拼接式望遠鏡主鏡衍射效應研究

張 龍，王孝坤，程 強，胡海翔

（1. 中國科學院長春光學精密機械與物理研究所 中國科學院光學系統(tǒng)先進制造技術重點實驗室 吉林 長春 130033；2. 中國科學院大學，北京 100049）

引言

隨著科學技術的發(fā)展，天文學家迫切需求更高分辨率的天文望遠鏡來探索宇宙的奧秘。增大望遠鏡的主鏡口徑是提高觀測分辨率和集光能力的有效手段[1-2]。然而隨著主鏡口徑的不斷增大，給望遠鏡的制造、加工、檢測、集成裝調等技術都帶來了巨大的挑戰(zhàn)[3]。為了解決這一技術難題，科學家提出采用拼接式主鏡代替單塊主鏡的方案[4-5]。其中，地基望遠鏡KECK I/II、GTC、GMT[6]、TMT[7]、E-ELT[8]、天基望遠鏡JWST[9]等皆采用拼接式主鏡的設計方案。雖然拼接式主鏡的設計具有很多優(yōu)勢，但如何選擇合適的構型以及如何檢測和調整拼接失調所引起的平移誤差、傾斜誤差成為必須要解決的難題。

為了使拼接式望遠鏡的分辨率接近等效口徑的衍射極限，首先分析拼接式主鏡構型、平移誤差、傾斜誤差對衍射效應的影響。目前，國外Chanan G[10]、Yaitskova N[11]等人通過點擴散函數(shù)和斯特列爾比（Strehl ratio）[12]簡單分析了平移誤差、傾斜誤差對衍射效應的影響，但都沒有研究拼接式主鏡模型建立的方式和分析拼接式主鏡構型對衍射效應的影響。在國內，針對拼接式望遠鏡的研究主要集中在平移誤差、傾斜誤差的檢測技術上[13-14]，對拼接式主鏡的衍射效應研究較少，其中，李毅超[15]等人分析了單個子鏡在不同平移誤差、傾斜誤差下拼接主鏡的衍射效應，得到的結論為分析拼接鏡系統(tǒng)的成像質量提供了依據。

本文從標量衍射的原理入手，分析了拼接式光學系統(tǒng)的成像原理?；邶R次坐標變換建立了拼接式主鏡的光瞳模型，并利用拼接主鏡的構型參數(shù)、遠場衍射的點擴散函數(shù)及其歸一化相對強度分析了拼接式主鏡構型對衍射效應的影響。然后以典型的拼接主鏡構型為例，分別仿真分析了單個子鏡在不同平移誤差、傾斜誤差下拼接主鏡遠場衍射的點擴散函數(shù)及其歸一化相對強度，并利用斯特列爾比仿真分析了拼接主鏡整體平移誤差、傾斜誤差對衍射效應的影響。分析結果為發(fā)展拼接式望遠鏡提供了技術支持。

1 拼接式光學系統(tǒng)的成像原理

如圖1 所示，對于任意一個光學成像系統(tǒng)模型，均可以簡化為由物面、系統(tǒng)的入瞳和出瞳、像面3 部分組成。其中，（出射）光瞳函數(shù) p(x,y)決定了光學成像系統(tǒng)的主要性質。

圖 1 成像系統(tǒng)的普遍模型Fig. 1 Generalized model of imaging system

對于拼接式望遠鏡系統(tǒng)，拼接主鏡的光瞳函數(shù)p(x,y)可以描述為[16-17]

式中： pn(x,y)表示每個孔徑的光瞳函數(shù)，對應的中心坐標為 un； δun表示基于齊次坐標變換對光瞳的平移和旋轉。每個孔徑光瞳函數(shù)的模 Π(u)為

基于澤尼克多項式[18]，每個孔徑的光瞳函數(shù)pn(u)可表示為

式中： j2=?1； αkn是 孔徑 n的 像差系數(shù)； Zk(u)是澤尼克多項式的項。對于拼接式望遠鏡，特有的波前誤差 為 pistons(k=1)和 tips/tilts(k={2,3})，因此 將 對kmax=3的情況展開深入研究。

對于非相干、準單色光照明，非相干成像系統(tǒng)對于光強這一物理量具有線性空間不變性。像強度 Ii是強度脈沖響應 hI與理想的像強度 Ig的卷積：

式中： hI定義為點擴散函數(shù)（point spread function，PSF），是通過光瞳函數(shù) p(x,y)作傅里葉變換并取模的平方得到。

2 拼接式主鏡光瞳模型建立

參考KECK、GMT、JWST 等拼接式望遠鏡的主鏡結構，設計同心圓環(huán)形結構（由一個中心鏡和M環(huán)相同子鏡拼接組成）的主鏡模型，如圖2 所示。令環(huán)數(shù) M=1，忽略孔徑遮攔問題，通過齊次坐標變換對拼接主鏡的光瞳進行建模。假設拼接主鏡等效口徑為Φ (Φ=500 mm)， 主鏡孔徑間隔為d(d=10 mm)， 每 個 孔 徑 n(n=7)的 半 徑 為 R(R=160 mm)。因此，每個孔徑光瞳函數(shù) pn的模 Π可以描述為

式中： u2=x2+y2（ x,y 都是歸一化的）。對中心鏡0 進行建模，然后對原始坐標系 oxy進行平移變換，計算公式如下：

式中： ?x、 ?y是 平移矢量，在新坐標系 o′x′y′下，可以對子鏡1 進行建模。對原始坐標系o xy進行旋轉變換，旋轉角為 θ(θ=60°) ，得到坐標系 o′′x′′y′′，計算公式為

然后再對 坐標系 o′′x′′y′′進行平移變換得到坐標系 o′′′x′′′y′′′，在坐標系 o′′′x′′′y′′′下可以 對子鏡2 進行建模。同理，依次完成子鏡3、4、5、6 的光瞳建模。

圖 2 典型拼接主鏡光瞳模型Fig. 2 Pupil model of typical segmented primary mirror

3 拼接式主鏡構型對衍射效應的影響

根據典型拼接主鏡光瞳模型的建立過程，基于齊次坐標變換構造不同孔徑形狀、孔徑間隔的拼接主鏡模型，然后分別對其衍射效應進行仿真分析。

3.1 孔徑形狀對衍射效應的影響

假設拼接主鏡的等效口徑 Φ=500 mm，孔徑間隔d=10 mm ，焦距 f =700 mm。如圖3（aI）所示，對等效口徑的光瞳進行建模，記為Circle 型，其遠場衍射強度分布I0如圖3（aII）所示，將其用于歸一化處理。然后建立如圖3（bI）、3（cI）、3（dI）所示的拼接主鏡光瞳模型，分別記為Hexagon Sector 型、Hexagon 型和Circle 7 型，其遠場衍射對應的強度分布I（I1、I2、I3）分別如圖3（bII）、3（cII）、3（dII）所示。由于拼接式主鏡的光瞳形狀接近圓形，對應的點擴散函數(shù)的中心亮斑也接近于圓形。但是由于孔徑形狀不同，對應的點擴散函數(shù)的旁瓣能量分布不同，其衍射效應也不同。

為了進一步分析孔徑形狀對衍射效應的影響，一方面，數(shù)值仿真了如圖4 所示的拼接主鏡（不同孔徑形狀）遠場衍射的點擴散函數(shù)歸一化相對強度（ I/I0）曲線；另一方面，利用幾何關系求得不同孔徑形狀的構型參數(shù)（其中，填充因子是有效孔徑和等效孔徑的比值： F=S/S0；斯特列爾比是指所求點擴散函數(shù)的峰值強度與完美的衍射極限點擴散函數(shù)的峰值強度之比）如表1 所示。從表1 可知，拼接主鏡的填充因子越高，斯特列爾比的值越大，系統(tǒng)成像性能越好。

圖 3 拼接主鏡（不同孔徑形狀）光瞳模型及其遠場衍射的點擴散函數(shù)Fig. 3 Pupil models of segmented primary mirror (different aperture shapes) and their point spread functions for far-field diffraction

圖 4 拼接主鏡（不同孔徑形狀）遠場衍射的點擴散函數(shù)歸一化相對強度Fig. 4 Normalized relative intensity of point spread functions for far-field diffraction in segmented primary mirror (different aperture shapes)

表 1 拼接主鏡（不同孔徑形狀）構型參數(shù)及衍射效應Table 1 Configuration parameters and diffraction effects of segmented primary mirror (different aperture shapes)

3.2 孔徑間隔對衍射效應的影響

以Circle 7 型拼接主鏡為例，假設等效口徑為Φ=500 mm， 焦距 f =700 mm。如圖5（aI）、5（bI）、5（cI）、5（dI）所示，建立孔徑間隔d=0、d=10 mm、d=50 mm、d=100 mm 的拼接主鏡光瞳模型，其遠場衍射的強度分布（I1、I2、I3、I4）如圖5（aII）、5（bII）、5（cII）、5（dII）所示。以孔徑間隔d=0 時遠場衍射的強度分布I1為基準作歸一化處理，得到如圖5（e）所示的點擴散函數(shù)的歸一化相對強度曲線。從圖5 可知,隨著主鏡孔徑間隔的增大，對應的點擴散函數(shù)的旁瓣能量增大，能量集中度下降，系統(tǒng)成像質量下降。

為了進一步分析孔徑間隔對衍射效應的影響，利用幾何關系求得如表2 所示的不同孔徑間隔的構型參數(shù)。綜合分析可知：在等效口徑固定的前提下，主鏡孔徑間隔增大，一方面使旁瓣能量增加，能量集中度下降；另一方面使每個孔徑的直徑減小，填充因子變小。二者共同作用使成像質量下降。當孔徑間隔小于3 mm 時，斯特列爾比大于0.95；當孔徑間隔小于6 mm 時，斯特列爾比大于0.9；當孔徑間隔小于12 mm 時，斯特列爾比大于0.8。

4 平移誤差對衍射效應的影響

圖 5 拼接主鏡（不同孔徑間隔）光瞳模型、點擴散函數(shù)及其歸一化相對強度Fig. 5 Pupil models, point spread functions and their normalized relative intensity of segmented primary mirror (different aperture intervals)

表 2 拼接主鏡（不同孔徑間隔）構型參數(shù)及其衍射效應Table 2 Configuration parameters and diffraction effects of segmented primary mirror (different aperture intervals)

Piston誤 差是指子鏡沿光軸方向（ z軸）發(fā)生平移所引起的波前誤差（其為子鏡平移誤差的2倍）。以Circle 7 型拼接主鏡為例，假設等效口徑Φ=500 mm， 孔徑間隔 d=10 mm， 焦距 f =700 mm。首先通過仿真子鏡1（見圖2）在不同 piston誤差下拼接主鏡的點擴散函數(shù)及其歸一化相對強度來分析平移誤差對衍射效應的影響。如圖6所示，當piston=0時，此時光強最集中、光最強（將其用于計算歸一化相對強度）。隨著平移誤差的增大，能量分布逐漸下移，導致中心光斑能量逐漸降低。當piston = 0.5λ 時，光斑上下呈對稱分布，能量相等，但都小于 piston=0時的光強。隨著平移誤差進一步增大，能量分布繼續(xù)下移，直到piston = 1λ 時，形成一個與 piston=0時能量分布一樣的光斑。平移誤差超過一個波長后，衍射光斑呈周期性變化。

為了進一步分析平移誤差對衍射效應的影響，進行拼接主鏡整體平移誤差的研究。以中心鏡為基準，子鏡的 piston誤差的均方根值（root mean square，RMS）為 σ，假設各子鏡的 piston誤差服從(0,σ2)高 斯分布，拼接主鏡斯特列爾比 S與子鏡piston 誤差均方根值 σ的關系表達式為[10]

根據表達式進行數(shù)值仿真 (N=7)，仿真結果如圖7 所示。由圖7 可見，隨著 piston誤差均方根值的不斷增大，斯特列爾比呈下降趨勢，最終穩(wěn)定 在 1/7 ≈0.142 。當 piston誤 差 的 均 方 根 值 小于0.039λ 時，斯特列爾比大于0.95；當 piston誤差的均方根值小于0.056λ 時，斯特列爾比大于0.9；當piston誤差的均方根值小于0.082λ 時，斯特列爾比大于0.8。

圖 6 拼接主鏡（子鏡1 在不同piston 誤差下）的點擴散函數(shù)及其歸一化相對強度Fig. 6 Point spread functions and their normalized relative intensity of segmented primary mirror (sub-mirror 1 with different piston errors)

圖 7 斯特列爾比與piston 均方根誤差關系圖Fig. 7 Relation diagram of Strehl ratio and piston RMS error

5 傾斜誤差對衍射效應的影響

Tip/tilt誤 差是指子鏡繞 x,y軸旋轉所引起的波前誤差。以Circle 7 型拼接主鏡為例，假設等效口徑為 Φ=500 mm ，孔徑間隔為 d=10 mm，焦距為f =700 mm 。以 tilt方向的波前誤差為例，通過仿真子鏡1（見圖2）在不同 tilt誤差下拼接主鏡的點擴散函數(shù)及其歸一化相對強度來分析傾斜誤差對衍射效應的影響，如圖8 所示。當 tilt=0時，此時光強最集中、光最強，將其用于計算歸一化相對強度。隨著傾斜誤差逐漸增大，由于干涉效應，中心光斑能量逐漸減小。當傾斜誤差進一步增大，中心光斑能量先是增加（小于 tilt=0時的能量），然后減小，同時下方產生新的光斑并且逐漸遠離中心光斑。

圖 8 拼接主鏡（子鏡1 在不同tilt 誤差下）的點擴散函數(shù)及其歸一化相對強度Fig. 8 Point spread functions and their normalized relative intensity of segmented primary mirror (sub-mirror 1 with different tilt errors)

為了進一步分析傾斜誤差對衍射效應的影響，下面進行拼接主鏡整體傾斜誤差的研究。子鏡的tip-tilt誤差的均方根值為 σ，假設各子鏡的tip-tilt誤差服從 (0,σ2)高 斯分布，當 σ很小時，拼接主鏡斯特列爾比 S 與子鏡 tip-tilt誤 差均方根值 σ的關系表達式為[11]

式中 γ′為形狀因子，決定于孔徑的幾何形狀。對于圓形孔徑， γ′為1.33。根據表達式進行數(shù)值仿真(N=7)，結果如圖9 所示。由圖9 可以看出，隨著tip-tilt誤差均方根值的不斷增大，斯特列爾比呈下降趨勢。當 tip-tilt誤差的均方根值小于0.036λ 時，斯特列爾比大于0.95；當 tip-tilt誤差的均方根值小于0.052λ 時，斯特列爾比大于0.9；當 tip-tilt誤差的均方根值小于0.077λ 時，斯特列爾比大于0.8。

圖 9 斯特列爾比與tip-tilt 均方根誤差關系圖Fig. 9 Relation diagram of Strehl ratio and tip-tilt RMS error

6 結論

本文基于標量衍射研究了拼接式光學系統(tǒng)的成像原理，采用齊次坐標變換建立了等效口徑Φ=500 mm、不同孔徑形狀、不同孔徑間隔的光瞳模型。利用點擴散函數(shù)及其歸一化相對強度、斯特列爾比等遠場特性詳細分析了拼接主鏡的構型、平移誤差、傾斜誤差對衍射效應的影響。分析結果顯示：對于不同構型的拼接主鏡，其衍射效應受拼接主鏡的填充因子和孔徑間隔共同影響，填充因子越高，孔徑間隔越小，系統(tǒng)成像質量越好；對于單個子鏡，平移誤差對遠場衍射的影響具有周期性；對于拼接主鏡整體，當子鏡 piston誤差的均方根值小于0.039λ 時，斯特列爾比大于0.95；當子鏡 tip-tilt誤差的均方根值小于0.036λ 時，斯特列爾比大于0.95。分析結果對未來拼接式望遠鏡成像性能分析、主鏡的構型設計、平移誤差和傾斜誤差的檢測與調整等具有一定的指導意義。