中學(xué)數(shù)學(xué)教育中的若干問題

摘要：教育改革進(jìn)行了很多年，取得了很多成果，在新的歷史時(shí)期，如何進(jìn)一步深化基礎(chǔ)教育改革？這是廣為人們關(guān)心的問題。針對(duì)目前中學(xué)數(shù)學(xué)教育中存在的若干問題，從大眾化教育與精英教育、數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)課堂、模仿與創(chuàng)新、純粹與應(yīng)用、教材與教參、傳統(tǒng)課堂與網(wǎng)絡(luò)課堂以及師范教育與師資等若干方面提出一些值得思考的問題，并做初步探討，期待能為數(shù)學(xué)教育改革與研究者及一線教師的教學(xué)提供一些可資參考的建議。

關(guān)鍵詞：中學(xué)數(shù)學(xué)教育數(shù)學(xué)史網(wǎng)絡(luò)課堂師范教育

本文寫作過程中，廣東省廣州市執(zhí)信中學(xué)張蜀青老師幫助整理了部分資料，特此鳴謝。

一、 引言

我們處在教育改革的滾滾洪流中，素質(zhì)教育、數(shù)學(xué)文化、慕課、翻轉(zhuǎn)課堂、現(xiàn)代化教育技術(shù)，改革理念與措施層出不窮！我們是否認(rèn)真思考過：為什么要改革？基礎(chǔ)教育存在的根本問題是什么？我們應(yīng)該關(guān)注課堂教學(xué)中的哪些方面，是外在的形式還是內(nèi)在的思想？

弗賴登塔爾是荷蘭著名的數(shù)學(xué)教育家，在代數(shù)拓?fù)渑c李群方面有過重要建樹，30歲左右便開始關(guān)注數(shù)學(xué)教育。他在數(shù)學(xué)教育方面的論著很多，其《作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)》一書中有一個(gè)重要的觀點(diǎn)廣為熟知：“數(shù)學(xué)教育是數(shù)學(xué)的再創(chuàng)造?！睙o獨(dú)有偶，美國(guó)著名的物理學(xué)家、諾貝爾獎(jiǎng)獲得者費(fèi)曼也說了一句膾炙人口的話：“我不能創(chuàng)造的，我也無法理解?！彼麄兊脑捳f明了什么？教育不是簡(jiǎn)單的知識(shí)傳授，而是思想的傳播與創(chuàng)造力的激發(fā)。

本文試圖針對(duì)目前中學(xué)數(shù)學(xué)教育中存在的若干問題做一個(gè)初步的探討，期待能為教學(xué)教育改革與研究者及一線教師的教學(xué)提供一些可資參考的建議。

二、 “陽春白雪”與“下里巴人”

陽春白雪與下里巴人本是戰(zhàn)國(guó)時(shí)代的兩支曲子，前者典雅高深，后者通俗易懂。后分別引申為高雅的文學(xué)作品與通俗的文學(xué)作品。兩者針對(duì)的對(duì)象不同，無褒貶之分。

在我國(guó)，數(shù)學(xué)從來沒有像今天這樣，受到舉國(guó)上下的關(guān)注與重視，大家都在高談闊論數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育，對(duì)數(shù)學(xué)的熱衷程度遠(yuǎn)超過20世紀(jì)80年代初的“陳景潤(rùn)時(shí)代”。不過，如今的“數(shù)學(xué)熱”與那時(shí)有本質(zhì)的不同，是從戰(zhàn)略層面上的重視。

重視數(shù)學(xué)是個(gè)大好事，數(shù)學(xué)也的確應(yīng)該被重視，它雖然不是萬能的，但沒有它卻是萬萬不能的。然而，我們同時(shí)也應(yīng)該清楚，作為戰(zhàn)略層面上的數(shù)學(xué)，它注定是小眾化的，不可能像萬眾創(chuàng)新、大眾創(chuàng)業(yè)那樣大家都來做數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)的功能大體可以分為兩個(gè)方面：一是思維，二是運(yùn)用。一個(gè)人一旦具備了數(shù)學(xué)思維與思辨能力，的確如虎添翼，受益終身。而從技術(shù)層面上看，很多技術(shù)研發(fā)的本質(zhì)是算法的設(shè)計(jì)與運(yùn)用。沒有良好的數(shù)學(xué)思維能力與素養(yǎng)，很多事情確實(shí)做不了。當(dāng)然，數(shù)學(xué)本身并不能帶來經(jīng)濟(jì)效益，也不能帶來科技產(chǎn)品，只有與其他領(lǐng)域相結(jié)合后才能看到它強(qiáng)大的威力！

我們知道，諾貝爾獎(jiǎng)不設(shè)數(shù)學(xué)獎(jiǎng)，但無論是和平獎(jiǎng)、文學(xué)獎(jiǎng)、經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)，還是物理學(xué)獎(jiǎng)、化學(xué)獎(jiǎng)、生理學(xué)或醫(yī)學(xué)獎(jiǎng)，沒有一個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)所在的領(lǐng)域缺過數(shù)學(xué)家?？梢姡瑪?shù)學(xué)具有相當(dāng)?shù)钠者m性。例如，羅素既是個(gè)哲學(xué)家也是個(gè)數(shù)學(xué)家，還是個(gè)文學(xué)家，他居然得了個(gè)諾貝爾文學(xué)獎(jiǎng)！所以人們戲稱：“沒有得過諾貝爾文學(xué)獎(jiǎng)的數(shù)學(xué)家不是個(gè)好的哲學(xué)家?！?/p>

面向普通大眾的數(shù)學(xué)教育注定不可能是“陽春白雪”。從這個(gè)意義上說，數(shù)學(xué)教育應(yīng)該分兩個(gè)層次：一個(gè)層次是培養(yǎng)數(shù)學(xué)精英的“陽春白雪”，另一個(gè)層次則是面向普通大眾的“下里巴人”。我們?cè)趶?qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)重要性的同時(shí)也應(yīng)該清楚，以數(shù)學(xué)研究與數(shù)學(xué)的深度應(yīng)用為目標(biāo)的數(shù)學(xué)教育必然是小眾化的“陽春白雪”，大多數(shù)人應(yīng)該接受的是“下里巴人”式的數(shù)學(xué)教育。問題是：誰來決定誰接受“陽春白雪”式的教育，誰接受“下里巴人”式的教育？如何實(shí)施？因?yàn)楝F(xiàn)實(shí)中，但凡有條件的父母都希望自己的孩子接受最優(yōu)質(zhì)的教育。我認(rèn)為，最好的辦法是降低日常教學(xué)的難度，加大高考試題的難度和梯度，盡可能杜絕單憑熟練度就可以得分的題目。同時(shí)，增加諸如AP課程（大學(xué)先修課程）的先修課，讓有潛力的孩子學(xué)到更多更深入的數(shù)學(xué)——當(dāng)然，不要讓大多數(shù)孩子陪讀。這并非什么創(chuàng)新舉措。與西方不同的是，普通百姓不需要花重金進(jìn)入私立學(xué)校讀書，只要確有天賦，同樣有脫穎而出的機(jī)會(huì)。當(dāng)前，我們的優(yōu)質(zhì)教育資源畢竟是有限的，最終能進(jìn)入“985”高校的學(xué)生不會(huì)超過5%。與其讓所有孩子陷入白熱化競(jìng)爭(zhēng)的漩渦，不如通過自然淘汰的方式讓真正優(yōu)秀的孩子接受最好的教育。一些“漏網(wǎng)之魚”進(jìn)入普通高校后，還可以繼續(xù)努力以求“翻身”。

三、 數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)課堂

數(shù)學(xué)課堂有一種理念叫HPM。數(shù)學(xué)課堂結(jié)合數(shù)學(xué)史是個(gè)好事，但我們不能誤解數(shù)學(xué)史在課堂教學(xué)中的意義與作用，特別是落實(shí)到實(shí)操層面時(shí)，不能把它看成簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)史實(shí)的介紹，以為這就是在普及數(shù)學(xué)思想或數(shù)學(xué)文化了。

（一） 數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教育中的意義

數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的意義何在？是簡(jiǎn)單地引入數(shù)學(xué)史以增加課堂的趣味性，還是將數(shù)學(xué)史融入課堂教學(xué)過程中以體現(xiàn)數(shù)學(xué)的思想性？這是判斷課堂教學(xué)是“拼盤式”還是“融合式”的重要標(biāo)準(zhǔn)。所謂“拼盤式”，指的是教師在講授數(shù)學(xué)概念或原理時(shí)也介紹點(diǎn)數(shù)學(xué)史，但兩者是割裂的，數(shù)學(xué)史僅僅當(dāng)成故事來講;所謂“融合式”，指的是將數(shù)學(xué)史上一個(gè)概念或原理的產(chǎn)生過程再現(xiàn)出來，概念教學(xué)的過程就是歷史展現(xiàn)的過程，二者合二為一，形成一個(gè)整體（也稱之為“數(shù)學(xué)的再創(chuàng)造”）。然而，不是所有的教學(xué)都適合把歷史真實(shí)重演一遍，教學(xué)也不必拘泥于歷史的進(jìn)程。教師熟悉數(shù)學(xué)史的目的和意義在于，可以抓住導(dǎo)致概念或原理產(chǎn)生的根本問題，并結(jié)合、參考學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)創(chuàng)設(shè)合適的問題情境來實(shí)現(xiàn)再創(chuàng)造，這才是滲透數(shù)學(xué)思想方法和文化的有效手段。

（二） 課堂教學(xué)不能離題萬里

課堂教學(xué)引入數(shù)學(xué)史，并不意味著把數(shù)學(xué)課開成數(shù)學(xué)史課。例如教學(xué)復(fù)數(shù)概念，偏從數(shù)的起源講起，洋洋灑灑講了一堆自然數(shù)、有理數(shù)、實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)的歷史，那就跑題了！復(fù)數(shù)就是復(fù)數(shù)，拋棄那個(gè)荒謬的方程x2+1=0是一個(gè)進(jìn)步，但卡爾丹公式遠(yuǎn)遠(yuǎn)不足以成為復(fù)數(shù)存在的理由，它只不過讓數(shù)學(xué)家們對(duì)一些現(xiàn)象疑惑不解而已。雖然很多數(shù)學(xué)家包括歐拉都使用過復(fù)數(shù)（因?yàn)橛盟鲂问窖菟悴⒉粫?huì)導(dǎo)致矛盾），但復(fù)數(shù)作為一個(gè)不可思議的“怪物”，在它出現(xiàn)在卡爾丹公式后的200年中始終未能在數(shù)學(xué)界掀起大的波瀾，遠(yuǎn)不像無理數(shù)、無窮小、集合論的出現(xiàn)曾翻騰起數(shù)學(xué)界的驚濤駭浪。為什么一個(gè)2的出現(xiàn)會(huì)惹出一場(chǎng)軒然大波，以至于讓希帕索斯為之命喪大海，而虛數(shù)的出現(xiàn)并未令數(shù)學(xué)家們驚慌失措，他們依然故我，優(yōu)哉游哉地沉浸在實(shí)數(shù)的優(yōu)美世界里？因?yàn)閿?shù)學(xué)家們意識(shí)到，幾何與有理數(shù)之間存在著不可調(diào)和的矛盾，2動(dòng)搖了神一般存在的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的信仰！而復(fù)數(shù)并沒有導(dǎo)致數(shù)學(xué)的根本矛盾，現(xiàn)實(shí)中也找不到虛數(shù)的影子。數(shù)學(xué)家們好奇的并非是虛數(shù)是否存在，而是它為什么虛無縹緲卻又可以參與正常的運(yùn)算而不會(huì)導(dǎo)致矛盾？卡爾丹并不認(rèn)為虛數(shù)是有意義的，他說：“算術(shù)就是這樣神妙地搞下去，它的目標(biāo)，正如常言所說，是既精致又不中用的。”笛卡兒更是不認(rèn)同虛數(shù)，雖然他的坐標(biāo)系換一種方式便可以解釋復(fù)數(shù)。但大多數(shù)的數(shù)學(xué)家并不排斥復(fù)數(shù)，因?yàn)樗袝r(shí)的確可以解決問題，正如萊布尼茨所說，“圣靈在分析的奇觀中找到了超凡的顯示，這就是那個(gè)理想世界的端兆，那個(gè)介于存在與不存在之間的兩棲物，那個(gè)我們稱之為虛的-1的平方根”。如果我們對(duì)復(fù)數(shù)的引入僅僅停留在卡爾丹公式，不再跨越那漫長(zhǎng)的200年，走進(jìn)物理與幾何的世界，就不可能真正懂得復(fù)數(shù)的意義與價(jià)值，以及它對(duì)數(shù)學(xué)、物理學(xué)產(chǎn)生的深遠(yuǎn)影響，也不可能清楚復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算是什么，而只能像卡爾丹們一樣將它理解成純粹的形式運(yùn)算，更不可能了解此后為什么會(huì)出現(xiàn)四元數(shù)甚至八元數(shù)。

關(guān)于復(fù)數(shù)如何落實(shí)到教學(xué)的實(shí)操層面，可參見：曹廣福，盧建川，沈威.問題驅(qū)動(dòng)的中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)（復(fù)數(shù)與三角卷）[M].北京：清華大學(xué)出版社，2019。

四、 模仿與創(chuàng)新

模仿是學(xué)習(xí)的常用方法。在學(xué)習(xí)的某個(gè)時(shí)期，模仿可以提高學(xué)習(xí)的效率，有些課程（如外語）甚至只適合模仿，不能輕言創(chuàng)新。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也需要一個(gè)模仿的過程。對(duì)于學(xué)習(xí)，若一味強(qiáng)調(diào)創(chuàng)新，那是不切實(shí)際的，也注定是低效率的。

很多年前讀到一個(gè)留洋博士所寫的關(guān)于他的孩子在國(guó)內(nèi)外幼兒園學(xué)習(xí)繪畫的不同經(jīng)歷。文章介紹說，他的孩子在國(guó)內(nèi)的幼兒園學(xué)習(xí)繪畫時(shí)，教師通常是拿一幅畫掛在黑板前或者在黑板上臨時(shí)畫一幅畫，然后讓孩子們臨摹。孩子們畫好后問的第一句話一般是：“老師，我畫得像嗎？”他的孩子在國(guó)外的幼兒園學(xué)習(xí)繪畫時(shí)，教師通常是給個(gè)主題，如要求畫個(gè)太陽或畫個(gè)雞蛋，但并不給出示范。孩子們畫好后問的第一句話一般是：“老師，我畫得對(duì)嗎？”

文章作者想表達(dá)的是，國(guó)人從小便習(xí)慣了模仿，模仿成了從古到今的傳統(tǒng)。練毛筆字時(shí)要求人手一冊(cè)字帖，照著帖子書寫，看誰模仿得最像。這一傳統(tǒng)一直沿襲至今，那些學(xué)毛筆字的人必定找一本甚至若干本字帖來臨摹。

模仿對(duì)不對(duì)？是否必要？這個(gè)問題恐怕要一分為二地看。一個(gè)人如果連一點(diǎn)寫字的基本功都沒有，要靠自己摸索出一套寫字的方式，恐怕有點(diǎn)強(qiáng)人所難。王羲之的行書自成一體，但如果沒有早期的遍訪名家名帖，大概很難悟出一套獨(dú)特的書法。模仿對(duì)于初學(xué)者來說無疑是重要的，它是入門的捷徑。但如果一個(gè)人始終停留在模仿的層次，沒有自己獨(dú)特的領(lǐng)悟與建樹，哪怕最終模仿得惟妙惟肖，那最多只能稱作模仿秀。

當(dāng)然，有些東西只要能模仿出來也算不錯(cuò)。比如，一個(gè)人如果不是為了做書法家，能寫得一手好字，讓人賞心悅目，無論他的字像王羲之的行書還是顏真卿的楷書，都無傷大雅。只是，他可能永遠(yuǎn)成不了書法家，真正的書法家應(yīng)該有自己與眾不同的獨(dú)特風(fēng)格。

刷題本質(zhì)上是一種模仿，模仿已有的解題方法，采用題海戰(zhàn)術(shù)讓那些解題方法爛熟于胸，正所謂“熟能生巧”。為了應(yīng)付考試的刷題肯定是不可取的，但也不能矯枉過正，否認(rèn)解題的重要性。

就數(shù)學(xué)教育而論，思想當(dāng)然是最重要的，但思想需要載體，領(lǐng)會(huì)一種思想更需要載體，否則思想就變成了虛無縹緲、不著邊際的夸夸其談。比如，給學(xué)生講微積分的奇妙，它奇妙在何處、如何體現(xiàn)，總得通過適當(dāng)?shù)睦觼碚f明;而掌握一種思想更得親自實(shí)踐，看別人演示與自己實(shí)操是完全不同的，有時(shí)你聽起來似乎明白的東西，真正做起來就一籌莫展了，這就是缺少實(shí)踐的結(jié)果。

哈爾莫斯說過：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一方法是做數(shù)學(xué)?！笨梢?，錯(cuò)不在于做題，而是怎么做題。那種反反復(fù)復(fù)練熟練度的機(jī)械化訓(xùn)練固然不可取，但僅僅滿足于聽懂課、完成作業(yè)，同樣不可取。這就好比少林寺里的和尚練掃地、擔(dān)水功，那是一種基本功的訓(xùn)練。日后是練成真功夫還是花拳繡腿，全看基本功練得如何。拋開華麗的招式或抽象的外衣，剩下的就是最原始的基本功。

那么，怎么做題？做題與教學(xué)是一個(gè)道理。相對(duì)于很多新鮮名詞來說，“探究式教學(xué)”是個(gè)比較老的概念，但實(shí)際的教學(xué)過程如何？看看教材、聽聽課，就知道了。探究式教學(xué)的功能是什么？在我看來，探究的目的無非是培養(yǎng)學(xué)生的直覺與思辨能力。思辨作為哲學(xué)層面上的概念，在科學(xué)研究中充當(dāng)了十分重要的角色。然而，自從實(shí)驗(yàn)科學(xué)誕生之后，思辨就慢慢淡出了歷史舞臺(tái)。凡事皆實(shí)驗(yàn)，得不到實(shí)驗(yàn)證實(shí)或檢驗(yàn)的東西很難被人接受，“偽科學(xué)”一詞也隨之而產(chǎn)生。當(dāng)然，“偽科學(xué)”與“錯(cuò)誤的理論”不能混為一談：科學(xué)研究允許失敗;但明知錯(cuò)誤的東西還在廣為傳播，那就是偽科學(xué)了。

實(shí)驗(yàn)固然重要，但無論是什么學(xué)科，從產(chǎn)生到發(fā)展，都離不開直覺與思辨，直覺與思辨是創(chuàng)造的原動(dòng)力。即使是科學(xué)實(shí)驗(yàn)，也不是盲目地實(shí)驗(yàn)，需要以直覺與思辨為基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)作為思維科學(xué)尤其離不開直覺與思辨。思辨能力來自對(duì)問題的不斷深入剖析與辨別，思考、辨析的過程就是探究的過程。不少教師有此理念，但往往舍本逐末，或者分不清探究與驗(yàn)證之間的區(qū)別，將簡(jiǎn)單的驗(yàn)證或驗(yàn)算當(dāng)成了科學(xué)探究。

關(guān)于什么是真正的探究，可參見：曹廣福，張蜀青.問題驅(qū)動(dòng)的中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)（理論與實(shí)踐卷）[M].北京：清華大學(xué)出版社，2018。解題的道理是一樣的，建立在思辨基礎(chǔ)上而不是搜腸刮肚尋找現(xiàn)成方法的解題，正是激發(fā)創(chuàng)新能力的最好方式。在探究的過程中，直覺發(fā)揮了舉足輕重的作用。從某種意義上說，直覺是創(chuàng)新的源泉，一個(gè)人如果領(lǐng)悟不到一件事物的本質(zhì)，他就不可能創(chuàng)新，而這種領(lǐng)悟正是來自直覺。

五、 純粹與應(yīng)用

結(jié)合學(xué)生的生活、強(qiáng)調(diào)應(yīng)用，似乎成了判斷中學(xué)數(shù)學(xué)課堂是否合格的重要指標(biāo)之一。然而，中學(xué)課堂中一些所謂的應(yīng)用真的叫應(yīng)用嗎？

不妨以二次函數(shù)為例。這個(gè)內(nèi)容初中、高中都會(huì)涉及，且來看幾道中學(xué)的應(yīng)用題。

題1已知橋的拱是拋物線，頂點(diǎn)離水面4米，水面寬2米，寫出拋物線的方程。

這道題貌似結(jié)合了實(shí)際，但卻是一種虛假的結(jié)合。如果把題目改成“已知拋物線的一條橫截弦的長(zhǎng)為2，頂點(diǎn)到橫截弦的距離為4，求拋物線方程”，這兩種表述有實(shí)質(zhì)性差別嗎？

題2向上拋一個(gè)鐵球，鐵球的高度與時(shí)間的關(guān)系為h（t）=30t-5t2，

請(qǐng)問：

（1） 鐵球的高度能達(dá)到15米嗎？

（2） 鐵球的高度能達(dá)到20米嗎？

（3） 鐵球的高度能達(dá)到20.5米嗎？

……

鐵球的高度怎么來的？上述系列問題的邏輯層次是什么？

我們不妨重構(gòu)類似的題型：

柯受良曾開車飛越黃河壺口瀑布，請(qǐng)你分析一下，柯受良在汽車飛越坡面的那一刻應(yīng)該保持多少速度？坡面的坡度應(yīng)該是多少？汽車落地時(shí)的沖量是多少？承受汽車沖力的墊子應(yīng)該放在什么位置合適？

按理說，中學(xué)生學(xué)習(xí)了拋物線，又學(xué)習(xí)了自由落體，解決上述問題應(yīng)該是小菜一碟?？蓪W(xué)生真的都能解決嗎？如果解決不了，那他學(xué)的就是無用的拋物線。

中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，既要研究鐵球高度函數(shù)的圖像，又要研究鐵球?qū)嶋H運(yùn)動(dòng)的軌跡，這是兩個(gè)形狀相似卻意義完全不同的圖像——前者毫無意義，后者才有重要的科學(xué)價(jià)值?？墒?，把兩件事攪在一起，學(xué)生豈能不懵？

在一次訪談中，徐利治先生說：“數(shù)學(xué)教育不妨純粹一點(diǎn)，可以完全從數(shù)學(xué)的角度進(jìn)行數(shù)學(xué)教育?！彼囊馑际牵^分強(qiáng)調(diào)應(yīng)用往往會(huì)沖淡了數(shù)學(xué)自身的味道。從這個(gè)意義上說，徐先生的話有一定道理。

數(shù)學(xué)教育是否需要結(jié)合應(yīng)用？這個(gè)問題恐怕不能一概而論。有些數(shù)學(xué)理論的產(chǎn)生原本與其他學(xué)科沒有多大關(guān)系，完全出于數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展的需要，這時(shí)非要與應(yīng)用扯上關(guān)系，就有點(diǎn)牽強(qiáng)附會(huì)了。例如，集合論的產(chǎn)生源于微積分留下的問題，它與生活及自然科學(xué)并無直接關(guān)系，如何強(qiáng)化應(yīng)用？但有些數(shù)學(xué)理論的產(chǎn)生源于現(xiàn)實(shí)與自然科學(xué)，對(duì)于這樣的數(shù)學(xué)理論是否可以剝離促使它產(chǎn)生的背景就值得商榷了。例如，微積分與物理、天文有著深刻的淵源，微積分教育能剝離這個(gè)背景嗎？如果剝離了這個(gè)背景，不僅會(huì)讓原本生動(dòng)的理論顯得枯燥乏味，而且會(huì)使人產(chǎn)生空中樓閣的誤解。

數(shù)學(xué)教育到底該強(qiáng)調(diào)什么？數(shù)學(xué)理論本身還是數(shù)學(xué)應(yīng)用？也許有人認(rèn)為，對(duì)于數(shù)學(xué)專業(yè)的大學(xué)生應(yīng)該強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)理論，而對(duì)于中學(xué)生與非數(shù)學(xué)專業(yè)的大學(xué)生則應(yīng)該強(qiáng)調(diào)應(yīng)用。在我看來，兩者都有失偏頗。

從根本上看，數(shù)學(xué)教育不在于是否強(qiáng)調(diào)應(yīng)用，而在于是否抓住了構(gòu)建數(shù)學(xué)理論體系的真正問題。這些問題的出現(xiàn)也許源于數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾沖突，也許源于現(xiàn)實(shí)或自然科學(xué)的需要。為數(shù)學(xué)化而數(shù)學(xué)化，或者為實(shí)用化而實(shí)用化都是不可取的。因此，真正的數(shù)學(xué)教育應(yīng)是圍繞著促使概念、定理產(chǎn)生的問題展開，這種問題也許不是數(shù)學(xué)家當(dāng)初建立某個(gè)概念、發(fā)現(xiàn)某個(gè)定理的原始問題，但它應(yīng)該是教師（或教參編寫者）通過合情推理而設(shè)計(jì)的真正有價(jià)值的問題

關(guān)于這個(gè)問題，可參見：曹廣福，張蜀青.問題驅(qū)動(dòng)的中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)（理論與實(shí)踐卷）[M].北京：清華大學(xué)出版社，2018。。

遺憾的是，我們常常犯兩個(gè)錯(cuò)誤：一是走極端，片面強(qiáng)調(diào)某一個(gè)方面，這不是一線教師的問題，而是他們的指導(dǎo)者的問題;二是不倫不類的“生活化”“探究式”。

六、 教材與教參

基礎(chǔ)教育一直在不斷地改革，從新課標(biāo)到新教材，不斷推陳出新。對(duì)于新課標(biāo)，過去一些院士有過討論，認(rèn)為理念是好的，爭(zhēng)議之處在于內(nèi)容以及課程的體系。其實(shí)最關(guān)鍵的問題有兩個(gè)：一是教材編寫，二是教參編寫。

教材編寫主要有兩種方式。第一種是問題引導(dǎo)式，也就是針對(duì)每個(gè)章節(jié)的內(nèi)容設(shè)置一些問題，通過這些問題，師生就能明白為什么要學(xué)習(xí)這些內(nèi)容了。這種風(fēng)格與斯圖爾特（J.Stewart）的《微積分》頗為相似，但對(duì)編寫者的要求比較高。第二種是回歸傳統(tǒng)式，按照“概念—定理—證明—例題—練習(xí)”的體例進(jìn)行編寫，既不扯問題情境，也不談思想方法，讓教材成為純粹的知識(shí)載體，剩下的都交給教參與教師。這樣的教材編寫難度不大。不過，與其第一種方式做得不倫不類，不如回歸傳統(tǒng)，老老實(shí)實(shí)按數(shù)學(xué)內(nèi)容的完整體系來編寫。

教參對(duì)于教學(xué)具有非常重要的指導(dǎo)意義。拜讀過一些教參，客觀地說，有點(diǎn)差強(qiáng)人意，它們通常都是指出某節(jié)內(nèi)容的重點(diǎn)、難點(diǎn)，至于某章節(jié)到底需要解決什么問題則避而不談。在我看來，一本好的教參應(yīng)該由這樣幾個(gè)部分組成：

第一，某內(nèi)容大概需要多少課時(shí)。這是最基本的，當(dāng)然不是最重要的，教師自己一般也都知道。

第二，某內(nèi)容的重點(diǎn)、難點(diǎn)是什么。這個(gè)傳統(tǒng)的教參都有介紹。

第三，某內(nèi)容是為了解決什么問題。這是教參的核心與靈魂。如果是概念課，教參應(yīng)該指出概念因?yàn)槭裁炊a(chǎn)生;如果是原理課，教參應(yīng)該闡明原理的科學(xué)價(jià)值以及原理產(chǎn)生的背景，換句話說，概念、定理的產(chǎn)生是為了解決什么問題？以便給教師的教學(xué)提供參考。以基本不等式為例。從方法論意義上說，基本不等式是線性與非線性之間的轉(zhuǎn)換（算術(shù)平均是線性運(yùn)算，幾何平均是非線性運(yùn)算）;從科學(xué)價(jià)值上說，通過基本不等式可以對(duì)代數(shù)式進(jìn)行伸縮變換從而完成估計(jì)，無論是最值問題還是不等式的證明都是如此，這是一種重要的思想方法。諸如此類的內(nèi)容，有哪本教參提及過？任何科學(xué)的產(chǎn)生都源于問題，課堂的核心應(yīng)該是引導(dǎo)學(xué)生明白怎么去解決問題，在分析問題的過程中逐步建立概念與定理，問題正是在概念與定理的建立過程中解決的。數(shù)學(xué)與自然科學(xué)一樣，是在不斷解決問題的過程中形成的，再創(chuàng)造過程當(dāng)然也應(yīng)該是解決問題的過程。

第四，如何創(chuàng)建合適的問題情境。誠(chéng)如弗賴登塔爾所說，“數(shù)學(xué)教育應(yīng)該結(jié)合學(xué)生的生活體驗(yàn)與數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”，有了問題，還需要合適的情境，將問題嵌入到該情境中形成問題情境。因?yàn)閿?shù)學(xué)家分析問題與解決問題的過程未必適合用來教學(xué)，教師需要將其轉(zhuǎn)換成符合學(xué)生認(rèn)知能力的過程。

第五，如何引導(dǎo)學(xué)生探究?，F(xiàn)實(shí)中，誤把驗(yàn)證當(dāng)探究的情境并不罕見。驗(yàn)證與探究貌似有著相似的特征，但有著本質(zhì)的不同。驗(yàn)證是在目標(biāo)明確的情況下設(shè)法通過某種方式進(jìn)行檢驗(yàn)，而探究則是在目標(biāo)不明確的情況下發(fā)現(xiàn)某種具有規(guī)律性的東西。以對(duì)數(shù)運(yùn)算法則為例，中學(xué)教材給出了M與N各一組數(shù)，讓學(xué)生計(jì)算lg（MN）與lgM+lgN，然后比較計(jì)算出來的這兩組數(shù)。讓學(xué)生比較這兩個(gè)數(shù)，無異于已經(jīng)告訴學(xué)生這兩個(gè)數(shù)是有關(guān)系的了，那還探究什么？何況由于給出的不是特殊的數(shù)，學(xué)生得到的都是近似數(shù)，根本不可能看出兩者之間的關(guān)系，最后還得教師牽強(qiáng)附會(huì)地“總結(jié)”出運(yùn)算法則來。在這個(gè)運(yùn)算法則的教學(xué)過程中，最重要的是學(xué)生能不能在教師引導(dǎo)下發(fā)現(xiàn)lg（MN）與lgM+lgN之間的內(nèi)在關(guān)系。教師完全可以通過幾組很特殊的數(shù)，如1億乘10億等的計(jì)算來比較，因?yàn)閷W(xué)生已經(jīng)知道對(duì)數(shù)的概念了，很容易通過這個(gè)簡(jiǎn)單的計(jì)算發(fā)現(xiàn)lg（MN）與lgM+lgN之間的關(guān)系。在此基礎(chǔ)之上，不妨像教材那樣再給出幾組稍微一般的數(shù)，讓學(xué)生通過計(jì)算來比較兩者是不是的確有這種關(guān)系，最后再給出證明。這才是探究式教學(xué)。

有了這樣的教參，教師自己就能把自己培養(yǎng)成一個(gè)好教師。

七、 傳統(tǒng)課堂與網(wǎng)絡(luò)課堂

教育改革的一項(xiàng)重要內(nèi)容是現(xiàn)代化教育技術(shù)的運(yùn)用。與傳統(tǒng)教學(xué)相比，網(wǎng)絡(luò)教學(xué)效果到底如何？網(wǎng)絡(luò)課堂真的可能取代傳統(tǒng)課堂嗎？如果師生有選擇權(quán)，我相信，網(wǎng)絡(luò)課堂永遠(yuǎn)無法取代傳統(tǒng)課堂！課堂教學(xué)不只是單一的知識(shí)傳授，它還包括很多很多。師生之間的一句對(duì)話、一個(gè)對(duì)視，教師的舉手投足等在教育中都發(fā)揮著重要作用。教育不僅需要有聲的語言，還需要一種無聲的語言，這就是教師的肢體語言;感染學(xué)生的不僅有聲音，還可能有形象與無形的氣場(chǎng)。

對(duì)于同一門課程，不同教師的教學(xué)效果可能大不相同。從這個(gè)意義上說，優(yōu)質(zhì)資源的共享是值得提倡的，但這種優(yōu)質(zhì)資源只適宜作為常規(guī)教學(xué)的一種補(bǔ)充。一個(gè)教師能面對(duì)的學(xué)生畢竟是有限的，幾十分鐘的課堂主講勉強(qiáng)可做，但還有許多教學(xué)環(huán)節(jié)不是網(wǎng)課能夠完成的。我們不是一直提倡要以學(xué)生為主體，要以生為本嗎？一個(gè)教師如果面對(duì)數(shù)以百計(jì)甚至以千萬計(jì)的虛擬網(wǎng)絡(luò)中的學(xué)生，還如何以生為本？還如何實(shí)行師生互動(dòng)？教學(xué)水平再怎么高，他也難以勝任大規(guī)模的課堂教學(xué)，否則，那就不是教學(xué)，而是講座！我們不應(yīng)該將課堂教學(xué)與講座、報(bào)告混為一談，它們之間有著本質(zhì)的區(qū)別。

話說回來，網(wǎng)絡(luò)教學(xué)有沒有存在的價(jià)值？不僅有，而且大有用武之地，主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

第一，可以作為傳統(tǒng)教學(xué)的補(bǔ)充。正如學(xué)生在教材之外還可以參考其他書籍一樣，學(xué)生在傳統(tǒng)課堂之外還可以看看網(wǎng)絡(luò)視頻，讓兩者相互補(bǔ)充。

第二，建設(shè)課堂教學(xué)之外的網(wǎng)絡(luò)資源，把學(xué)生從沉重的書包中解放出來。誠(chéng)然，現(xiàn)階段的條件還很難讓每個(gè)地區(qū)的每個(gè)學(xué)生都能享受到這些資源。

第三，師生的課外交流。學(xué)生以往除了在課堂上、學(xué)校里，很少有機(jī)會(huì)及時(shí)與老師交流，通過合適的網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)，可以留言或與老師在線交流。

第四，網(wǎng)絡(luò)培訓(xùn)。利用網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)開展大規(guī)模的師資培訓(xùn)，可以節(jié)省大量的人力物力。

第五，網(wǎng)絡(luò)教學(xué)交流與研討。各個(gè)學(xué)校經(jīng)常進(jìn)行一些課堂教學(xué)交流，但不同地區(qū)、不同學(xué)校教師之間的交流常常受到空間與時(shí)間以及經(jīng)濟(jì)水平等各種客觀條件的制約，而一根網(wǎng)線便可以在任何地區(qū)、任何學(xué)校之間建立聯(lián)系。

由此可見，教育資源網(wǎng)絡(luò)化勢(shì)在必行，但不應(yīng)該是我們?cè)纫詾榈哪菢印?/p>

八、 師范教育與師資

在高等教育改革大潮中，有一個(gè)領(lǐng)域多少處于比較尷尬的位置。師范院校朝綜合化方向發(fā)展，評(píng)價(jià)指標(biāo)也向綜合性大學(xué)看齊，學(xué)科教育泛教育化，很多師范院校建了教師教育學(xué)院，各個(gè)學(xué)科便不再有師范專業(yè)，筆者以為，由此帶來的危害是不言而喻的。

這里，并非指教育學(xué)、心理學(xué)不重要，而是它們?cè)趯W(xué)科教育方面只具備宏觀的指導(dǎo)意義，要真正搞好基礎(chǔ)教育，就必須強(qiáng)化學(xué)科背景而不是淡化學(xué)科背景。尤其在中學(xué)階段，教師沒有厚實(shí)的專業(yè)基礎(chǔ)與學(xué)科素養(yǎng)及眼界，很難想象他能把書教好！從這個(gè)意義上說，淡化師范院校的泛教育性質(zhì)、強(qiáng)化專業(yè)基本功與素養(yǎng)的培養(yǎng)無疑是重要的。換句話說，我們不應(yīng)該將專業(yè)人才培養(yǎng)與師范教育割裂開來，而應(yīng)該合二為一，在強(qiáng)化專業(yè)基礎(chǔ)的同時(shí)適當(dāng)考慮教育基礎(chǔ)。

在我看來，教育學(xué)、心理學(xué)對(duì)于小學(xué)教育或許是很重要的，但對(duì)于中學(xué)教育，它應(yīng)該建立在堅(jiān)實(shí)的專業(yè)理論基礎(chǔ)之上，否則，它就是一個(gè)中看不中用的繡花枕頭！

由此看我們的師資培訓(xùn)，也存在類似的問題。我們的國(guó)培、省培以及市培花了大量的人力物力，效果如何？有沒有認(rèn)真做過績(jī)效評(píng)價(jià)？培訓(xùn)課程中有多少面向?qū)W科的專業(yè)基礎(chǔ)性培訓(xùn)？對(duì)學(xué)員專業(yè)素養(yǎng)與眼界的提升有多大幫助？對(duì)他們?nèi)蘸蟮慕虒W(xué)發(fā)揮了多少作用？有沒有在學(xué)員中做廣泛的調(diào)查研究？是否了解過學(xué)員們的需求？這些都是各級(jí)師資培訓(xùn)部門應(yīng)該認(rèn)真思考的問題。

九、 結(jié)語

教育是百年大計(jì)，關(guān)乎國(guó)家的未來，一個(gè)國(guó)家國(guó)民素質(zhì)孰高孰低，科技實(shí)力孰強(qiáng)孰弱，無不取決于教育。數(shù)學(xué)作為重要的基礎(chǔ)性學(xué)科，在培養(yǎng)人的綜合素質(zhì)、思維品質(zhì)、創(chuàng)新能力等方面充當(dāng)了無可替代的角色。因此，建立一個(gè)適合中國(guó)國(guó)情、科學(xué)合理的數(shù)學(xué)教育體系與高水平的師資隊(duì)伍，是我們面臨的重要任務(wù)。只有深入了解現(xiàn)行教育中存在的不足，才能真正清楚教育改革的方向，避免無的放矢。希望本文能為此發(fā)揮些許作用。

參考文獻(xiàn)：

[1]弗賴登塔爾.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)[M].陳昌平，唐瑞芬，等譯.上海：上海教育出版社，1995.

[2]曹廣福，張蜀青.問題驅(qū)動(dòng)的中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)（理論與實(shí)踐卷）[M].北京：清華大學(xué)出版社，2018.

[3]曹廣福，盧建川，沈威.問題驅(qū)動(dòng)的中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)（復(fù)數(shù)與三角卷）[M].北京：清華大學(xué)出版社，2019.

（曹廣福，華南農(nóng)業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院教授，博士生導(dǎo)師。國(guó)務(wù)院政府特殊津貼專家。全國(guó)數(shù)學(xué)教育研究會(huì)副理事長(zhǎng)。曾獲教育部第一屆高等學(xué)校教學(xué)名師獎(jiǎng)和國(guó)家基礎(chǔ)教育教學(xué)成果獎(jiǎng)，入選國(guó)家“萬人計(jì)劃”領(lǐng)軍人才教學(xué)名師。長(zhǎng)期從事基礎(chǔ)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育研究。）