)力學(xué)的研究結(jié)果。

本文的研究工作得到安徽科技學(xué)院人才引進(jìn)項(xiàng)目(100005)的支持，在此深表感謝！