利用手機研究鹽水中的趨膚效應(yīng)

李婧 李雅暄 楊志冉 孟祥佳

摘 要：文章介紹了電磁波的趨膚效應(yīng)、趨膚深度及趨膚效應(yīng)產(chǎn)生的原因，為了研究趨膚效應(yīng)，用手機浸入到鹽溶液，達到臨界深度后，發(fā)現(xiàn)向手機發(fā)出請求時無響應(yīng)。通過多次實驗得到趨膚效應(yīng)臨界深度，研究表明，在一定溶液濃度范圍內(nèi)，臨界深度與理論趨膚深度成正比。文章創(chuàng)新性地使用手機和鹽溶液來研究趨膚效應(yīng)，從教學(xué)角度看，增強了趣味性;從學(xué)習(xí)的角度看，學(xué)生們通過參與該項目大幅提升了他們的學(xué)習(xí)興趣和研究動力。特別是以手機作為實驗項目的核心，不僅激發(fā)了他們的想象力，更使他們對項目保持著持續(xù)的熱情，并對電磁波的電性性質(zhì)有了更深入的了解。

關(guān)鍵詞：手機;大學(xué)物理實驗;電磁波;趨膚效應(yīng);鹽溶液;臨界深度

中圖分類號：TP39文獻標(biāo)識碼：A文章編號：2095-1302（2020）05-00-04

0 引 言

當(dāng)導(dǎo)體中有交流電或者交變電磁場時，導(dǎo)體內(nèi)部的電流分布不均勻，電流集中在導(dǎo)體的“皮膚”部分，即電流集中在導(dǎo)體外表的薄層，越靠近導(dǎo)體表面，電流密度越大，導(dǎo)線內(nèi)部實際電流較小，使導(dǎo)體的電阻、損耗功率增加[1]，這一現(xiàn)象稱為趨膚效應(yīng)。將手機浸入到鹽溶液的臨界深度后，向手機發(fā)出請求時無響應(yīng)。

1 電磁波趨膚效應(yīng)

趨膚效應(yīng)最早于1883年在賀拉斯·蘭姆的一份論文中被提及。1885年，奧利弗·赫維賽德將其推廣到任何形狀的導(dǎo)體。趨膚效應(yīng)使得導(dǎo)體的電阻隨著交流電的頻率增加而增加，并導(dǎo)致導(dǎo)線傳輸電流時的效率降低，耗費金屬資源。在無線電頻率設(shè)計、微波線路和電力傳輸系統(tǒng)方面都要考慮到趨膚效應(yīng)的影響。

趨膚效應(yīng)是電磁波傳播中的一種物理現(xiàn)象，被廣泛應(yīng)用于國防、通信、電力等行業(yè)，在人們的日常生活中發(fā)揮著重要作用。

趨膚效應(yīng)可用電磁波向?qū)w中透入的過程加以說明。電磁波向?qū)w內(nèi)部透入時，因為能量損失而逐漸衰減。當(dāng)波幅衰減為表面波幅的e-1倍的深度時，稱其為交變電磁場對導(dǎo)體的透入深度[2]。以平面電磁波對半無限大導(dǎo)體的透入為例，透入深度方程式中ω為角頻率，γ為導(dǎo)體的電導(dǎo)率，μ為磁導(dǎo)率，發(fā)現(xiàn)透入深度與這三個量成反比。電磁波在導(dǎo)體中的波長為2z0，趨膚效應(yīng)是否顯著也可以由導(dǎo)體尺寸與其中電磁波波長的比較來判斷。如果導(dǎo)體的厚度較導(dǎo)體這一波長大，則趨膚效應(yīng)顯著。

在大學(xué)物理教學(xué)中，如何進行趨膚效應(yīng)實驗和講解趨膚效應(yīng)理論已有許多研究成果。但是如何吸引學(xué)生的興趣，提高學(xué)生做實驗的主動性，從而進行創(chuàng)新性實驗，以及如何更簡單、清楚地介紹趨膚效應(yīng)，仍是一個值得深入研究的課題。現(xiàn)如今學(xué)生擁有手機已經(jīng)是普遍現(xiàn)象，利用手機實驗?zāi)軌蛟黾訉W(xué)生與科學(xué)接觸的興趣，利用這種共生關(guān)系可以設(shè)計實驗和以手機為研究核心的項目。例如，用手機的攝像頭來記錄生態(tài)學(xué)、地質(zhì)學(xué)中的圖像，或者采集實驗數(shù)據(jù)。同樣，可以用智能手機的傳感器來做運動學(xué)的相關(guān)實驗，并且其鈴聲在一些實驗中也可作為真空鐘罩中的聲源。手機是高頻電磁波的發(fā)射器和接收器，頻率范圍為700～2 100 MHz，波長為0.42～0.14 m。利用這些特性，可以針對電磁波在導(dǎo)電介質(zhì)中的傳播情況進行研究。

在物理課上向同學(xué)們介紹的無線電波和光，屬于電磁波的一部分，并且這些波由振蕩的電場和磁場構(gòu)成。研究這些抽象的事物要求學(xué)生要有扎實的基礎(chǔ)和足夠的信心，所以需要同學(xué)們不斷學(xué)習(xí)。

通過研究波的一些電性特征可使波的概念更清晰具體，比如磁導(dǎo)率、介電常數(shù)或介質(zhì)的導(dǎo)電性。同樣在軸向磁場下利用法拉第效應(yīng)來證明波的磁性性質(zhì)，并根據(jù)沿同軸電纜電磁脈沖的波速來顯示對內(nèi)、外導(dǎo)體之間介電常數(shù)的影響，從而證明波的電性性質(zhì)。但實現(xiàn)這兩種實驗都需要相對先進、高級的設(shè)備，以及對概念有更深入的理解，相比較而言，要研究導(dǎo)電性對電磁波傳播的影響則更容易。

2 趨膚效應(yīng)產(chǎn)生的原因

當(dāng)系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)時，只有交流系統(tǒng)的電磁感應(yīng)能夠持續(xù)產(chǎn)生作用，而直流系統(tǒng)的電磁感應(yīng)將停止。

根據(jù)電磁感應(yīng)定律，交變電場將在其周圍產(chǎn)生交變磁場。因此交變電流流過導(dǎo)體時，必然會在導(dǎo)體內(nèi)部及導(dǎo)體周圍產(chǎn)生交變磁場。如果將流過導(dǎo)體截面的交變電流看成由無數(shù)電流線組成，則每根電流線都會在其周圍產(chǎn)生交變磁場。

趨膚效應(yīng)原理如圖1所示，將導(dǎo)體截面分成兩部分，即區(qū)域B和區(qū)域A。

在圖1中，對于區(qū)域B，電流線相交鏈的磁通為Φ1和Φ2，而外部的區(qū)域A，電流線相交鏈的磁通僅為Φ1。即靠近導(dǎo)體中心的電流線所交鏈的磁通要大于遠離導(dǎo)體中心的電流線。又由于交變磁場會產(chǎn)生感應(yīng)電動勢，而該感應(yīng)電動勢的作用將阻止原電流的變化，其結(jié)果使得通過導(dǎo)體截面的電流減少。

將一段實心的圓柱狀導(dǎo)體看作由許多具有相同橫截面，且同軸的薄層圓柱狀導(dǎo)體并聯(lián)而成，在其兩端加上交流電壓后，環(huán)繞內(nèi)層圓柱狀導(dǎo)體磁通量多，環(huán)繞外層圓柱狀導(dǎo)體磁通量少，因此內(nèi)層導(dǎo)體和電源組成的回路的阻抗大，外層導(dǎo)體和電源組成的回路的阻抗小，并且越趨近表面阻抗越小。同時，沿外層圓筒流過的交變電流密度將大于沿內(nèi)層圓筒流過的交變電流密度，從外表面到中心軸線，流過各層圓筒的交變電流遞減。

越靠近導(dǎo)體中心，交變磁場在導(dǎo)體內(nèi)所產(chǎn)生的感生電動勢就越強，其阻礙原電流變化的作用就越強，導(dǎo)致導(dǎo)體內(nèi)部中心部位的電流密度J（r）比導(dǎo)體外部小。

電磁感應(yīng)現(xiàn)象是交流電流產(chǎn)生趨膚效應(yīng)而直流電流不會產(chǎn)生該效應(yīng)的根本原因。

設(shè)趨膚效應(yīng)在導(dǎo)體內(nèi)的穿透深度為b，則b的表達式為：

式中：ρ為電阻率;f為頻率;μ為導(dǎo)體材料的磁導(dǎo)率。

由式（1）可知，隨著交流電流頻率的升高，穿透深度減小，趨膚效應(yīng)就越嚴(yán)重。因此高頻信號必須考慮趨膚效應(yīng)的穿透深度問題。

由式（1）得到一個重要結(jié)論：對導(dǎo)線而言，交流電阻大于直流電阻。

交流電流在導(dǎo)體內(nèi)部的流動趨向于導(dǎo)體表面，而直流電流在導(dǎo)體中的流動區(qū)域為導(dǎo)體截面。

3 趨膚深度

電磁波在導(dǎo)電介質(zhì)內(nèi)傳播時，在低頻電磁波（ω<<1017 Hz）

的作用下，導(dǎo)電介質(zhì)中的自由電子只分布在表面，即電荷體密度ρ=0，由微觀的歐姆定律有：

將式（2）代入微分形式的麥克斯韋方程組：

式中：;。

電磁波電場的波動方程為：

（1）考慮時諧（單色）波，即以一定頻率ω做簡諧振蕩的電磁波，其復(fù)數(shù)表式為：

將其代入式（4）整理得：

在此定義復(fù)介電常數(shù)ε'，令：

將式（7）代入式（6），可得導(dǎo)電介質(zhì)中電磁波電場分量所滿足的方程：

由此可得絕緣介質(zhì)中電磁波的電場滿足方程：

其中，對于沒有任何損耗的絕緣介質(zhì)而言，ε為正實數(shù)。

（2）為了證明存在趨膚效應(yīng)，定義復(fù)波矢，則：

將式（10）代入式（8），可得在良導(dǎo)電介質(zhì)中電磁波的波動方程為：

在良導(dǎo)電介質(zhì)中，時諧平面電磁波為：

令復(fù)波矢，式中，均為實矢量，則：

與絕緣體中的電磁波相比，式（13）中多了一項指數(shù)衰減項，電場為阻尼振蕩形式。電磁波在（良）導(dǎo)電介質(zhì)中傳播時，由于存在損耗，其振幅隨著傳播距離的增加而呈指數(shù)衰減。

（3）電磁波垂直入射導(dǎo)電介質(zhì)表面，如圖2所示。

由式（7），式（10），式（11）可得：

比較得：

解式（14）計算可得：

根據(jù)以上分析和計算，可將式（13）化簡為：

電磁波在導(dǎo)電介質(zhì)表面的穿透深度為：

綜上所述，當(dāng)電磁波進入導(dǎo)電介質(zhì)時，電場E和滲入深度z呈指數(shù)衰減關(guān)系：

式中：E0為表面場;δ為特征距離，也稱為趨膚深度（穿透深度），它受介質(zhì)的磁導(dǎo)率μ，介電常數(shù)ε，電導(dǎo)率σ，以及電磁波頻率f等因素的影響。針對任何介質(zhì)，都可代入趨膚深度公式：

式中，ω為角頻率，ω=2πf。

對于導(dǎo)電性能較好地的導(dǎo)體，上述表達式可化

簡為：

公式（20）表明，隨著頻率或電導(dǎo)率的增加，趨膚深度將減小。

本實驗是為了研究不同濃度的鹽溶液中電導(dǎo)率和臨界深度間的關(guān)系。當(dāng)手機浸入鹽溶液中處于臨界深度zc時，手機無響應(yīng)。需要說明的是，臨界深度與趨膚深度不同。

任何接收設(shè)備都會在電場、磁場的作用下有響應(yīng)。通常接收器的靈敏度用最低功率Pmin表示，并且要其輸出給定信噪比。功率大小受天線形狀和單位面積下接收功率的影響，因此可以通過接收器的平均坡印廷矢量來定義其強度。

因為接收到的功率取決于電場的平方和介質(zhì)的固有阻抗，假設(shè)達到接收機的靈敏度Pmin時手機響應(yīng)。

式中，P0為參考功率，是關(guān)于表面場E0的函數(shù)，當(dāng)改變?nèi)芤旱碾妼?dǎo)率時，除了固有阻抗有細小的變化（變化幅度小于12%），其他變量保持不變，所以實驗中假設(shè)P0不變。

整理得：

因為有許多未知的變量（Zc， E0， Pmin），無法求出k理論值，但可根據(jù)測量的臨界深度Zc計算出k的實際值。實驗中，電導(dǎo)率和臨界深度兩個變量可改變，假設(shè)k恒定，那么所預(yù)測的臨界深度應(yīng)和計算出的趨膚深度呈線性關(guān)系。

推導(dǎo)出的公式（21）中，假設(shè)入射波垂直向下，其有效距離為水平面到手機的距離。一般情況下，雖然波的入射角未知，但是盡可能確保波為斜入射，從手機到容器壁的水平距離和從手機到容器底部的距離至少有一個大于水平面到手機的垂直距離。由于衰減指數(shù)與距離相關(guān)，所以入射波的水平分量相比垂直分量顯著減小。

要分析出結(jié)果，還需要知道鹽溶液的濃度和其導(dǎo)電率之間的關(guān)系。得到海水和NaCl溶液的相關(guān)數(shù)據(jù)比較容易，可以初步開展實驗，建立解決方案并與得出的數(shù)據(jù)進行比較。

4 趨膚效應(yīng)實驗

本文在15 L的矩形塑料容器中進行實驗。先把手機放在保鮮袋中，然后再將其放入一個小塑料防水盒中，防水盒到容器兩側(cè)的距離和到容器底部的距離至少有一個大于溶液表面到防水盒的距離，以保證無線電波傳到手機的距離是從頂部表面到達防水盒。實驗所用手機為900 MHz頻段的2G手機。

我們分別把裝有手機的盒子放在不同深度的溶液中，并在不同深度處向其發(fā)出請求，如果實驗成功，手機會發(fā)出響聲并能感覺到手機振動。放入溶液中后，測量液體表面到防水盒的距離，并記錄手機是否有響應(yīng)，一旦手機無響應(yīng)，就稍微提起防水盒直到水機再次響應(yīng)。多次試驗后，發(fā)現(xiàn)臨界深度范圍為1～5 cm，精度為2 mm。重復(fù)在4種不同濃度的溶液中試驗。

利用式（3）和式（4）計算出的理論趨膚深度是關(guān)于濃度的函數(shù)，其適用于較高電導(dǎo)率的溶液。計算時，假設(shè)介電常數(shù)為72（一般是溶度為35 g/L海水的數(shù)值[3]），頻率[4]為900 MHz。圖3為測量出的臨界深度和理論值的對比。圖4為基于式（3）和式（4）得到的實驗值與理論值的比較。

趨膚深度正如計算的那樣，截止深度與深度變化呈線性關(guān)系k=1.32±0.1，與假設(shè)一致，實驗中，可以把P0看作常數(shù)。

如果把k=1.32代入公式，求解功率的比值，結(jié)果Pmin/P0=0.071或7%，則說明當(dāng)信號衰減到約11.5 dB時截止。事實上，根據(jù)實驗畫出的直線就可以說明截止深度是趨膚深度乘以常數(shù)k得到的。

為了試驗較高導(dǎo)電率的溶液是否適用，根據(jù)式（3）乘以比例系數(shù)k=1.32繪制出了測量值和理論值的趨膚深度，還可以利用式（4）乘以比例系數(shù)2.5得到計算結(jié)果（以便結(jié)果更接近）?？梢?，在現(xiàn)有條件下仍無法求出趨膚深度，即曲線是錯誤的。

通過計算的數(shù)值來檢驗結(jié)論，當(dāng)溶度為20 g/L時，其數(shù)值為0.75。如果式（4）有效，其數(shù)值不要求遠大于1。

5 結(jié) 語

上述實驗表明，只使用一罐鹽溶液和一部手機就可以定量研究導(dǎo)電介質(zhì)中的趨膚效應(yīng)。但在900 MHz頻段下，鹽溶液不是良好的導(dǎo)電介質(zhì)，所以在這種情況下，趨膚深度的表達式無效。然而要想應(yīng)用趨膚深度的公式，須用理論值乘以常數(shù)k才與實驗數(shù)值一致。

在此之后，也可以用手機在1 800～2 100 MHz頻段上試驗。當(dāng)溶度為40 g/L，頻率為900 MHz時，趨膚深度為

1.3 cm，而在2 100 MHz時趨膚深度下降到0.85 cm，變化較小不易觀察。另外，除了可以使用手機，也可以考慮其他電子設(shè)備，如工作在100 MHz左右的小型調(diào)頻收音機，依據(jù)理論計算，當(dāng)濃度為40 g/L時，趨膚深度為2.3 cm或2.2 cm。在較低濃度如5 g/L時，臨界深度為8 cm，需要用到更大的容器。

對于實驗用的塑料容器，將來可以使用左上端開口的金屬容器替代，這樣金屬可以阻止電磁波通過側(cè)面或底部進入容器內(nèi)部，保證頂部表面與手機的距離是唯一維度。

從學(xué)習(xí)的角度來說，學(xué)生們通過參與該項目增加了他們的學(xué)習(xí)興趣和動力。特別是以手機作為這個實驗項目的核心，不僅激發(fā)了他們的想象力并使他們持續(xù)保持了較高的學(xué)習(xí)熱情，對電磁波的性質(zhì)有更深入的了解。從教育角度出發(fā)，重復(fù)試驗?zāi)軌驇椭鷮W(xué)生了解電磁波的性質(zhì)，并檢驗與所知是否相符。

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