基于改進Sierra 抖動算法的微離焦投影三維輪廓測量技術(shù)研究

魏小華，徐文俊，徐雪雅

(1.衢州職業(yè)技術(shù)學院 機電工程學院，浙江 衢州 324000；2.杭州電子科技大學 機械工程學院，浙江 杭州 310018)

1 引 言

數(shù)字光處理(digital light procession，DLP)技術(shù)由于其靈活性，已應(yīng)用于非接觸式的光學測量來對待測物進行三維的輪廓重建[1]。傳統(tǒng)DLP技術(shù)利用計算機生成正弦光柵進一步發(fā)送到投影儀，由于它通常需要8位表示一個正弦光柵，測量速度通常限制在120 Hz(投影儀刷新頻率)[2];此外，由于大多數(shù)商用投影儀是非線性，在投影儀沒有非線性補償?shù)那闆r下，會引入額外的測量誤差，且電荷耦合器件(CCD)采集的光柵圖像不具備良好的正弦性[3]。為解決傳統(tǒng)DLP技術(shù)帶來的問題，二值光柵離焦測量技術(shù)被提出[4]，它所能達到的測量速度及正弦性均進一步提高[5]，由于投影儀接受的不是灰度圖而是二值圖像，當投影儀處于離焦狀態(tài)時，就可以投影出具備良好正弦性的光柵圖。然而，由于二值光柵存在高頻諧波，測量準確性受到極大的影響。脈沖寬度調(diào)制(pulse width modulation，PWM)技術(shù)本質(zhì)上調(diào)節(jié)二進制模式的高頻諧波，可以更容易得到抑制，或消除離焦，但是PWM技術(shù)往往適用于處理窄條紋的二值光柵，在光柵條紋較寬的條件下，結(jié)果不是很理想?；诿娣e編碼的二值化算法，李平平等[6]提出了進一步的改進，即在對二值化模板進行填充時，用分散的、盡可能等間距的填充方法代替分塊的、非等間隔的填充方法，并將此光柵制作出來用于三維形貌測量。田紫霞等[7]利用誤差擴散方法產(chǎn)生二元編碼正弦光柵，并針對該編碼正弦光柵較差的正弦性，提出了兩種改進技術(shù)；Ayubi G A等[8]提出一個正弦條紋生成技術(shù)，即正弦脈寬調(diào)制(sinusoidal pulse width modulation，SPWM)，利用微離焦二進制邊緣投影，鑒于使用現(xiàn)成的投影儀SPWM很容易實現(xiàn)，該方法可以克服投影儀的Gamma畸變效應(yīng)；Wang Y等[9]提出的二進制離焦技術(shù)來人工紋理和細節(jié)丟失的問題，仿真和實驗結(jié)果表明相位誤差低于0.6%；Dai J F等[10]提出Bayer-dithering技術(shù)為可以大幅度提高3D測量質(zhì)量的二進制離焦方法；文獻[11，12]分析了Floyd-steinberg dithering算法誤差擴散非對稱性對離焦正弦結(jié)構(gòu)光投影誤差的影響，使用平行于條紋方向掃描的Floyd-steinberg dithering算法將使離焦結(jié)構(gòu)光圖像在不同離焦狀態(tài)、不同相移步數(shù)情況下的相位提取結(jié)果更加一致、誤差更?。籊horayeb S R等[13]利用最優(yōu)脈寬調(diào)制(optimal pulse width modulation，OPWM)和基于Stucki抖動算法來生成光柵條紋，從而實現(xiàn)動態(tài)三維輪廓測量，但Stucki誤差擴散抖動算法的計算過程較為復雜。

以上幾種方法雖能生成高質(zhì)量的正弦光柵條紋，但測量速度和精度仍有提高的空間。在三維輪廓測量過程中，光柵條紋的正弦性直接會影響相位測量的精度，因此，為降低高次諧波的影響、抑制投影儀非線性Gamma效應(yīng)及提高測量效率等，提出基于蛇形掃描的改進Sierra抖動算法，該算法既能夠顯著提高光柵的質(zhì)量，又具備更好的正弦性。同時，在投影儀處于微離焦狀態(tài)下，與Bayer有序抖動算法、Sierra抖動算法和Floyd-Steinberg誤差擴散抖動算法等比較，實驗結(jié)果均表明：基于投影系統(tǒng)微離焦的改進Sierra抖動算法具備更好的適應(yīng)性，能夠更大程度地提高測量速度，降低相位誤差，提高光柵投影三維輪廓測量精度。

2 算法基本原理

2.1 相移算法

圖1 測量系統(tǒng)原理圖

圖1為測量系統(tǒng)原理圖。由投影儀投射出條紋圖案至待測物體表面，接著由CCD攝影系統(tǒng)獲取影像，而投影儀與CCD攝像系統(tǒng)中心距離為d，數(shù)字投影儀光心或攝像系統(tǒng)(CCD)光心到參考面距離l。由于光柵的條紋被凹凸不平的物體表面所調(diào)制，使得原本A點相位移動到C點，相移值為φ(x，y)。設(shè)光柵頻率為f0，周期為p，則φ(x，y)=2πf0|AC|。由于受到光柵調(diào)制發(fā)生形變，以此方式擴張成整個投影面則會發(fā)現(xiàn)原本的直條紋產(chǎn)生了扭曲，由CCD攝像系統(tǒng)獲取的變形光柵可寫為

I(x，y)=A(x，y)+B(x，y)cos[φ(x，y)+kπ/2]

(1)

式中：I(x，y)表示攝像機接收到的光強值；A(x，y)表示投射光場中緩慢變化的背景分量；B(x，y)表示條紋幅度；f0表示光柵條紋頻率；φ(x，y)是表示相位變化值；k表示第k幀條紋圖(k=0，l，…，k-1)，即光柵每次移動1/k周期，條紋相位被移動2π/k。假設(shè)光場分布為Ik(x，y)，用3個或者更多不同相移值光場分布條紋圖，求得物面上的相位分布[14]可表示為：

(2)

由式(2)計算獲取不連續(xù)的相位分布φ(x，y)，即±kπ(k=1，2，…)處不連續(xù)，使用去包裹算法[15]可以恢復原來連續(xù)分布相位φ(x，y)。根據(jù)相似三角形關(guān)系可得相位和高度的轉(zhuǎn)換式，來得到物體的三維輪廓，其高度計算式表示為

(3)

2.2 抖動算法

圖像抖動算法是將正弦光柵經(jīng)算法處理生成的二值抖動光柵，二值抖動光柵經(jīng)過投影儀離焦投射到被測物體表面，從而實現(xiàn)離焦光柵投影測量。誤差擴散抖動法的基本思想是將原始灰度圖像的當前像素值與固定閾值相比較，一般情況下，選取最大灰度值的一半作為閾值，得到一個二值輸出，然后將輸入與輸出的像素值差以一定的方式擴散到未經(jīng)處理的鄰近區(qū)域，圖2為誤差擴散算法原理圖。圖2中，Q[*]表示閾值量化器；g(m，n)為原灰度圖像；e(m，n)為量化誤差，即u(m，n)-b(m，n)；w(k，l)為誤差擴散系數(shù)，誤差擴散算法所對應(yīng)的數(shù)學模型為

(4)

圖2 誤差擴散算法原理圖

根據(jù)閾值κ=128，將u(m，n)像素二值化，最終獲得抖動圖像像素b(m，n)，即：

(5)

(6)

由上述公式可以發(fā)現(xiàn)，當前像素量化誤差u(m，n)不僅由當前位置輸入輸出像素值決定，同時也依賴于已處理區(qū)域像素對當前像素的影響，誤差擴散法實質(zhì)上也是一種基于區(qū)域的半色調(diào)算法，掃描順序(或掃描路徑)也是影響半色調(diào)圖像質(zhì)量一個因素，重復以上過程，逐行處理，最終獲取二值抖動圖像。

2.3 改進的抖動算法

核函數(shù)w(k，l)是各種誤差擴散中的關(guān)鍵參數(shù)及區(qū)別所在，它是誤差擴散中最重要的參數(shù)。其中，對于Sierra抖動算法，其核函數(shù)為

(7)

式中：“-”表示已處理過的像素；“*”表示當前正在處理的像素；誤差擴散核函數(shù)矩陣中右邊緊鄰像素獲得1/2的權(quán)重，正下方像素獲得1/4的權(quán)重，左下角像素獲得1/4的權(quán)重。

由于傳統(tǒng)的誤差擴散為從左到右、從上往下計算，誤差在擴散時會引起誤差累積，影響抖動圖像的質(zhì)量。因此，本文提出一種改進Sierra抖動算法(簡稱：改進Sierra算法)，基于蛇形掃描，即奇數(shù)行從左向右掃描，偶數(shù)行從右向左掃描，則偶數(shù)行的誤差擴散核函數(shù)為

(8)

式中：偶數(shù)行的誤差擴散核函數(shù)矩陣中右邊緊鄰像素獲得1/2的權(quán)重，正下方像素獲得1/4的權(quán)重，右下角像素獲得1/4的權(quán)重。

采用改進Sierra算法誤差擴散過程如圖3所示，其中α、β和γ為誤差擴散系數(shù)，即核函數(shù)中所對應(yīng)的參數(shù)值α=1/4、β=1/4和γ=1/4。

圖3 蛇形掃描和誤差擴散原理圖

通過理論分析可知，該算法避免將誤差傳遞給下一級周圍的像素，因此基于改進算法的抖動圖像具備更好的對稱性和更高的圖像質(zhì)量。為更清楚且直觀表達兩種抖動算法的光柵圖，如圖4所示為基于Sierra誤差擴散抖動離焦前后光柵條紋圖，圖5給出了基于improved Sierra誤差擴散抖動離焦前后光柵條紋圖。

圖4 Sierra誤差擴散抖動條紋圖

圖5 Improved Sierra誤差擴散抖動條紋圖

為了進一步描述4種抖動算法生成光柵的正弦性，基于低通濾波器模擬微離焦投影，取微離焦光柵圖中的某一行，并且與標準的正弦光柵圖某行截面曲線進行比較，結(jié)果如圖6所示。

由圖6可知：Bayer抖動生成正弦性較差，F(xiàn)loyd-steinberg和Sierra抖動生成正弦與標準正弦有明顯偏差，而Improved Sierra抖動生成正弦性最好，質(zhì)量較高。

圖6 正弦與標準正弦曲線結(jié)果比較

通過仿真實驗，進一步分析Improved Sierra誤差擴散抖動算法在相位測量中的精度，與典型的3種誤差抖動算法做比較。圖7所示為基于不同條件下的均方根(RMS)誤差比較結(jié)果。

圖7 基于不同條件下的RMS誤差比較

圖7(a)為不同相位移動步數(shù)(S=3，4，5，…)誤差圖，周期T=50 pixel，高斯濾波器f=15 pixel，由該數(shù)據(jù)分析可知，4種算法的相位誤差隨步數(shù)增加，減少十分微弱，且誤差基本趨于穩(wěn)定，這是由于抖動后的條紋具有相當穩(wěn)定的正弦性；圖7(b)為不同條紋周期下的相位誤差比較圖，相移S=3，高斯濾波器f=15 pixel，4種算法的相位誤差隨著周期的增加而減少；圖7(c)和圖7(d)分別為不同離焦程度的相位誤差比較圖和不同離焦度亮度誤差比較圖，相移S=3步，周期T=50 pixel，可以看出，4種算法都在離焦度合適時才具備更小的相位誤差，且亮度誤差和相位誤差一致的。從圖7中的4幅圖可得出，與其它常用的有序抖動算法相比，采用Improved Sierra誤差擴散抖動算法所獲得的正弦光柵條紋的相位誤差均小于其它3種誤差擴散抖動算法，Improved Sierra抖動圖像的質(zhì)量更好，基于適度離焦狀態(tài)，更加適合物體三維輪廓測量。

3 實驗分析

該測量系統(tǒng)包括一個DLP投影儀和CCD(JaiPulnixtm-6740-cl)。相機連接于一個16 mm焦距像素鏡頭(Computar M1614-MP)。相機的分辨率640 pixel×480 pixel，和投影儀分辨率為800 pixel×600 pixel，投影距離為0.49 ～2.80 m，周期T=50 pixel，高斯濾波器f=15 pixel。以白板為參考平面，測量并計算相對相位誤差，由于在投影儀充分離焦狀態(tài)下，二值化光柵和標準正弦光柵的投影效果趨于一致，因此實驗基于投影儀輕微離焦狀態(tài)。圖8為基于Improved Sierra離焦光柵測量結(jié)果，圖8(a)為相機采集到的周期為100 pixel的離焦投影圖；圖8(b)為包裹相位圖；圖8(c)為未去包裹的第220行相位圖；如圖8(d)為去包裹相位圖。由于微離焦的抖動光柵正弦性更好，致使獲得更高質(zhì)量的相位。

圖8 基于Improved Sierra離焦光柵測量結(jié)果

同時，在投影儀離焦程度較低的情況下，測量并計算了Improved Sierra抖動算法生成的不同周期光柵的相位誤差，與Bayer、Floyd-steinberg、Sierra等幾種算法進行了比較[16～18]，如圖9所示?？梢钥闯觯搶嶒炁c理論分析結(jié)果相一致，改進Sierra抖動算法無論在條紋周期較小還是條紋周期較大的時刻均可以保持較低的相位誤差。

為了進一步計算相對相位誤差，利用該實驗裝置對曲面更加復雜的心形石膏模型進行三維重建，調(diào)整投影儀處于輕微離焦狀態(tài)，分別使用典型Bayer、Floyd-steinberg、Sierra及Improved Sierra抖動光柵進行三維重建結(jié)果，如圖10所示。

圖9 不同周期下的相位誤差比較

圖10 基于微離焦投影技術(shù)的三維重建結(jié)果

采用RMS誤差σ來評判測量精度：

(9)

式中：Hr(x，y)為三坐標測量的真值；Hm(x，y)為觀測值；m為觀測數(shù)。

采集圖10中4種方法獲取的三維物體第160～167行數(shù)據(jù)，計算σ如表1所示，抽取觀測數(shù)m=50，本文提出基于蛇形掃描改進Sierra抖動算法的σ總體略小于其它算法；實驗表明該算法具有較高的測量精度。

表1 4種算法的σ比較

Tab.1 Comparison ofσusing four kinds of algorithms mm

組別BayerFloyd-steinbergSierraImprovedSierra10.02790.01560.01520.014120.03850.02270.01970.017530.02960.01290.01130.010940.03270.02240.01930.012150.02280.02190.01530.013760.02060.02450.01430.015870.02270.01240.01930.002180.02630.02190.02820.0164

表2為4種算法的運算時間比較，Improved Sierra抖動算法與其它3種算法比較，運行速度最快。

表2 4種算法的運算時間比較

Tab.2 Comparison of operation time of 4 algorithms s

序號算法時間1Bayer4.2382Floyd-steinberg3.9073Sierra2.9364改進Sierra2.715

4 結(jié) 論

本文提出基于蛇形掃描改進Sierra抖動算法獲取的投影光柵，能夠顯著提高光柵的質(zhì)量，具有更好的正弦性。在投影儀適度離焦時，與Bayer有序抖動算法、Sierra抖動算法和Floyd-steinberg誤差擴散抖動算法相比，仿真及實驗結(jié)果均表明：基于微離焦投影的改進Sierra抖動算法具備更好的適應(yīng)性，抖動光柵由于不受非線性影響，既能保持相移輪廓術(shù)至少需要3幅畸變光柵就可以獲取相位的特點，且降低了誤差，運算速度快，從而改善光柵投影三維輪廓測量精度。