對伏安法測電阻的進(jìn)一步思考

王佳

摘 ? 要：現(xiàn)在高二物理的很多教輔書上《恒定電流》一章幾乎都有關(guān)于電流表內(nèi)接法和外接法如何進(jìn)行選擇的分析和討論，并最終形成了依據(jù)某一臨界值進(jìn)行選擇的結(jié)論。進(jìn)一步計(jì)算發(fā)現(xiàn)這一臨界值并不準(zhǔn)確。文中計(jì)算出了準(zhǔn)確的臨界值，并討論了若依據(jù)不準(zhǔn)確的臨界值進(jìn)行內(nèi)接法和外接法的選擇是否會出現(xiàn)選擇錯誤等問題。

關(guān)鍵詞：內(nèi)接法;外接法;相對誤差;臨界值

中圖分類號：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A ? ?文章編號：1003-6148（2020）5-0071-2

在人教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《物理》（選修3-1）《恒定電流》一章中有一個很重要的實(shí)驗(yàn)“伏安法測電阻”。雖然并沒有直接要求學(xué)生到實(shí)驗(yàn)室里去完成“伏安法測電阻”的實(shí)驗(yàn)，但它的實(shí)驗(yàn)原理中關(guān)于電流表的內(nèi)接法和外接法的選擇以及滑動變阻器分壓式接法和限流式接法的選擇在后面的實(shí)驗(yàn)“描繪小燈泡的伏安特性曲線”和“測金屬絲的電阻率”中都有著很直接的應(yīng)用。而且很多高考電學(xué)實(shí)驗(yàn)題也是基于“伏安法測電阻”的基本原理在進(jìn)行考查。

在“伏安法測電阻”中怎樣去確定電流表是采用內(nèi)接法還是外接法呢？關(guān)于這一點(diǎn)教材中并沒有直接討論這個問題。但在學(xué)生使用的很多教輔書中都會著重分析，一般都是采用如下方法分析。

如圖1，在內(nèi)接法中，電壓表示數(shù)UV=UR+UA>UR，電流表示數(shù)IA=IR，R = > =Rx。在外接法中，電壓表示數(shù)UV=UR，電流表示數(shù)IA=IR+IV>IR，R = < =Rx。所以，不論內(nèi)接法還是外接法，都存在系統(tǒng)誤差。內(nèi)接法中測量值偏大，外接法中測量值偏小。那么，在實(shí)際的應(yīng)用中應(yīng)該如何確定到底選擇哪一種接法呢？

我們在很多教輔書上都可以看到如下的分析過程。在內(nèi)接法中，系統(tǒng)誤差來源于電流表分壓，UV=UR+UA>UR，那么由于電壓測量值偏大而引入的相對誤差為σ1= ×100%= ×100%，由于電流表和電阻Rx是串聯(lián)關(guān)系，所以σ1= ×100%= ×100%。在外接法中，系統(tǒng)誤差來源于電壓表分流IA=IR+IV>IR，那么由于電流測量值偏大而引入的相對誤差為σ2= ×100%= ×100%，由于電壓表和電阻Rx是并聯(lián)關(guān)系，所以σ2= ×100%= ×100%。若兩種情況下的相對誤差相等，σ1=σ2，由此不難得到 = ，即Rx= 。以此值為界，當(dāng)Rx> 時(shí)，此時(shí)σ1<σ2，故應(yīng)采用內(nèi)接法;當(dāng)Rx< 時(shí)，此時(shí)σ1>σ2，故應(yīng)采用外接法。

但是，內(nèi)接法中由于電壓測量不準(zhǔn)確引起的相對誤差和外接法中由于電流測量不準(zhǔn)確引起的相對誤差真的就是電阻測量的相對誤差嗎？即：當(dāng)Rx= 時(shí)，兩種接法測量電阻的相對誤差真的是相等的嗎？

我們舉一個簡單的例子。假設(shè)RA=10 Ω，RV=1000 ?Ω，若此時(shí)Rx剛好滿足Rx= =100 Ω。接下來我們分別計(jì)算一下兩種接法引入的相對誤差。若采用內(nèi)接法，R = =RA+Rx，再根據(jù)相對誤差σ內(nèi)= ×100%，可得σ內(nèi)= ×100%。帶入數(shù)據(jù)，可得σ內(nèi)=10%。若采用外接法，R = = ，再根據(jù)相對誤差σ外= ×100%，可得σ外= 100%。帶入數(shù)據(jù)，可得σ外= ×100%≈9.1%?？梢?，當(dāng)Rx= 時(shí)，采用不同的接法，電阻測量的相對誤差其實(shí)是有差異的。

若此時(shí)依據(jù)兩種接法引入的電阻測量相對誤差剛好相等，即 = ，進(jìn)一步計(jì)算可得出只有當(dāng)Rx= 時(shí)，兩種接法測量電阻的相對誤差才是完全相等的。而且這里算出的臨界值應(yīng)該比前面依據(jù)電流或電壓測量相對誤差相等時(shí)所算出的臨界值Rx= 稍微偏大一些。

那么，如果我們依據(jù)Rx= 為臨界值進(jìn)行內(nèi)接法或外接法的選擇是否就一定會出現(xiàn)選擇錯誤呢？對Rx= 進(jìn)行進(jìn)一步分析，我們會發(fā)現(xiàn)當(dāng)R >>R 時(shí)，兩個臨界值是近似相等的，而且兩種電表的阻值差異越大，這兩個臨界值就越接近?，F(xiàn)在高中物理學(xué)生實(shí)驗(yàn)中所使用的電流表0～3 A擋內(nèi)阻一般約為0.1 Ω，0～0.6 A擋內(nèi)阻約為0.5 Ω到1 Ω;學(xué)生用電壓表0～3 V擋內(nèi)阻一般約為3 kΩ，0～15 V擋內(nèi)阻約為15 kΩ。可見，學(xué)生所用的電流表和電壓表阻值差異還是很大的，因此這兩個臨界值也是非常接近的，而且中學(xué)階段所做的有關(guān)“伏安法測電阻”的實(shí)驗(yàn)，一般待測阻值都不在臨界值附近，因此一般不會對判斷造成影響。

學(xué)生做的考題及練習(xí)題中一般也不會出現(xiàn)待測電阻很接近臨界值的情況。筆者分析原因大致如下：若電流表、電壓表內(nèi)阻差異不是那么大，比如前面舉的例子，RA=10 Ω，RV=1000 Ω，若待測電阻Rx= =100 Ω，通過前面的計(jì)算我們都已經(jīng)知道此時(shí)不管用內(nèi)接法還是外接法，相對誤差都比較大，都在10%左右。因此，這種情況下即便是采用相對誤差較小的外接法，測量出來的結(jié)果也是不準(zhǔn)確的，兩種接法可能都不能用。如果兩種電表阻值差異更小（實(shí)際上一般很少出現(xiàn)），兩種接法的相對誤差都會更大，那么這兩種接法肯定就更不能用了，只能尋求其他更精確的測量方法。若電流表、電壓表內(nèi)阻差異很大呢？我們再舉一個例子，假設(shè)RA=1 Ω，RV=10 000 Ω，若待測電阻Rx= =100 Ω，那么采用內(nèi)接法σ內(nèi)= ×100%=1%，若采用外接法σ外= ×100%≈0.99%。可見，此時(shí)雖然采用外接法相對誤差理論上要小一點(diǎn)點(diǎn)，但是兩種接法的相對誤差都很小，差異更小，所以此時(shí)即便選用相對誤差稍大一點(diǎn)的內(nèi)接法，從實(shí)驗(yàn)的角度講也完全符合實(shí)驗(yàn)對誤差的要求。

所以，雖然Rx= 并不是區(qū)分內(nèi)接法和外接法的準(zhǔn)確臨界值，但依據(jù)Rx= 為臨界值進(jìn)行內(nèi)接法或外接法的選擇一般也不會出現(xiàn)選擇錯誤。

（欄目編輯 ? ?張正嚴(yán)）