基于無衍射光莫爾條紋的軸錐透鏡錐角測量方法

楊練根，劉 凡，冉晶晶，翟中生

（1. 湖北工業(yè)大學 機械工程學院，湖北 武漢 430068；2. 湖北省現(xiàn)代制造質量工程重點實驗室，湖北 武漢 430068）

引言

軸錐透鏡為任一形狀回轉體，一側為平面，另一側為圓錐面[1]。不同于透鏡匯聚于一點的成像方式，經軸錐透鏡的光束在傳輸過程中表現(xiàn)出線焦特性，即光束高度約束在以中心軸線為基準的局部區(qū)域內，且不受衍射影響，具有中心光斑強度高、方向性好、準直距離長以及自修復特性等特點[2]。由于其獨特的光學特性，廣泛應用于無衍射光生成、光學成像系統(tǒng)、瞳孔整形、光學測試、激光束整形、自由空間光通信、飛秒激光加工、光互聯(lián)和精密準直、精密光學檢測等領域[3-6]。

在軸錐透鏡的實際應用中，需要提前精確獲取錐角參數(shù)，因此，對錐角有嚴格的測量要求。例如，為了保證光刻照明系統(tǒng)中的瞳孔能量平衡，瞳孔整形單元中一對軸棱錐透鏡的錐角精度要求應在±30″以內。

近年來，各種錐角測量方法得到了發(fā)展，其中坐標測量機（CMM）就是一種常用的方法，但這種接觸測量方式可能造成軸錐透鏡表面損傷，影響其光學特性，并且較為耗時。接觸測量方式可以用于驗證非接觸方法的測量結果。除了接觸測量技術，很多非接觸測量方法也用于測量軸錐透鏡的錐角。De Angelis 等人[7]提出了雙光束剪切干涉法測量軸錐透鏡的錐角，此方法僅適用于小基準角的測量。Fantonetal[8]用馬赫曾德干涉儀測試軸錐透鏡表面，該方法結合一個精確的方形沿切向旋轉掃描獲得錐角。然而，上述兩種方法的設置都很復雜。此外，這些方法在在測量錐角范圍上存在局限性。Ma 等人[9]用計算機生成的全息圖（CGH）測量錐角，測量裝置設置很簡單，但是CGH 通常是復雜、昂貴和耗時的。Zhang J[10]提出一種基于雙波長色散的方法，測量裝置緊湊，容易調節(jié)，然而忽略了不同波長對于成像透鏡焦點距離的影響，不能滿足大多數(shù)現(xiàn)代應用要求。Zhang[11]提出了一種基于自準直光路的軸錐透鏡錐角的測量方法，但測量時需要實時調整記錄平行板和經緯儀與軸錐透鏡之間的偏角，另外，為提高測量分辨率延長了整體光路，增加了測量難度。

本文提出一種基于無衍射光莫爾條紋測量方法，經分光合束的兩無衍射光束相互干涉疊加后形成一定數(shù)目的莫爾條紋。根據(jù)兩無衍射光束中心光斑間距、莫爾條紋數(shù)量、激光波長、軸錐透鏡折射率可以計算出錐角值。實驗結果表明，本方法具有較高的錐角測量精度。

1 軸錐透鏡錐角測量系統(tǒng)設計

1.1 軸錐透鏡錐角測量系統(tǒng)硬件構成

本文提出的測量方法的光路結構示意圖如圖1所示。測量裝置由激光器、準直擴束鏡、待測軸錐透鏡、分束器、反射鏡、二維平移臺、以及與計算機相連的圖像傳感器組成。上述裝置固定安裝在實驗平臺上，其中反射鏡2 安裝在二維平移臺上。實際測量時，反射鏡2 能夠沿光路傳播方向進行水平位移，待測軸錐透鏡錐角可以為任意角度。

1.2 軸錐透鏡錐角測量系統(tǒng)工作原理

圖 1 測量光路結構示意圖Fig. 1 Structure diagram of measuring optical path

軸錐透鏡錐角測量系統(tǒng)工作原理為：激光器發(fā)出的光經準直擴束后垂直入射軸錐透鏡，在軸錐透鏡后形成零階貝塞爾形狀的同心圓環(huán)（無衍射光），其仿真圖如圖2（a）所示。圖1 中分束器1 將無衍射光分為兩束衍射光，分別稱為參考光束和測量光束，其中參考光束經反射鏡1 和分束器2 后垂直入射到圖像傳感器上形成無衍射光，其中心光斑位置不變稱為參考點；測量光束經反射鏡2 和分束器2 后垂直入射到圖像傳感器上形成測量點，這兩束無衍射光相互干涉形成莫爾條紋，其Matlab仿真圖如圖2（b）所示。

圖 2 仿真示意圖Fig. 2 Schematic diagram of simulation

其中測量點受反射鏡2 位置的影響而發(fā)生改變，通過調節(jié)二維平移臺完成調整參考點與測量點中心距離的任務。每一次中心距離改變，對應的莫爾條紋數(shù)發(fā)生變化，圖像傳感器完成對不同莫爾條紋數(shù)干涉圖像采集。采集的圖像由計算機完成圖像處理并計算相關實驗數(shù)據(jù)，最終得到軸錐透鏡錐角計算結果。

通過軸棱錐透鏡傳輸?shù)募す馐? 個方向偏轉，因此，需要調整反射鏡。為了從一維分析中獲得精確的結果，激光光束須嚴格平行于軸錐透鏡光軸方向。一是經擴束準直的激光束垂直入射到軸錐透鏡的平面上，調整軸錐透鏡位置使激光束通過錐體頂點傳輸，通過判斷設置在軸錐透鏡后方白屏上是否出現(xiàn)中心光斑光強均勻的同心圓，確定激光束是否通過錐形頂點傳輸；二是經反射鏡反射回來的測量光束與參考光束在分束器后表面合束產生干涉，其中參考點在圖像傳感器上位置是固定的，通過調整反射鏡2 姿態(tài)對反射點位置進行微調，使圖像傳感器上出現(xiàn)干涉明顯的莫爾條紋。三是沿光束傳播方向水平移動反射鏡2，以實現(xiàn)對參考點與測量點之間中心距離的調節(jié)，采集多個不同中心距離下的莫爾條紋，進而測得軸錐透鏡某些輪廓線下的錐角平均值。

2 軸錐透鏡錐角計算方法

2.1 不同位置兩條無衍射光干涉疊加

設參考光束和測量光束光程分別為Z1和Z2，在圖像傳感器平面上的極坐標分別為r1和r2，r 為光束透過軸錐透鏡半徑，兩束無衍射光在圖像傳感器上的復合振幅為

根據(jù)上式，利用穩(wěn)相法[12]可得光強近似為

由公式（2）可知，其光強分布可以理解為2 個不同位置的零階貝塞爾函數(shù)的疊加，其干涉圖樣表現(xiàn)為明暗條紋等距相間分布的同心圓環(huán)[13]。兩束無衍射光的干涉場可視為2 個等間距的同心圓環(huán)光柵的疊加。

其中零階貝塞爾函數(shù)的零點近似可以表示為[14]

對（4）式作進一步推導，得到同心圓環(huán)兩相鄰光柵間距d 為

2.2 錐角公式推導

根據(jù)文獻[15]可知，兩無衍射光束疊加形成的莫爾條紋軌跡表現(xiàn)為一系列對稱分布的雙曲線簇，其條紋分布及數(shù)量受兩光斑中心間距影響。通過對中心間距 D與雙曲線漸近線與兩光斑中心之間連線夾角 α關系進行推導，可得到：

式中k 為莫爾條紋族對應的序列數(shù)，由公式（5）可知，光斑中心間距與光束光程無關。即在無衍射光有效傳播距離內，光柵間距為定值。設 D=nd，n 為正整數(shù)，結合（5）式可得：

由（7）式可知，當k=0， α=90°；當k=n， α=0°。表明 α在0°～90°內，對應的莫爾條紋數(shù)與光柵中心間距數(shù)一致。則總體圓周上莫爾條紋數(shù)N 與中心間距數(shù)n 呈4 倍線性關系，即N=4n。

利用Matlab 對不同間距數(shù)下莫爾條紋數(shù)進行仿真驗證，得到的結果如圖3 所示。由圖3 可以看出， α在0°～90°內，莫爾條紋族最大序數(shù)始終等于對應間距數(shù)，與上述推論結果保持一致。明顯地，與排列緊湊的同心圓環(huán)明暗條紋相比，呈發(fā)散分布的雙曲線莫爾條紋更易被識別，采集莫爾條紋數(shù)可以實現(xiàn)對間距數(shù)的計量。

圖 3 不同間距數(shù)下莫爾條紋圖Fig. 3 Moire fringe pattern with different spacings

莫爾條紋數(shù)量與兩同心圓環(huán)光柵中心間距及中心距離關系為

將圖像傳感器視場平面作為坐標平面，連續(xù)2 個像素點間距視為最小單位長度。以視場左上角頂點作為坐標原點，記錄參考點和測量點中心位置，其中參考點和測量點中心位置分別對應于兩同心圓環(huán)光柵中心。根據(jù)算法直接確定參考點及測量點中心坐標（x0，y0）和（x1，y1），中心距離D 表示為

通過圖像處理程序實現(xiàn)莫爾條紋的計數(shù)，結合像素坐標計算得到中心距離，完成對軸錐透鏡錐角 θ求解。根據(jù)公式（5）和（8），軸錐透鏡錐角 θ可以表示為

3 實驗結果及分析

實驗所選用激光器為大恒光電DH-HN 系列氦氖激光器，輸出功率大于1.8 mW，波長 λ為632.8 nm，擴束鏡頭擴束范圍比為5x～10x。分束器及反射鏡材料均為K9，分束器尺寸 為25.4 mm ×2 5.4 mm×25.4 mm，反射鏡直徑為25.4 mm，其表面反射率大于99.5%。圖像傳感器像元尺寸為5.2 μm ×5.2 μm。結合公式（10）以及圖像傳感器像元分辨率，帶入前后坐標參數(shù)最小差值，得到理論測量分辨率優(yōu)于0.72″。實際實驗中直接將所述激光器作為光源，會因為入射圖像傳感器激光光束亮度過高使得采集的莫爾條紋圖泛白，進而導致測量失效。在實際光路中引入光衰減片對激光光束亮度進行調節(jié)，得到明暗對比明顯的莫爾條紋圖，以方便下一步的圖像處理。

本文以THORLABS 公司生產的軸錐透鏡作為測量對象，相關數(shù)據(jù)如下：材質為紫外熔融石英，錐鏡折射率n=1.46，半徑r=12.7 mm，錐角θ=0.5°±0.01°，即錐角公差為72″。二維平移臺為高精密線性平移臺，位移最小分辨率為5 μm，行程為±12.5 mm。選取莫爾條紋數(shù)為8、12、16、20、24 和28 進行實驗，同時記錄圖像傳感器中莫爾條紋圖像以及所述平移臺位移行程。圖像傳感器采集的圖像如圖4所示。

圖 4 不同位移下莫爾條紋圖Fig. 4 Moire fringe pattern under different displacements

通過圖像傳感器記錄的圖像信息，可以確定對應莫爾條紋數(shù)下參考點中心及測量點中心的位置，結果如表1 所示。根據(jù)公式（9）計算的參考點與測量點中心距離，結合已知激光器及軸錐透鏡參數(shù)帶入公式（10），得到錐角測量結果如圖5（a）所示，平均角度為0.490 7°。其中圖5（b）給出了本測量系統(tǒng)12 次重復實驗的結果，錐角測量結果的均值為0.490 8°，重復性為0.86″。為驗證本測量方法的精度，采用Hexagon 公司的Leitz Infinity 三坐標測量機進行比較。該測量機的最小測量分辨率為0.1 μm，空間精度為0.3 + L/1000 μm，因其測量精度很高，故用其測量軸錐棱鏡錐角的測量誤差幾乎可以忽略。如圖6 所示，選取軸錐透鏡某一輪廓的母線上兩點作為探頭測量點，測量12 個不同位置母線，其中相鄰母線角度分布間距為30°，得到該軸錐透鏡的錐角平均值為0.493 5°。與三坐標測量機測量結果的差值為?0.002 7°，即?9.72″，可認為本文所提出的測量方法的相對測量誤差近似為0.54%。

表 1 測量結果Table 1 Measurement results

圖 5 軸錐透鏡錐角測量結果及重復性試驗Fig. 5 Axicon cone angle measurement results and repeatability test

圖 6 三坐標測量機測量方式示意圖及測量結果Fig. 6 Schematic diagram and measurement results of CMM measurement mode

4 結論

本文提出的基于無衍射光莫爾條紋的軸錐透鏡錐角測量方法，以無衍射光同心圓環(huán)間距與軸錐鏡錐角滿足確定關系式為切入點，將待測軸錐鏡自生成無衍射光引入到測量系統(tǒng)中，簡化了測量光路。同時對雙無衍射光干涉形成的莫爾條紋數(shù)與兩中心光斑間距數(shù)關系進行推導并仿真驗證，結果表明兩者存在確定的線性關系，通過采集相對易識別的莫爾條紋數(shù)完成對間距數(shù)的計量。另外，根據(jù)無衍射光同心圓環(huán)間距大小不隨光程而改變特點，實現(xiàn)不同光程下，即兩束無衍射中心光斑在不同中心距離下軸錐鏡錐角的測量，提高了系統(tǒng)測量精度。本系統(tǒng)測量的軸錐鏡錐角與CMM 測量結果相比，測量誤差為?9.72″，僅為錐角公差1/8，重復性為0.86″，完全滿足對錐角的測量要求。該方法只需對軸錐鏡生成的無衍射光進行簡單的分光合束，僅使用單一波長光源，無需設置如全息圖、高精度方形、電子經緯儀等測量元件，與其他測量方法相比，本方法簡單、成本低、可靠性高。