例談高考三角函數(shù)及解三角形問題的備考建議

胡能其

三角函數(shù)及解三角形是高中數(shù)學(xué)的主干知識,也是高考的必考內(nèi)容.本文通過對近三年全國卷Ⅰ文科和理科試卷進(jìn)行考點(diǎn)分析,歸納出?？贾R點(diǎn),并以高考真題為例總結(jié)每個(gè)考點(diǎn)的解題方法.

1 考點(diǎn)分析

1.1 2017—2019年高考全國卷Ⅰ考點(diǎn)分布

為了更清晰地歸納高考三角函數(shù)的考點(diǎn),筆者整理了數(shù)學(xué)全國卷Ⅰ近三年的試題,得出表1.

表1 全國卷Ⅰ近三年考點(diǎn)分布表

1.2 題型與分值

由表1不難發(fā)現(xiàn),2017—2019年全國卷Ⅰ理科考查的題型均為一道小題和一道大題,大約17分,題型、分值相對穩(wěn)定;而文科考查的題型都是小題,但不管是分?jǐn)?shù)值還是難度都有不同程度的提升.

1.3 主要考查內(nèi)容

縱觀近三年全國卷Ⅰ文科和理科的主要考查內(nèi)容，包括三角函數(shù)定義、三角恒等變換、三角函數(shù)圖象與性質(zhì)、解三角形等.

2 典例剖析

2.1 任意角三角函數(shù)的定義

任意角的三角函數(shù)定義在高考中單獨(dú)命題雖然不是熱點(diǎn),但也偶有考查,所以也要引起重視.

分析先由正切函數(shù)定義,得到a,b的關(guān)系式b=2a,再利用二倍角公式以及余弦函數(shù)的定義求得a的值,進(jìn)而求得|a-b|的值.

2.2 三角函數(shù)的恒等變換

三角函數(shù)的恒等變換是歷年高考的一個(gè)必考點(diǎn),主要考查三角函數(shù)的求值和化簡,考查學(xué)生對三角函數(shù)公式的正用、逆用及變形運(yùn)用,難度中等.

1) 三角函數(shù)的求值問題

2) 三角函數(shù)式的化簡

2.3 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考的熱點(diǎn),經(jīng)常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn),對考生綜合能力要求較高.

1) 三角函數(shù)的圖象變換

分析先利用誘導(dǎo)公式將函數(shù)“同名”化,然后利用圖象平移、伸縮變換分析即可.

2) 三角函數(shù)的性質(zhì)

三角函數(shù)的性質(zhì)主要包括三角函數(shù)的單調(diào)性、周期性、對稱性、最值等.解決三角函數(shù)性質(zhì)問題主要是利用數(shù)形結(jié)合的思想、化歸思想和換元法進(jìn)行求解.

A.f(x)的一個(gè)周期為-2π

分析先求得f(x)的相關(guān)性質(zhì),然后再逐一檢驗(yàn),選出正確答案.

3) 三角函數(shù)的最值

三角函數(shù)最值問題主要有三種,一種是將三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為y=Asin (ωx+φ)+h的形式,然后利用三角函數(shù)本身的有界性得出最值；一種是將三角函數(shù)最值問題轉(zhuǎn)化為求一元二次函數(shù)的最值；另外一種是利用導(dǎo)數(shù)研究最值.

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

分析先利用余弦函數(shù)二倍角公式和誘導(dǎo)公式,將函數(shù)轉(zhuǎn)化為以“sinx”為自變量的一元二次函數(shù),然后利用一元二次函數(shù)求最值的方法求解.

2.4 解三角形

解三角形知識除了應(yīng)用正弦定理、余弦定理以及面積公式外,往往還要結(jié)合三角函數(shù)相關(guān)公式.

(1)求A;

分析第(1)問先利用正弦定理將角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系,再用余弦定理求得角A的值;第(2)問則是先利用正弦定理將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系,再利用三角恒等變換求得結(jié)果.