采用分區(qū)法生成稀疏譜湍流相位屏

張小琪，倪小龍，劉 智，叢明慧，張 潔

（長春理工大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，吉林 長春 130022）

引言

空氣因地面和太陽輔熱向上流動，在這個(gè)過程中受風(fēng)速和大氣分子運(yùn)動影響形成大氣湍流。大氣湍流引起大氣折射率的改變，從而導(dǎo)致光束波前發(fā)生畸變，引起光斑閃爍、光斑漂移等效應(yīng)[1]。在空間激光通信研究方向中，要減小誤碼率保證通信雙方通信質(zhì)量，必須對激光在大氣湍流中的傳播特性進(jìn)行研究，以尋求抑制大氣湍流效應(yīng)的方法，所以需要找尋室內(nèi)可替代的實(shí)驗(yàn)環(huán)境模擬大氣湍流以便進(jìn)行光通信研究。

現(xiàn)代光學(xué)采用數(shù)值模擬方法模擬大氣湍流的真實(shí)狀態(tài)[2]，常用的器件是液晶空間光調(diào)制器（LCSLM）。近些年提出的稀疏譜模型具有細(xì)節(jié)信息豐富、模擬周期長的優(yōu)點(diǎn)，在稀疏譜模型下，二維隨機(jī)場的精確要求達(dá)到5 個(gè)數(shù)量級以上的尺度變化，需要長的湍流相位屏來表示波前的時(shí)間演變。相位屏模擬常用方法有功率譜反演法、澤尼克法和次諧波法等[3]，這些方法能夠較好地模擬大氣湍流的特性，但也存在計(jì)算量大、模擬速度比較慢、具有周期性等問題，優(yōu)化過程十分復(fù)雜，往往需要多種方法疊加，導(dǎo)致計(jì)算量成倍增加[4]。稀疏譜湍流相位屏應(yīng)該具有較長的周期，采用上述經(jīng)典模擬方法的方法是不可行的，因而本文考慮采用一種稀疏譜分區(qū)模型得到符合要求的湍流帶[5]。

1 稀疏譜基本理論及其相位屏生成方法

稀疏譜的概念最早提出是用于海面模型的研究，后來推演到大氣湍流相位屏的研究。稀疏譜模型認(rèn)為每個(gè)隨機(jī)場的實(shí)現(xiàn)都包含有限個(gè)隨機(jī)正弦波分量，其中頻率、相位和幅度都是隨機(jī)的。光譜分量的數(shù)量由湍流狀態(tài)決定，而不是由所需的空間分辨率和湍流尺度決定[5]。

1.1 稀疏譜基本理論

本文采用的稀疏譜模型和傳統(tǒng)的大氣湍流理論模型一樣，相位屏結(jié)構(gòu)函數(shù)服從湍流冪律形式：

式中： r0是 相干半徑； a為光譜指數(shù)。一般認(rèn)為結(jié)構(gòu)函數(shù)和相位波動的空間譜有關(guān)，則結(jié)構(gòu)函數(shù)可以表示為

其中 K為波矢，可從波長K 和方向兩個(gè)方面考慮，其中譜密度可以近似表示為

關(guān)于 P(K)，引入歸一化結(jié)構(gòu)函數(shù)d(y) 和無量綱變量 y=k0r 進(jìn)行分析，其中： k0=L/2π,K0=l/2π，歸一化結(jié)構(gòu)函數(shù)可以表示為

稀疏譜模型采用介于內(nèi)外尺度的冪律函數(shù)擬合歸一化結(jié)構(gòu)函數(shù)，圖1 是慣性區(qū)內(nèi)歸一化冪律結(jié)構(gòu)函數(shù)和歸一化結(jié)構(gòu)函數(shù)曲線對比圖，其中橫坐標(biāo)表示無量綱變量y，縱坐標(biāo)表示歸一化結(jié)構(gòu)函數(shù)和冪律結(jié)構(gòu)函數(shù)的值。

圖 1 冪律函數(shù)和歸一化結(jié)構(gòu)函數(shù)Fig. 1 Power law function and normalized structure function

由圖1 可見，在K0＜K＜k0時(shí)，冪律函數(shù)能夠很好地?cái)M合歸一化結(jié)構(gòu)函數(shù)，則

所以公式3 的表述形式是合理的。

1.2 稀疏譜模型下的相位屏模擬方法

稀疏譜模型舍棄了和湍流擾動無關(guān)的信息，保留了細(xì)節(jié)信息。稀疏譜模型能夠表示為具有離散隨機(jī)特點(diǎn)的三角級數(shù)形式，通過蒙特卡羅方法計(jì)算模擬隨機(jī)場特性的過程能夠減少計(jì)算量，產(chǎn)生較長周期的相位數(shù)據(jù)且保留與大氣湍流擾動相關(guān)的尺度參數(shù)。以功率譜反演法為例，需要先進(jìn)行傅里葉變換，引入相位畸變后，再作傅里葉反變換得到我們需要的相位屏[6]，這個(gè)過程計(jì)算量巨大，且需要進(jìn)行時(shí)頻域變換。本文不采用經(jīng)典相位屏模擬方法，避免時(shí)頻域的變換，從數(shù)學(xué)分析入手，簡化計(jì)算過程減小計(jì)算量。

類似于傳統(tǒng)的傅里葉模型，相位可以表示為

式中：An為是符合隨機(jī)正態(tài)分布的復(fù)振幅； Kn是具有均勻概率分布的隨機(jī)波矢量。由(1)式，稀疏譜模型的結(jié)構(gòu)函數(shù)可以表示為

則（7）式要符合（1）式冪律形式的結(jié)構(gòu)函數(shù)需要滿足：

假設(shè)波矢方向服從[-π,π]上均勻分布，且符合相位的統(tǒng)計(jì)各向同性，則

其中 φ表示波矢的方向。那么，（8）式可以表示為

為了減小計(jì)算量且使相位屏的周期性盡可能地大，從數(shù)學(xué)角度出發(fā)，采用對數(shù)分區(qū)的方法對頻譜范圍[K0,k0]進(jìn)行分區(qū)，將該區(qū)間分成N 個(gè)子區(qū)間：

并且要求僅在第n 個(gè)區(qū)間上支持概率分布 pn(K)。第n 個(gè)區(qū)間的的頻譜可以表示為

在第n 個(gè)子區(qū)間上權(quán)重為

由（10）式和（13）式可以得到第n 區(qū)間的波數(shù)為

其中ξ 是[0，1]均勻分布的隨機(jī)數(shù)。在這里引入隨機(jī)數(shù)會導(dǎo)致相位的改變，從而導(dǎo)致整個(gè)相位屏上的點(diǎn)發(fā)生不同程度的相位畸變，以達(dá)到模擬大氣湍流的效果。

對比使用最多的功率譜反演法，采用這種簡單的數(shù)學(xué)分區(qū)方法，計(jì)算過程簡化了許多，由于實(shí)驗(yàn)所需采樣點(diǎn)數(shù)較多，能夠大大減小計(jì)算量，因而稀疏譜分區(qū)模型具有明顯的計(jì)算量優(yōu)勢。簡單的形式變化和近似替代，而沒有時(shí)頻域的變化，也就避免了傅里葉變化的周期性，所以分區(qū)方法能有效保留稀疏譜模型的無限周期性。

2 相位屏數(shù)值模擬

2.1 湍流母屏的選擇

圖2 是大氣湍流模擬的理論裝置圖和實(shí)物圖。光束的傳播路徑大致為：激光器發(fā)射的紅外激光束通過偏振片經(jīng)分光棱鏡進(jìn)入LC-SLM，電腦將已經(jīng)編譯完成的相位屏信息加載到LC-SLM 的硅板上，LC-SLM 通過電尋址方式使液晶分子發(fā)生偏轉(zhuǎn)，從而使光束發(fā)生相位畸變。LC-SLM 將光束反射回分光棱鏡，最后由相機(jī)收集光斑[7]，對光斑的采集可參考文獻(xiàn)[8]。

圖 2 基于稀疏譜的大氣湍流模擬裝置Fig. 2 Atmospheric turbulence simulation device based on sparse spectrum

相位屏模擬分為動態(tài)模擬和靜態(tài)模擬兩種[9]，現(xiàn)在很少用到靜態(tài)相位屏法。本文采用動態(tài)相位模擬法，即根據(jù)風(fēng)速從一個(gè)較大的母相位屏中連續(xù)截取出子相位屏，這些子相位屏構(gòu)成動態(tài)相位屏[10]。圖3 是動態(tài)螺旋狀和往復(fù)型截取相位屏的示意圖，本實(shí)驗(yàn)以功率譜反演法旋轉(zhuǎn)截取子相位屏作為對比組實(shí)驗(yàn)，因?yàn)橥牧髂钙链笮〉南拗魄夷钙恋纳删哂兄芷谛裕V反演方法往往需要作出補(bǔ)償來彌補(bǔ)這些不足，這個(gè)過程計(jì)算量十分巨大。

稀疏譜模型理論上可以得到一個(gè)非周期性樣本，考慮取x 軸遠(yuǎn)大于y 軸。本實(shí)驗(yàn)基于相同的幅度和波矢，生成長帶形的湍流相位屏，按照風(fēng)速方向截取子相位屏并依次加載在液晶上，子相位屏的連續(xù)加載形成了動態(tài)的湍流模擬效果，如圖4所示效果（取部分湍流帶）。本實(shí)驗(yàn)?zāi)赶辔黄敛蓸狱c(diǎn)數(shù)為512×32 768，取子相位屏分辨率為512×512像素。

圖 3 傳統(tǒng)子相位屏截取示意圖Fig. 3 Schematic diagram of traditional sub-phase screen capture

圖 4 長帶形湍流相位屏截取子屏示意圖Fig. 4 Schematic diagram of sub-screen capture of long strip turbulence phase screen

2.2 稀疏譜相位屏結(jié)果分析

圖5 是稀疏譜模型下生成的大氣湍流相位屏。

圖6～圖8 分別取相干半徑為0.01 m、0.05 m、0.1 m 時(shí)稀疏譜分區(qū)法生成的相位屏和功率譜反演方法生成的相位屏對比圖。由灰度圖湍流的密度可以看出在相同相干長度下，稀疏譜分區(qū)模型下的相位屏更加清晰，細(xì)節(jié)信息更加豐富，符合稀疏譜模型的特點(diǎn)，同時(shí)這也是稀疏譜模型明顯的優(yōu)點(diǎn)。觀察兩種情況生成的相位屏，均符合相干長度越小，湍流擾動越強(qiáng)烈的規(guī)律，由此，我們可以判斷本實(shí)驗(yàn)生成的相位屏能夠大致符合大氣湍流擾動規(guī)律。

圖 5 稀疏譜大氣湍流相位屏Fig. 5 Sparse spectrum atmospheric turbulence phase screen

圖 6 r0=0.01 m 時(shí)大氣湍流模擬相位屏Fig. 6 Atmospheric turbulence simulation phase screen when r0=0.01 m

圖 7 r0=0.05 m 時(shí)大氣湍流模擬相位屏Fig. 7 Atmospheric turbulence simulation phase screen when r0=0.05 m

圖 8 r0=0.1 m 時(shí)，大氣湍流模擬相位屏Fig. 8 Atmospheric turbulence simulation phase screen when r0=0.1 m

圖9 將采用稀疏譜分區(qū)方法和功率譜反演方法生成相位屏的結(jié)構(gòu)函數(shù)和真實(shí)大氣湍流的結(jié)構(gòu)函數(shù)進(jìn)行對比，根據(jù)相對誤差判斷本實(shí)驗(yàn)的大氣湍流模擬效果。在計(jì)算結(jié)構(gòu)函數(shù)時(shí)，參數(shù)均取經(jīng)典值，相干半徑取0.1 m，光譜指數(shù)取1.67，關(guān)于結(jié)構(gòu)函數(shù)的生成方法，均選取相位屏左下角為相位屏半徑的計(jì)算原點(diǎn)，一共選取500 個(gè)采樣半徑，計(jì)算每個(gè)采樣半徑下平均結(jié)構(gòu)函數(shù)值作結(jié)構(gòu)函數(shù)曲線。由湍流模型的標(biāo)準(zhǔn)結(jié)構(gòu)函數(shù)得到理論結(jié)構(gòu)函數(shù)曲線，并將理論結(jié)構(gòu)函數(shù)和實(shí)際得到的結(jié)構(gòu)函數(shù)做對比。對于計(jì)算誤差，可以表示為

經(jīng)計(jì)算，稀疏譜結(jié)構(gòu)函數(shù)的平均誤差為6.1%，理論上已經(jīng)能夠很好地模擬大氣湍流[11]。由圖9看出功率譜反演方法存在較大的低頻補(bǔ)償問題，一般采用次諧波法進(jìn)行頻率補(bǔ)償或者是非均勻步長法[12-14]。而本文采用的稀疏譜相位屏模擬方法在數(shù)據(jù)量較大時(shí)依然能夠較好地?cái)M合相位結(jié)構(gòu)函數(shù)，并且分區(qū)模型計(jì)算量大大減小。

圖 9 結(jié)構(gòu)函數(shù)對比圖Fig. 9 Comparison chart of structure function

光束經(jīng)過大氣湍流后其光斑位置會發(fā)生偏移，一般以光斑質(zhì)心位置的變化來描述光束的偏移量，光束的漂移量是測量大氣湍流傳輸特性的一個(gè)重要指標(biāo)[15]。實(shí)驗(yàn)用230×230 個(gè)被采集點(diǎn)計(jì)算質(zhì)心位置，質(zhì)心位置x、y 軸方向計(jì)算公式：

其中I 表示光強(qiáng)，對于質(zhì)心計(jì)算，取多幅光斑圖片分別計(jì)算x、y 方向光斑中心位置，再對多個(gè)處理結(jié)果求平均值，最終將二維坐標(biāo)作為光斑質(zhì)心位置。以質(zhì)心的偏差作為光束漂移量。

圖10 為光斑質(zhì)心位置的漂移量和真實(shí)大氣湍流的光斑質(zhì)心偏移量的對比圖。r0為0.01 m、0.05 m、0.1 m 時(shí)，均方根誤差分別為9.813×10?8m、9.951×10?8m、1.013×10?7m。由圖10 可以看出隨著大氣相干半徑的減小，大氣湍流的擾動更加強(qiáng)烈，大氣湍流光斑質(zhì)心的均方根誤差低至1.013×10?7m，所以稀疏譜模型下的大氣湍流的光斑漂移情況基本吻合自由空間大氣湍流的真實(shí)光斑偏移情況。

圖 10 不同相干長度下的光束漂移量Fig. 10 Beam drifting distance at different coherence lengths

3 結(jié)論

本文重點(diǎn)研究了基于稀疏譜的大氣湍流相位屏的生成方法，采用簡單的數(shù)學(xué)方法分區(qū)方法生成相位屏，該方法不需要進(jìn)行時(shí)頻域的變換，避免了周期性問題，計(jì)算量明顯小于經(jīng)典方法，并且可以看出后期數(shù)據(jù)量較大時(shí)也不需要大量的補(bǔ)償。利用LC-SLM 實(shí)現(xiàn)了對稀疏譜相位屏的加載并收集光斑信息。實(shí)驗(yàn)對比了稀疏譜分區(qū)方法生成的大氣湍流相位屏和均勻功率譜反演法生成的大氣湍流相位屏，容易看出，稀疏譜模型下的相位屏具有更加豐富的細(xì)節(jié)信息，并且湍流模擬效果更加清晰，隨著相干長度的減小，湍流擾動也更加強(qiáng)烈。經(jīng)驗(yàn)證，稀疏譜相位屏結(jié)構(gòu)函數(shù)平均誤差低至6.1%。將收集到的光斑和真實(shí)大氣湍流條件下收集到光斑質(zhì)心位置進(jìn)行對比，光束偏移量的均方根誤差為1.013×10?7m，符合實(shí)測大氣湍流光斑位置變化規(guī)律。綜上，本實(shí)驗(yàn)研究的稀疏譜分區(qū)方法生成的相位屏在理論和實(shí)踐中都能夠很好地模擬真實(shí)大氣湍流。