基于改進(jìn)傅里葉變換的電子音樂信號(hào)降噪算法

趙晶晶 張曉娜

摘 ?要： 針對(duì)以往電子音樂信號(hào)降噪算法因未在降噪處理前分離無噪聲電子音樂信號(hào)以及噪聲信號(hào)，導(dǎo)致無法全面清除噪音，提出一種基于改進(jìn)傅里葉變換的電子音樂信號(hào)降噪算法。該算法對(duì)電子音樂信號(hào)進(jìn)行魯棒主成分分析，將電子音樂信號(hào)轉(zhuǎn)化為低秩矩陣以及稀疏大噪聲矩陣之和，通過核范數(shù)優(yōu)化方法優(yōu)化以上矩陣之和，有效分離無噪聲電子音樂信號(hào)以及噪聲信號(hào)，利用改進(jìn)傅里葉變換算法即小波變換算法進(jìn)行電子音樂信號(hào)降噪處理時(shí)，通過經(jīng)典閾值方法選取最優(yōu)閾值，依據(jù)該閾值選取閾值濾波法進(jìn)行電子音樂信號(hào)的小波系數(shù)處理，去除噪聲信號(hào)的小波系數(shù)，通過小波逆變換濾波后的信號(hào)獲取降噪后電子音樂信號(hào)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該算法可以清晰地將電子音樂信號(hào)與噪聲信號(hào)分離，并有效去除噪聲信號(hào)，信號(hào)還原度高，且對(duì)10種電子音樂信號(hào)進(jìn)行降噪能量損失量均低于2%。

關(guān)鍵詞： 電子音樂; 信號(hào)降噪; 傅里葉變換; 矩陣優(yōu)化; 閾值選取; 小波系數(shù)處理

中圖分類號(hào)： TN911.7?34; TP391 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號(hào)： 1004?373X（2020）07?0043?05

An electronic music signal denoising algorithm based on improved Fourier transform

ZHAO Jingjing， ZHANG Xiaona

（Shijiazhuang University， Shijiazhuang 050035， China）

Abstract： The previous electronic music signal noise reduction algorithm failed to separate the non?noise electronic music signal and noise signal before noise reduction， so the noise could not be completely removed. A kind of electronic music signal noise reduction algorithm based on the improved Fourier transform is put forward. By this algorithm， the robust principal component analysis for the electronic music signals is carried out， and the electronic music signal is converted into the sum of low rank matrix and sparse big noise matrix. Then， the sum of above the matrixes， the effectively?separated electronic music signal and noise signal are optimized via the nuclear matrix norm optimization method to without noise. When the electronic music signal noise reduction processing is performed by using the improved Fourier transform algorithm， that is， wavelet transform algorithm， the optimal threshold is selected with the classical threshold method. According to this threshold value， the threshold value filtering method is selected for wavelet coefficient processing of the electronic music signal to remove the wavelet coefficients of the noise signal. The denoised electronic music signal is obtained by means of the signal after wavelet inverse transformation filtering. The experimental results show that this algorithm can clearly separate electronic music signal from noise signal， effectively remove noise signal （the denoised signal has high reduction degree）， and make the energy loss less than 2% while 10 kinds of electronic music signals are denoised.

Keywords： electronic music; signal denoising; Fourier transform; matrix optimization; threshold value selection; wavelet coefficient processing

0 ?引 ?言

電子音樂是指由電子樂器創(chuàng)造，利用電子音樂技術(shù)制作的音樂。電子音樂以其獨(dú)特的音樂風(fēng)格吸引了大批愛好音樂的人，隨著電子音樂的普及，人們?cè)絹碓街匾曤娮右魳返馁|(zhì)量，電子音樂信號(hào)降噪近年來得到學(xué)者以及專家的極度重視[1]。電子音樂信號(hào)降噪是保留具有價(jià)值的音樂信號(hào)，消除噪聲對(duì)電子音樂信號(hào)的干擾。在遠(yuǎn)距離場(chǎng)景進(jìn)行電子音樂錄音時(shí)，噪聲與音樂信號(hào)距離較遠(yuǎn)，因此電子音樂信號(hào)中存在大量高斯分布噪聲;而近距離場(chǎng)景下進(jìn)行電子音樂錄音時(shí)，電子音樂信號(hào)中主要噪聲為稀疏大噪聲，稀疏大噪聲呈現(xiàn)時(shí)間稀疏性，主要特點(diǎn)為不確定性，持續(xù)時(shí)間通常在3 s左右，且噪聲強(qiáng)度與電子音樂強(qiáng)度幾乎相同。對(duì)電子音樂信號(hào)降噪處理時(shí)，如何避免破壞無噪聲電子音樂信號(hào)，是電子音樂降噪的重要部分。

目前應(yīng)用于電子音樂信號(hào)降噪的算法主要為傳統(tǒng)傅里葉變換算法，該算法利用噪聲與電子音樂信號(hào)頻率差異進(jìn)行降噪，對(duì)于處理具有固定頻率段的高斯噪聲效果較好[2]。電子音樂信號(hào)中噪聲主要為稀疏大噪聲，通過該算法進(jìn)行降噪效果并不明顯，而小波變換算法是傅里葉變換的發(fā)展，是改進(jìn)傅里葉變換的一種有效處理電子音樂信號(hào)中稀疏大噪聲的降噪算法。本文提出一種基于改進(jìn)傅里葉變換的電子音樂信號(hào)降噪算法，將改進(jìn)傅里葉變換算法即小波變換算法應(yīng)用于電子音樂降噪中，首先對(duì)電子音樂信號(hào)進(jìn)行魯棒主成分分析，通過分析檢測(cè)電子音樂信號(hào)中具體噪聲位置[3]，將電子音樂信號(hào)與噪聲信號(hào)進(jìn)行有效分離，再對(duì)經(jīng)過魯棒主成分分析后的電子音樂信號(hào)通過改進(jìn)傅里葉變換算法進(jìn)行有效降噪處理[4]。

1 ?電子音樂信號(hào)降噪算法

1.1 ?魯棒主成分分析

主成分分析是一種用于分析非隨機(jī)變量以及隨機(jī)向量的方法，可有效應(yīng)用于分析電子音樂信號(hào)中稀疏大噪聲數(shù)據(jù)[5]。魯棒主成分分析的主要過程為：將電子音樂信號(hào)轉(zhuǎn)化為低秩矩陣以及稀疏大噪聲矩陣之和，利用核范數(shù)優(yōu)化方法獲取以上矩陣和的解。通過魯棒主成分分析可有效分離無噪聲電子音樂信號(hào)以及噪聲信號(hào)[6]。

通過主成分線性組合代替原變量的方法為魯棒主成分分析法，設(shè)所錄制電子音樂信號(hào)矩陣為[M=K+N]，其中，[K]為無噪聲電子音樂信號(hào)矩陣，[N]為噪聲矩陣。設(shè)矩陣[N]符合高斯分布，可得：

[minK，NNFs.t. ? ?rankK≤r， ? ?M=K+N] （1）

求解式（1），獲取電子音樂信號(hào)矩陣最優(yōu)解，其中矩陣[N]的Frobenius范數(shù)用[NF]表示。

電子音樂信號(hào)中含有的稀疏大噪聲與無噪聲音樂信號(hào)強(qiáng)度基本相同，因此將魯棒主成分分析法應(yīng)用于電子音樂降噪中，將錄制電子音樂降噪問題轉(zhuǎn)化為雙目標(biāo)優(yōu)化問題，見式（2）：

[minK，NrankK，N0s.t. ? ?M=K+N] （2）

將非負(fù)參數(shù)[λ]代入式（2）中獲取無噪聲電子音樂信號(hào)矩陣[K]，式（2）可轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)優(yōu)化問題，見式（3）：

[minK，NrankK+γN0s.t. ? ?M=K+N] （3）

核范數(shù)[K]為[rankK]的凸包，[N1]為[N0]的包絡(luò)，因此凸松弛式（3），可得：

[minK，NK?+λN1s.t. ? ?M=K+N] （4）

通過優(yōu)化式（4）可獲取魯棒成分分析問題的解，利用優(yōu)化后魯棒成分分析問題的解有效分離電子音樂信號(hào)中的稀疏大噪聲以及無噪聲電子音樂信號(hào)，通過改進(jìn)傅里葉變換算法即小波變換算法對(duì)優(yōu)化后的電子音樂信號(hào)進(jìn)行降噪處理[7]。

1.2 ?小波變換算法

采用小波變換算法處理魯棒主成分分析后的電子音樂信號(hào)矩陣。小波變換問題是通過傅里葉變換進(jìn)行改進(jìn)的有效降噪算法。

小波變換算法具體過程如下：

設(shè)[Ψt∈L2R]，其中，[L2R]的傅里葉變換為[ψω]，[L2R]表示音樂信號(hào)平方可積的實(shí)數(shù)空間。[ψω]符合[Cψ=Rψω2ωdω<∞]條件時(shí)，則[Ψt]表示母小波或者基本小波。伸縮以及平移母函數(shù)[Ψt]后可獲取小波序列，小波序列在連續(xù)情況下公式如下：

[Ψa，bt=1aΨt-ba， ? ?a，b∈R;a≠0] （5）

式中：[a]與[b]分別表示伸縮因子以及平移因子，小波序列在離散情況下公式如下：

[Ψj，kt=2-j/2Ψ2-jt-k， ? ?j，k∈Z] （6）

連續(xù)小波變化公式如下：

[Wfa，b=f，Ψa，bt=a-1/2RftΨt-badt] （7）

式（7）的逆變換公式如下：

[ft=1CψR(shí)?R1a2Wfa，bΨt-badadb] （8）

式（8）中基本小波信號(hào)[Ψt]為解析信號(hào)時(shí)可能為復(fù)數(shù)信號(hào)。通過伸縮因子[a]伸縮基本小波，伸縮因子[a]與[Ψta]成正比。

經(jīng)魯棒主成分分析處理后的電子音樂信號(hào)矩陣，[M=K+N]經(jīng)小波變換后公式如下：

[w=θ+η] （9）

式中：[w=WM];[θ=WK];[η=WN];[W（·）]表示小波變換。

通過小波基令所有電子音樂信號(hào)能量集中在變換域內(nèi)少數(shù)小波系數(shù)中，通常噪聲的小波系數(shù)值小于電子音樂信號(hào)的小波系數(shù)值，因此選擇合適的小波基即可對(duì)電子音樂信號(hào)噪聲進(jìn)行有效去除，通過信號(hào)類別與特性選取最優(yōu)小波基。本文選取閾值濾波法進(jìn)行電子音樂信號(hào)的小波系數(shù)處理[8]，以閾值為標(biāo)準(zhǔn)保留或修正小波系數(shù)，可通過硬閾值濾波以及軟閾值濾波兩種方法處理電子音樂信號(hào)的小波系數(shù)。

硬閾值濾波：

[Th=fi， ? ? fi>λ0， ? ? else] （10）

在硬閾值濾波中，[fi]表示小波系數(shù)，將小波系數(shù)絕對(duì)值與閾值[λ]進(jìn)行對(duì)比，對(duì)大于閾值[λ]以及小于閾值[λ]的小波系數(shù)分別進(jìn)行保留以及歸0處理[9]。

軟閾值濾波：

[Th=sgnfifi-λ， ? ?fi>λ0， ? ? else] （11）

在軟閾值濾波中，將小波系數(shù)絕對(duì)值與閾值[λ]進(jìn)行對(duì)比，對(duì)大于閾值[λ]以及小于閾值[λ]的小波系數(shù)分別進(jìn)行壓縮保留以及歸0處理。

選取最優(yōu)閾值以及閾值量化過程直接決定了電子音樂信號(hào)降噪質(zhì)量[10]，利用經(jīng)典閾值方法選取最優(yōu)閾值公式如下：

[λ=σn2log2L] ? ? ? ? ? ?（12）

式中[σn]與[L]分別表示加性噪聲標(biāo)準(zhǔn)差以及小波系數(shù)總數(shù)量。

噪聲信號(hào)的小波系數(shù)利用小波降噪的閾值濾波去除，通過小波逆變換濾波后信號(hào)獲取降噪后電子音樂信號(hào)公式如下：

[fi=W-1TWfi] （13）

電子音樂信號(hào)降噪實(shí)質(zhì)為在電子音樂信號(hào)[M=K+N]中，通過小波變換算法濾除[N]，使電子音樂信號(hào)轉(zhuǎn)變?yōu)閇M=K]。通過小波變換算法對(duì)經(jīng)過魯棒主成分分析的電子音樂信號(hào)進(jìn)行降噪后，通過閾值處理信號(hào)小波分解系數(shù)，實(shí)現(xiàn)電子音樂信號(hào)重建，獲取濾除噪聲后的電子音樂信號(hào)。

2 ?仿真實(shí)驗(yàn)

為檢測(cè)本文基于改進(jìn)傅里葉變換的電子音樂信號(hào)降噪算法對(duì)電子音樂信號(hào)的降噪效果，采用本文算法對(duì)加入噪聲的經(jīng)典電子音樂Animals進(jìn)行降噪，檢測(cè)本文算法的降噪性能，并將本文算法與傳統(tǒng)傅里葉變換算法以及時(shí)域算法進(jìn)行對(duì)比。原始電子音樂Animals信號(hào)波形圖如圖1所示。

在原始電子音樂信號(hào)中加入不規(guī)則的說話噪聲，噪聲來源于開源數(shù)據(jù)庫(kù)，加入噪聲后電子音樂信號(hào)波形圖如圖2所示。

分別采用三種算法對(duì)加入噪聲的電子音樂信號(hào)進(jìn)行降噪處理。采用本文算法對(duì)加入噪聲的電子音樂信號(hào)進(jìn)行降噪處理后結(jié)果如圖3所示。

通過圖3可以看出，采用本文算法進(jìn)行降噪處理的電子音樂信號(hào)與原電子音樂信號(hào)基本一致，說明本文算法可以清晰地將電子音樂信號(hào)與噪聲信號(hào)分離，并有效去除噪聲信號(hào)，具有較高的還原度，說明本文算法是一種有效的降噪算法。

采用傳統(tǒng)傅里葉變換算法對(duì)加入噪聲的電子音樂信號(hào)進(jìn)行降噪處理后信號(hào)波形圖如圖4所示。

通過圖4實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，采用傳統(tǒng)傅里葉變換算法對(duì)加入噪聲的電子音樂信號(hào)進(jìn)行降噪，降噪效果并不明顯，且部分原始電子音樂信號(hào)被誤去除，說明傳統(tǒng)傅里葉變換算法未能有效對(duì)加入噪聲的電子音樂信號(hào)進(jìn)行降噪。

采用時(shí)域算法對(duì)加入噪聲的電子音樂信號(hào)進(jìn)行降噪處理后波形圖如圖5所示。

通過圖5實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，采用時(shí)域算法對(duì)加入噪聲的電子音樂信號(hào)進(jìn)行降噪，僅能去除少量噪聲，并未有效將加入的噪聲全部去除，說明時(shí)域算法對(duì)電子音樂信號(hào)降噪效果較差。

通過試聽采用三種算法進(jìn)行降噪處理的電子音樂，試聽結(jié)果顯示，采用本文算法降噪處理的電子音樂音質(zhì)與原始電子音樂音質(zhì)基本相同，而采用傳統(tǒng)傅里葉變換算法以及時(shí)域算法進(jìn)行降噪的電子音樂噪聲明顯，且部分原始電子音樂丟失。通過對(duì)比采用三種算法降噪后電子音樂信號(hào)波形圖以及試聽結(jié)果，可知本文算法不僅可有效去除電子音樂信號(hào)噪聲，且可恢復(fù)原始電子音樂聽覺效果。

為進(jìn)一步檢測(cè)本文算法的降噪性能，選取信噪比以及音頻質(zhì)量感知兩種指標(biāo)評(píng)價(jià)三種降噪算法的降噪性能。其中，信噪比作為評(píng)價(jià)降噪性能的標(biāo)準(zhǔn)被廣泛應(yīng)用于各種圖像以及音樂的降噪性能檢測(cè)中，電子音樂僅追求高信噪比容易導(dǎo)致聽覺效果變差，因此，利用信噪比和音頻質(zhì)量感知兩種評(píng)價(jià)指標(biāo)綜合評(píng)價(jià)三種算法對(duì)電子音樂信號(hào)的降噪效果。

信噪比是對(duì)電子音樂信號(hào)進(jìn)行降噪處理后電子音樂信號(hào)與噪聲的比值，單位為dB，信噪比比值結(jié)果越高表示電子音樂信號(hào)中噪聲越少。

音頻質(zhì)量感知是通過人耳主觀意識(shí)感知獲取信號(hào)的掩蔽閾值以及失真閾值，通過人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法將以上兩個(gè)閾值相結(jié)合獲取的綜合評(píng)價(jià)參數(shù)。音頻質(zhì)量感知評(píng)價(jià)結(jié)果通常為負(fù)數(shù)，數(shù)值越大表示降噪后電子音樂信號(hào)與原始電子音樂信號(hào)差異越小，即降噪后電子音樂質(zhì)量越好。

選取10種經(jīng)典電子音樂，在10種電子音樂中分別加入喝彩聲以及摩托車聲兩種噪聲，采用三種算法分別對(duì)加入噪聲的電子音樂信號(hào)進(jìn)行降噪，降噪結(jié)果見表1，表2。

通過表1和表2采用三種算法對(duì)加入不同噪聲的電子音樂信號(hào)降噪處理結(jié)果可以看出：采用本文算法對(duì)10種含有不同噪聲的電子音樂信號(hào)進(jìn)行降噪后，信噪比明顯高于傳統(tǒng)傅里葉變換算法以及時(shí)域算法，音頻質(zhì)量感知明顯高于傳統(tǒng)傅里葉變換算法以及時(shí)域算法，說明采用本文算法對(duì)電子音樂信號(hào)進(jìn)行降噪，降噪后電子音樂信號(hào)中包含噪聲最少，且降噪后電子音樂質(zhì)量最高，驗(yàn)證了本文算法的降噪性能。

選取電子音樂信號(hào)能量損失量檢測(cè)三種算法降噪后電子音樂信號(hào)的信息丟失情況，電子音樂信號(hào)能量損失量越小表示丟失信息越少。三種算法對(duì)10種加入摩托車噪聲的電子音樂信號(hào)進(jìn)行降噪后信號(hào)能量損失量如圖6所示。

通過圖6實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，采用本文算法對(duì)電子音樂信號(hào)進(jìn)行降噪的信號(hào)能量損失量最低，10種電子音樂的信號(hào)能量損失量均在2%以下，而采用傳統(tǒng)傅里葉變換算法以及時(shí)域算法對(duì)10種電子音樂進(jìn)行降噪處理后的信號(hào)能量損失量明顯高于采用本文算法進(jìn)行降噪后的電子音樂信號(hào)，說明采用本文算法進(jìn)行降噪后電子音樂信號(hào)信息丟失情況較低，再次驗(yàn)證了本文算法的降噪性能。

3 ?結(jié) ?語

傳統(tǒng)傅里葉變換算法無法有效對(duì)電子音樂信號(hào)中含有的稀疏大噪聲進(jìn)行降噪處理，本文采用改進(jìn)傅里葉變換算法即小波變換算法對(duì)電子音樂信號(hào)進(jìn)行降噪。先對(duì)原始電子音樂信號(hào)進(jìn)行魯棒主成分分析，有效分離電子音樂信號(hào)以及噪聲信號(hào)，再利用小波變換算法對(duì)經(jīng)過魯棒主成分分析后的電子音樂信號(hào)進(jìn)行降噪處理。為檢測(cè)該算法的有效性，進(jìn)行大量實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文算法可有效對(duì)加入不同噪聲的電子音樂信號(hào)進(jìn)行降噪，且經(jīng)過降噪處理后的電子音樂音質(zhì)較好，驗(yàn)證了本文算法的降噪性能，說明本文算法可應(yīng)用于實(shí)際錄音后未經(jīng)處理的電子音樂信號(hào)降噪中。

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