從屬于貝形區(qū)域的一類(lèi)逆函數(shù)的三階 Hankel 行列式

郭棟，李宗濤

（1.滁州職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部，安徽滁州239000； 2.廣州民航職業(yè)技術(shù)學(xué)院人文社科學(xué)院，廣東廣州510403）

1 引言及預(yù)備知識(shí)

令H 表示單位圓U={ z :| z|＜1}內(nèi)具有下述形式的單葉函數(shù)的全體

H中的所有的單葉函數(shù)記為S.

Sakaguchi[1]引入了關(guān)于對(duì)稱點(diǎn)的星象函數(shù)類(lèi)Ss*，滿足條件：

Noonan 和Thomas[2]首次引入函數(shù)f(z)的q階Hankel 行列式：

其中 a1=1,m≥1,q ≥ 1. 當(dāng)m, q 取一些特殊值時(shí)，可得

則有H3(1)=a3H2(2)-a4(a4-a2a3)+a5H2(1).

部分作者[2-5]研究了許多解析函數(shù)類(lèi)上的H2(2)行列式. 最近一些作者[6-9]研究了解析函數(shù)類(lèi)上的H3(1)行列式，得到了其上界. 受此啟發(fā)，本文構(gòu)造一類(lèi)從屬于貝形區(qū)域的解析函數(shù)類(lèi)，研究其上f-1的H3(1)行列式.

定義1[10]函數(shù)q ( z )= 1+ z2+ z 將單位圓盤(pán)映射為右半平面的貝形區(qū)域，在C {i, -i }單葉解析，區(qū)域關(guān)于實(shí)數(shù)軸對(duì)稱. 此函數(shù)是一個(gè)正實(shí)部函數(shù) q(0)=q′(0) = 1.

記函數(shù)f ( z )∈Ls( q).

引理1[11]假設(shè)p ( z ) = 1+p1z+p2z2+???在內(nèi)解析，滿足Re p ( z ) ＞ 0，則

引理 2[12]假設(shè)p ( z ) = 1+p1z+p2z2+…在U={ z :| z|＜1}內(nèi)解析，滿足Re p ( z) ＞ 0，則存在復(fù)數(shù)y、 z (| y|≤1,| z|≤ 1,)，有

引理 3[13]假設(shè)p ( z ) = 1+p1z+p2z2+???在U={ z :| z|＜1}內(nèi)解析，滿足Re p ( z ) ＞ 0，則

2 主要結(jié)果

定理1如果f ( z )∈Ls( q)且是f 的逆函數(shù)，則有

證明如果f ( z )∈Ls( q)，那么存在解析函數(shù)，使得

成立.

由式（3～5）得

因?yàn)?/p>

是f 的逆函數(shù)，則有

由式（10）和（11），可得

由式（11）和（12），可得

比較兩邊的系數(shù)得

由上式及式（6～9）得

由引理1 及式（13～16）可得定理1.

定理2如果是f 的逆函數(shù)，則有

證明由式（13）和（14）及引理3 得

定理3如果f ( z )∈Ls( q)且是f 的逆函數(shù)，則有

證明由式（13～15）及引理2 得

令| p1|=p(0≤ p ≤ 2)，由三角不等式上式子化為

定理4如果f ( z )∈Ls( q)且是f 的逆函數(shù)，則有

證明由式（13～15）及引理2 得

令| p1|=p(0≤ p ≤ 2)，由三角不等式上式化為

下面需要求 G ( p, | y |)在閉區(qū)域 Ω={( p, | y|):0≤ p≤2,0 ≤|y |≤1}上的最大值.2)| |)y . 令，得2p= 或

定理5如果f ( z )∈Ls( q)且是f 的逆函數(shù)，則有

證明由于，則由不等式得

由式（17）及定理1、2、3、9 可得定理5.