基于盒維數(shù)的水系分維值估算

鄭 楠 炯

(廣東省水利電力勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院，廣州 510635)

經(jīng)典幾何圖形維數(shù)是整數(shù)的，1967年曼德爾布羅特(B B Mandelbrot)在研究“英國(guó)的海岸線有多長(zhǎng)”的問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)海岸線圖形面積的有限性而隨著測(cè)量精度的提高其長(zhǎng)度的無(wú)限增大性，維數(shù)介于1～2之間[1]，從而開創(chuàng)了分形(Fractal)幾何學(xué)[2]。分形對(duì)象具有自相似性和標(biāo)度不變性兩個(gè)特征，分形學(xué)描述了自然復(fù)雜幾何體的內(nèi)在規(guī)律，廣泛運(yùn)用到地貌學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)和生物學(xué)等不同學(xué)科研究中。分維數(shù)有Hausdorff維數(shù)、信息維數(shù)、盒維數(shù)等多種定義，其中盒維數(shù)在所有學(xué)科測(cè)量中運(yùn)用最廣[3]，適用于自相似的形狀，也適用于非自相似的形狀，甚至適用于高維空間的對(duì)象[4]。

河流水系具有分形特征，分維值反映了河流的復(fù)雜程度，分維值越大，水系發(fā)育越成熟，水系的復(fù)雜度和密集度越高[5-9]。何隆華等[10]根據(jù)水系分維數(shù)將流域地貌發(fā)育階段劃分為3個(gè)時(shí)期：幼年期、壯年期和老年期，王玉成等[11]計(jì)算不同時(shí)期水系分維值以研究水系演化過(guò)程，小流域早期發(fā)育活躍，分維值增大，后期流域趨于穩(wěn)定，分維值稍有減??；白玉川等[12]研究表明小尺度的分形維數(shù)主要反映河彎的發(fā)育情況，大尺度的分形特征則反映流域地形的不規(guī)則性，朱曉華等[13,14]統(tǒng)計(jì)并比較中國(guó)各流域水系分維值，大陸水系維數(shù)值為1.416 9，其值在平原地區(qū)比較大，在山地丘陵區(qū)相對(duì)較??；Dombrdi等[15]分析地形空間變異與水系分維值的關(guān)系，研究表明抬升地形，分維值較大，下陷地形則分維值較小，馬宗偉等[16,17]研究長(zhǎng)江中下游和贛江流域水系分形特征與徑流的關(guān)系，分維值越高，河網(wǎng)密集，調(diào)蓄能力越強(qiáng)，洪澇干旱災(zāi)害的可能性越低。

水系分維值的盒維數(shù)法計(jì)算研究中，有學(xué)者以一定比例尺的實(shí)際河網(wǎng)掃描圖作為底圖計(jì)算分維值[10,18,19]，有學(xué)者利用DEM提取數(shù)字河網(wǎng)作為底圖計(jì)算分維值，其中有選擇不同精度的DEM源[20～24]，有不同匯流閾值的確定方法，如以河網(wǎng)密度-閾值關(guān)系變化趨勢(shì)確定[25-27]，以分維值-閾值關(guān)系變化趨勢(shì)確定[28,29]，或選擇與實(shí)際河網(wǎng)比較符合時(shí)的數(shù)字河網(wǎng)的閾值[30]。

本文利用Arcgis平臺(tái)基于兩種精度DEM提取華南地區(qū)泗合水流域河網(wǎng)和韓江流域及其子流域河網(wǎng)，采用盒維數(shù)法計(jì)算系列閾值下的可能水系分維值，并與實(shí)際河網(wǎng)計(jì)算的分維值比較，探討不同DEM精度、匯流閾值、河網(wǎng)圖源、子流域劃分及流域面積對(duì)盒維數(shù)法計(jì)算水系分維值的影響，為水系分維值的盒維數(shù)法計(jì)算研究提供參考。

1 研究區(qū)域概況

1.1 泗合水流域

泗合水流域位于廣東省珠江三角洲西部的潭江支流，東經(jīng)112°22′～112°37′，北緯22°32′～ 22°45′。流域集水面積131 km2，干流總長(zhǎng)度26 km，河床比降0.281%，屬于亞熱帶季風(fēng)氣候，多年平均降雨量1 696 mm，多年平均蒸發(fā)量868 mm。地形以丘陵為主，200 m高程以下占93.8%。土地覆被為多樹草地、作物地等，以人工經(jīng)濟(jì)林為主。

1.2 韓江流域

韓江流域覆蓋廣東東部、福建西南部、江西東南部，包含汀江、梅江、韓江等，東經(jīng)115°13′～117°09′、北緯23°17′～26°05′。流域集水面積30 112 km2，干流總長(zhǎng)度428 km，河床平均比降0.039%，屬亞熱帶季風(fēng)氣候，多年平均降雨量1 407～2 143 mm，多年平均蒸發(fā)量996～1 406 mm。地勢(shì)自西北和東北向東南傾斜，丘陵與谷地相間，山地占總流域面積的70%。山地丘陵的植被是以馬尾松為主的次生林地，臺(tái)地、盆地和平原多為農(nóng)作物?？紤]三角洲數(shù)字河網(wǎng)提取的不準(zhǔn)確性，本文研究的韓江流域不包含潮安水文站以下的沿海三角洲區(qū)域(集水面積1 035 km2)，研究區(qū)域地理位置見圖1。

圖1 研究區(qū)域地理位置及高程分布Fig.1 Geographical location and elevation distribution of the study areas

2 研究方法

2.1 流域水系的提取

研究模型的是利用DEM(Digital Elevation Model，數(shù)字高程模型)提取矢量河網(wǎng)，進(jìn)行分維分析。DEM數(shù)據(jù)來(lái)源一般有影像測(cè)量、地面測(cè)量、已有地形圖數(shù)字化等幾種途徑。本文的DEM數(shù)據(jù)采用中國(guó)科學(xué)院計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)信息中心的地理空間數(shù)據(jù)云(http:∥www.gscloud.cn)提供的兩種分辨率的DEM：分辨率90 m的SRTM DEM和分辨率30 m的GDEM DEM。SRTM DEM(航天飛機(jī)雷達(dá)地形測(cè)量)水平分辨率為90 m，標(biāo)稱絕地高程精度是±16 m，置信度為90%，標(biāo)稱絕對(duì)平面精度是±20 m；ASTER GDEM(先進(jìn)星載熱發(fā)射和反射輻射儀全球數(shù)字高程模型)水平分辨率為30 m，垂直精度是±20 m，水平精度是±30 m，置信度為95%。

采用Arcgis平臺(tái)的水文分析模塊對(duì)DEM進(jìn)行填洼(Fill)、計(jì)算匯流方向(Flow Direction)、生成匯流柵格(Flow Accumulation)、確定流域邊界(Watershed)和提取數(shù)字河網(wǎng)(Stream to Feature)等，泗合水流域以雙橋水文站(112°35′21″，22°34′32″)為流域出口點(diǎn)，韓江流域以潮安水文站(116°39′0″E，23°40′0″N)為流域出口點(diǎn)，生成兩種精度的數(shù)字河網(wǎng)[31]。

不同的匯流閾值生成疏密不同的河網(wǎng)，多尺度匯流量閾值下的水系分維值更精確[32]，匯流柵格閾值的確定采用枚舉法，匯流網(wǎng)格單元數(shù)從最小值1逐漸增大到提取的河網(wǎng)十分粗糙為止，如匯流面積閾值5 km2(面積閾值=單元格面積×柵格數(shù)閾值)，得到一系列不同密集度的河網(wǎng)，用于分析閾值與水系分維值的關(guān)系。

2.2 盒維數(shù)法

盒維數(shù)反映了物體對(duì)空間填充的程度，具有統(tǒng)計(jì)意義上的分形特征，反映河網(wǎng)的復(fù)雜程度，分維值越大，河網(wǎng)越復(fù)雜。河網(wǎng)越密集，河網(wǎng)落在分形盒子的幾率更大，相應(yīng)計(jì)算出的分維值越大。盒維數(shù)法是用相同網(wǎng)格去覆蓋分形對(duì)象，統(tǒng)計(jì)網(wǎng)格尺寸和所覆蓋的網(wǎng)格數(shù)量，計(jì)算過(guò)程只考慮圖形的分布，計(jì)算簡(jiǎn)單和方便，是應(yīng)用最廣的維數(shù)之一。

對(duì)于不是自相似的結(jié)構(gòu)，比如流域水系，將分形對(duì)象分別置于不同網(wǎng)格尺寸s的網(wǎng)絡(luò)中，相應(yīng)分形對(duì)象包含的網(wǎng)格數(shù)目N(s)。

N(s)∝s-D

(1)

雙對(duì)數(shù)圖中用一條直線去擬合系列點(diǎn)[s，N(s)]，該直線的斜率的絕對(duì)值即為對(duì)象的分維值D[1]。

lgN(s)=-Dlgs+C

(2)

式中：D為分維值；s為網(wǎng)格邊長(zhǎng)；N(s)為網(wǎng)格數(shù)；C為待定常數(shù)。

分形對(duì)象具有自相似性，物體的任何小部分與整體相似，分形對(duì)象不具有特征長(zhǎng)度，即無(wú)標(biāo)度區(qū)間，盒維數(shù)法系列網(wǎng)格邊長(zhǎng)就是無(wú)標(biāo)度區(qū)間，為了使數(shù)據(jù)對(duì)在對(duì)數(shù)坐標(biāo)系統(tǒng)的橫坐標(biāo)方向上是均勻分布，一般網(wǎng)格的邊長(zhǎng)取為[33]：

si=2is0,i=1,2,…,n

(3)

式中：s0為最小的網(wǎng)格單元邊長(zhǎng)。

本文最小網(wǎng)格單元邊長(zhǎng)取10，無(wú)標(biāo)度區(qū)間取[10，20，30，50，100，150，…，500，800，1 000]，研究的流域水系在該區(qū)間內(nèi)表現(xiàn)出較好的分形特征，相關(guān)系數(shù)在0.97以上。

2.3 模型的建立

Arcgis平臺(tái)下，設(shè)置不同的閾值提取數(shù)字河網(wǎng)，再柵格化(Feature to Raster)，轉(zhuǎn)換成不同網(wǎng)格單元大小(s)的柵格圖，此過(guò)程等同于盒維數(shù)法的盒子覆蓋(圖2)，統(tǒng)計(jì)柵格數(shù)目[N(s)]，對(duì)s和N(s)進(jìn)行線性回歸分析，斜率的絕對(duì)值即為分維值。利用Arcgis平臺(tái)的模型構(gòu)建器(ModelBuilder)建模(圖3)，實(shí)現(xiàn)批量化處理及結(jié)果輸出，避免了重復(fù)性人工操作并提高了計(jì)算效率。

圖2 矢量河網(wǎng)柵格化成不同邊長(zhǎng)的網(wǎng)格圖Fig.2 River network gridding with different side lengths

圖3 計(jì)算水系分維值流程圖Fig.3 Flow chart of calculating drainage fractal dimension

3 結(jié)果與分析

3.1 流域水系分維值

提取泗合水流域和韓江流域兩種DEM精度的數(shù)字河網(wǎng)，提取的數(shù)字流域面積與實(shí)際流域面積接近，但存在一定的誤差(見表1)，這與DEM的精度以及河網(wǎng)提取方法等有關(guān)。

表1 泗合水流域和韓江流域面積對(duì)比Tab.1 Area comparison of Siheshui basin and Hanjiang River basin

泗合水和韓江流域部分匯流閾值的河網(wǎng)的分維值D和s與N(s)線性回歸分析的相關(guān)系數(shù)R2列于表2。泗合水流域R2大于0.98，韓江流域R2大于0.97，s與N(s)擬合相關(guān)性好，研究的水系分別在無(wú)標(biāo)度區(qū)間內(nèi)統(tǒng)計(jì)自相似，表現(xiàn)出較好的分形特征。

表2 泗合水和韓江流域在部分匯流閾值下的水系分維值和相關(guān)系數(shù)Tab.2 Drainage fractal dimension and the correlation coefficient in some conflux threshold values of Siheshui basin and Hanjiang River basin

枚舉匯流閾值，得到流域可能的系列水系分維值，見圖4。

圖4 泗合水流域和韓江流域系列水系分維值Tab.4 Series of drainage fractal dimension of Siheshui basin and Hanjiang River basin

3.2 DEM分辨率對(duì)盒維數(shù)法計(jì)算分維值的影響

不同DEM源由于水平精度和垂直精度的差異，提取的流域及河網(wǎng)信息存在差別，劉遠(yuǎn)等[34]研究表明，90m精度的SRTMDEM提取的河網(wǎng)精度較高。由圖4，在不考慮河網(wǎng)精度的前提下，泗合水流域和韓江流域分別基于兩種DEM計(jì)算的流域水系分維值較為接近，且有著相同的變化趨勢(shì)。韓江流域在匯流柵格數(shù)閾值為1時(shí)兩種DEM計(jì)算的分維值差別較大，這是由于最小匯流面積閾值不同造成河網(wǎng)密度的不同，30m精度的最小閾值是0.000 9km2，90m精度的是0.008 1km2。在不考慮河網(wǎng)精度的前提下，泗合水流域和韓江流域分別基于兩種DEM計(jì)算的流域水系分維值較為接近，且有著相同的變化趨勢(shì)。因此，基于兩種分辨率DEM對(duì)盒維數(shù)法計(jì)算水系分維值差別不大。

3.3 匯流閾值對(duì)盒維數(shù)法計(jì)算分維值的影響

閾值的確定在河網(wǎng)的提取過(guò)程中起著關(guān)鍵性作用，閾值決定提取生成河網(wǎng)的密度和精度，隨著設(shè)定閾值的增大，河網(wǎng)密度會(huì)呈現(xiàn)指數(shù)降低的趨勢(shì)。匯流柵格數(shù)取最小值1時(shí)，生成的河網(wǎng)最為密集，河網(wǎng)分級(jí)最為復(fù)雜，水系分維值達(dá)到可能最大值，由圖4，泗合水流域水系分維值最大是1.723 8，韓江流域水系分維值最大是1.804 0。匯流面積閾值從最小值增加到0.5km2時(shí)，泗合水流域和韓江流域分維值驟減，變化明顯。隨著閾值逐漸增大，水系越稀疏，河網(wǎng)分級(jí)結(jié)構(gòu)越簡(jiǎn)單，趨勢(shì)線出現(xiàn)一個(gè)拐點(diǎn)，分維值變化平緩，逐漸減小至趨于1(大于1)，河網(wǎng)概化變成一維圖形，此時(shí)分維值與匯流閾值無(wú)關(guān)，楊錦玲等[35]研究也表明水系分維值隨匯流閾值增大而減小的變化關(guān)系。選擇合理的匯流閾值對(duì)盒維數(shù)法計(jì)算數(shù)字河網(wǎng)的分維值至關(guān)重要。

3.4 河網(wǎng)圖來(lái)源對(duì)盒維數(shù)法計(jì)算分維值的影響

實(shí)際河網(wǎng)形狀是確定的，對(duì)應(yīng)的數(shù)字河網(wǎng)是唯一的，水系分維值也是唯一確定的。準(zhǔn)確的水系分維值應(yīng)由實(shí)際河網(wǎng)計(jì)算求得。以韓江流域?yàn)槔n題組已描繪了兩種比例尺的韓江流域標(biāo)準(zhǔn)河網(wǎng)(圖5)，由于測(cè)量的比例尺不同，實(shí)際河網(wǎng)也表現(xiàn)出不同的疏密程度，現(xiàn)將標(biāo)準(zhǔn)河網(wǎng)柵格化，統(tǒng)計(jì)并進(jìn)行線形回歸分析(圖6)。

圖5 韓江流域不同比例尺實(shí)際河網(wǎng)Fig.5 Actual river network of Hanjiang River basin in different scale

圖6 韓江流域大小比例尺下實(shí)際河網(wǎng)的s與N(s)的關(guān)系曲線Fig.6 Relationship curve between s and N(s) of actual river network of Hanjiang River basin in different scale

由圖6，韓江流域小比例尺實(shí)際河網(wǎng)的分維值1.005 6，大比例尺分維值1.029 1，二者數(shù)值相差不大，大比例尺河網(wǎng)更為細(xì)致，分維值比小比例尺的稍大。水系分維值反映了水系的發(fā)育程度，韓江流域分維值低，河流發(fā)育尚未成熟。對(duì)比基于90m的SRTMDEM提取的數(shù)字河網(wǎng)，閾值40km2的數(shù)字河網(wǎng)與小比例尺河網(wǎng)較為吻合，分維值1.017，相差1.1%；閾值4km2的數(shù)字河網(wǎng)與大比例尺河網(wǎng)較為吻合，分維值1.026 9，相差0.2%。匯流閾值是基于DEM提取數(shù)字河網(wǎng)的一個(gè)重要參數(shù)，不同的閾值所提取的河網(wǎng)密度不同，所計(jì)算的分維值不同。選擇合適的閾值使數(shù)字河網(wǎng)與實(shí)際河網(wǎng)吻合時(shí)，數(shù)字河網(wǎng)的水系分維值具有參考意義，一定程度上可以代表實(shí)際河網(wǎng)的分維值。

3.5 子流域劃分及流域面積對(duì)盒維數(shù)法計(jì)算分維值的影響

前文分析了不同規(guī)模流域的分維值(圖4)，其中泗合水流域是珠江流域的小流域，韓江流域是廣東省除珠江流域以外的第二大流域。不同流域面積的水系均具有分形特征，二者分維值隨匯流閾值改變表現(xiàn)出相似的變化規(guī)律。

大型水系是一種多重分形[5]，為研究大流域與子流域的分維值關(guān)系，將韓江流域內(nèi)9個(gè)水文站點(diǎn)定為流域出口，劃分為9個(gè)獨(dú)立的不套合的子流域并以水文站命名子流域。選用SRTMDEM進(jìn)行韓江子流域分維值的計(jì)算分析，韓江子流域劃分見圖7，整個(gè)流域及9個(gè)子流域隨閾值變化的分維值繪于圖8(a)，每個(gè)子流域系列分維值取平均值，與流域面積的關(guān)系繪于圖8(b)。

圖7 韓江流域水文站點(diǎn)及子流域分布Fig.7 Distribution of hydrologic stations and sub basins in Hanjiang River basin

圖8 韓江流域的9個(gè)子流域分維值Fig.8 Fractal dimension of 9 sub basins in Hanjiang River basin

由圖8(a)，如同整個(gè)韓江流域，9個(gè)不同面積的子流域分維值隨匯流閾值增大呈先驟減后平緩減少趨勢(shì)，同一閾值下各子流域分維值的變差系數(shù)皆約0.004，子流域平均分維值范圍是1.047 0～1.055 3 ，極差0.008 3，表明各子流域同一閾值的分維值相當(dāng)?？v向上，整個(gè)流域分維值總體比相應(yīng)閾值下各子流域平均分維值稍大，相差值小于0.012；橫向上，韓江流域和子流域系列分維值的平均值分別是1.055、1.050，二者相差0.44%，總體上大流域分維值等于其子流域分維值的平均。不同子流域，流域面積和地形等因素各有差異，分維值相應(yīng)地稍有不同，其中觀音橋流域分維值最大，數(shù)字流域面積378km2，位于韓江流域的北部、武夷山脈北麓高丘陵地帶，是汀江的發(fā)源地，山地穿插，平均高程約650m；水口流域分維值次之，數(shù)字流域面積5 441km2，位于韓江流域西南部、武夷山脈南麓低丘陵地帶，地勢(shì)平坦，平均高程約300m；楊家坊流域分維值最小，數(shù)字流域面積754km2，位于韓江流域東北部，流域四周山地環(huán)繞，內(nèi)部較平緩，平均高程約600m。線性回歸分析分維值與流域面積的關(guān)系[圖8(b)]，相關(guān)系數(shù)0.267 3，二者表現(xiàn)不相關(guān)，分維值與流域面積大小無(wú)關(guān)。

綜上，流域水系發(fā)育均勻，地貌較為一致時(shí)，水系具有較強(qiáng)的統(tǒng)計(jì)自相似性，同一流域不同面積大小的子流域的水系分維值相近，分形特征明顯，分維值與面積無(wú)關(guān)。

3.6 誤差分析

盒維數(shù)反映了對(duì)象對(duì)空間填充的程度，流域水系分維值反映河網(wǎng)的復(fù)雜程度，河網(wǎng)越復(fù)雜，分維值越大。基于DEM提取河網(wǎng)并計(jì)算的水系分維值，受匯流閾值的影響明顯。不同匯流閾值的設(shè)定，生成不同疏密程度的河網(wǎng)，最終導(dǎo)致河網(wǎng)的分維值浮動(dòng)。

4 總結(jié)與討論

運(yùn)用Arcgis平臺(tái)基于兩種精度DEM提取泗合水流域河網(wǎng)和韓江流域及其子流域河網(wǎng)，采用盒維數(shù)法計(jì)算系列閾值下的水系可能分維值，并與實(shí)際河網(wǎng)計(jì)算的分維值比較，分析水系分維值與DEM精度、匯流閾值、河網(wǎng)圖來(lái)源、流域面積的關(guān)系，結(jié)果表明：

(1)泗合水流域河網(wǎng)的分維值相關(guān)系數(shù)R2大于0.98，韓江流域R2大于0.97，s與N(s)擬合相關(guān)性好，研究的水系分別在無(wú)標(biāo)度區(qū)間內(nèi)統(tǒng)計(jì)自相似，表現(xiàn)出較好的分形特征。

(2)不考慮河網(wǎng)精度前提下，基于30和90m分辨率的DEM對(duì)盒維數(shù)法計(jì)算水系分維值影響不大。

(3)基于DEM計(jì)算的流域水系分維值受匯流閾值影響，隨閾值的增大，分維值驟減后平緩減小至趨于1，有明顯的拐點(diǎn)。

(4)準(zhǔn)確的水系分維值應(yīng)由實(shí)際河網(wǎng)求得，選擇合適的匯流閾值使得數(shù)字河網(wǎng)與實(shí)際河網(wǎng)吻合時(shí)，數(shù)字河網(wǎng)的分維值一定程度上可以代表實(shí)際河網(wǎng)的分維值。

(5)流域水系發(fā)育均勻時(shí)，具有較強(qiáng)的統(tǒng)計(jì)自相似性，整個(gè)流域的水系分維值與流域內(nèi)的不同子流域水系分維值相近，水系分維值與流域面積無(wú)相關(guān)關(guān)系。

盒維數(shù)法計(jì)算水系分維值具有不確定性，基于DEM計(jì)算時(shí)，不同匯流閾值下水系分維值不同；基于實(shí)際河網(wǎng)計(jì)算時(shí)，由于測(cè)量比例尺的不同，河網(wǎng)密度不同，也導(dǎo)致水系分維值的差異。利用盒維數(shù)計(jì)算水系分維值時(shí)，提取河網(wǎng)的閾值和標(biāo)準(zhǔn)實(shí)際河網(wǎng)的選定需要一個(gè)合理的標(biāo)準(zhǔn)。此外，水系分維值是否可以作為單一指標(biāo)衡量河網(wǎng)的發(fā)育程度以及對(duì)河網(wǎng)發(fā)育程度的定量描述上，有待進(jìn)一步研究。

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