高應力下懸浮石墨烯薄膜靈敏性的仿真研究

張 夢，張曉平，呂根根，劉泉聲

(武漢大學土木建筑工程學院，巖土與結(jié)構(gòu)工程安全湖北省重點實驗室，湖北武漢 430072)

0 引言

石墨烯是一種由碳原子以sp2雜化軌道組成六角型呈蜂巢晶格的二維碳納米材料。單層石墨烯薄膜材料由K.S.Novoselov和A.K.Geim利用微機械剝離技術成功制備[1]。隨著石墨烯制備方法的不斷發(fā)展，學術界對該材料的研究逐漸增多。Lee等[2]研究了在原子力顯微鏡(AFM)下通過納米壓痕試驗測量的單層石墨烯薄膜的力學性質(zhì)，該研究表明單層石墨烯薄膜的二維彈性模量為340 N/m，斷裂強度為42 N/m，而單層石墨烯薄膜的理論厚度只有0.335 nm，因此對應石墨烯的彈性模量為1 TPa左右，抗拉強度為130 GPa左右。作為一種二維材料，石墨烯的比表面積值很大，可以將其集成至微電子、MEMS、NEMS器件和復合材料中，因此石墨烯材料與器件基底的粘結(jié)力對器件的穩(wěn)定性很重要。經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，石墨烯與二氧化硅表面的吸附能很強，1～5層石墨烯與二氧化硅的吸附能在0.1～0.45 J/m2之間[3-5]。2007年，J.S.Bunch等[6]將石墨烯薄膜懸浮于由二氧化硅層刻蝕出的矩形空腔上，構(gòu)成諧振器并測量外力。該結(jié)構(gòu)是懸浮式石墨烯壓力傳感器的原型。2012年，A.D.Smith 等[7]根據(jù)石墨烯薄膜緊束縛模型理論，設計出完整的懸浮式石墨烯壓力傳感器結(jié)構(gòu)，并在2013年[8]制作出了該傳感器，當空腔內(nèi)外有壓力差時，石墨烯薄膜會產(chǎn)生應力應變，其電阻率發(fā)生變化，則可根據(jù)其電阻率的變化來測量壓力的大小。S.E.Zhu等[9]提出了一種以SiN為壓力膜的懸浮式石墨烯壓力傳感器，通過測量，得到的應變系數(shù)約為1.6，動態(tài)范圍為0～700 mbar(1 bar=105Pa)。但目前的懸浮式石墨烯壓力傳感器在設計、制造和試驗過程中，對于傳感器的敏感特性等機理還需更進一步的研究。且傳感器尺寸只是根據(jù)前人的經(jīng)驗，其設計尚處于經(jīng)驗摸索階段；且在已有懸浮式石墨烯壓力傳感器的實驗與研究中，大多在低應力環(huán)境下，實際上石墨烯材料的楊氏模量和抗拉強度很高，因此可以考慮將其用于高應力環(huán)境下。本文采用有限元方法，對傳感器中的壓敏元件——石墨烯薄膜在均布應力下的應力與應變進行模擬分析，為懸浮式石墨烯壓力傳感器的設計提供參考。

1 基于薄膜大撓度變形的理論模型

傳感器的示意圖如圖1所示，傳感器空腔的形狀和尺寸決定了石墨烯薄膜的形狀和尺寸，因此只需對石墨烯薄膜的形狀和尺寸進行模擬研究即可。單層石墨烯薄膜的厚度為0.335 nm，在均布應力作用下其撓度形變遠大于薄膜厚度，撓度特性表現(xiàn)為非線性。

圖1 懸浮式石墨烯壓力傳感器示意圖

1.1 圓薄膜大撓度模型

1910年，馮卡門推導如式(1)所示的平板大撓度非線性方程組[10]。其用于均布應力下周邊固支的圓薄膜中心大撓度變形問題，奠定了薄板應力撓度分析的基礎。

(1)

式中：D和E分別為圓薄膜的抗彎剛度與彈性模量；t為薄膜厚度；r為圓薄膜半徑；q為均布載荷；Fr為中面內(nèi)力；ω為薄膜中心撓度。

針對該非線性方程組，錢偉長在求解圓板大撓度問題時提出了以荷載和中心撓度為攝動參數(shù)的攝動法[11]，不同均布應力下中心撓度ω與均布載荷q之間的關系如式(2)所示：

(2)

式中υ為泊松比。

應用里茨法求解圓薄膜問題時，通過調(diào)整函數(shù)中的待定常數(shù)獲取逼近于真解的近似解[12]，則圓薄板中心撓度ω可進一步表示為

(3)

1.2 球殼模型

1959年，J.W.Beams通過鼓泡實驗獲取沉積在基體上的薄膜力學性能，提出了球殼模型[13]，即假設當圓形薄膜受均布面荷載時薄膜發(fā)生均勻?qū)ΨQ的膨脹，其撓度特性可由式(4)得到。

(4)

考慮薄膜預應力的影響時，式(4)可改寫為

(5)

式中σ0為石墨烯薄膜的預應力。

2007年，原子力顯微鏡(AFM)與薄膜膨脹試驗(Beams鼓泡試驗)被用來研究石墨烯薄膜的納米力學性質(zhì)[14-15]。

1.3 Ma J模型

2012年，J.Ma等制作了光纖F-P腔石墨烯壓力傳感器以實驗分析石墨烯薄膜的力學性能[16]，給出了均布應力q與薄膜撓度ω之間的近似關系，如式(6)所示。

(6)

對比式(5)、式(6)可知，由Beams方程和文獻[16]兩種方法得出的結(jié)果僅第一項的系數(shù)不同，因此兩者所求的撓度特性存在系數(shù)偏差。

2 石墨烯薄膜的有限元仿真模擬

2.1 模型的建立與參數(shù)設定

單層石墨烯薄膜的理論厚度為0.335 nm，楊氏模量為1 TPa，泊松比為0.16。在懸浮式石墨烯壓力傳感器中，石墨烯薄膜覆蓋于空腔上，而石墨烯薄膜與SiO2間的粘結(jié)力很強，因此將模型中的石墨烯薄膜設為周邊固支。同時，根據(jù)已有的研究，將石墨烯薄膜的初始預應力設為0.1 N/m。單層石墨烯薄膜的厚度很薄，因此在COMSOL軟件中，選擇二維“板”單元模擬石墨烯薄膜，而后在石墨烯薄膜上施加均布應力。由于石墨烯薄膜的變形較大，因此在計算時選擇“非線性計算”。由于網(wǎng)格精度對模擬結(jié)果有一定的影響，因此對模型中的網(wǎng)格劃分進行研究，確定合適的網(wǎng)格劃分精度。

模型中圓形石墨烯薄膜的直徑為5 μm，周邊固支，在薄膜上施加范圍為5～100 MPa，間隔為5 MPa的均布應力，網(wǎng)格單元為自由三角形，精度分別為超細化、細化、常規(guī)、粗糙，比較相同均布應力作用下，石墨烯中心點的位移大小如圖2所示，模型的位移云圖示意圖如圖3所示。

圖2 不同網(wǎng)格精度下的石墨烯薄膜中心點在不同均布應力下的位移

圖3 均布應力作用下圓形石墨烯薄膜的位移云圖示意圖

由圖2可知，在相同均布應力作用下，不同精度網(wǎng)格劃分的石墨烯薄膜中心點的位移很接近。計算時，當網(wǎng)格劃分精度為粗化時，若施加的均布應力大小為70 MPa及以上會導致計算不收斂，計算失敗；當網(wǎng)格劃分為精度為細化時，若施加的均布應力大小為95 MPa及以上會導致計算不收斂，計算失??；當網(wǎng)格劃分為極細化時，計算時間約為較細化精度下的10倍左右。因此，在進行模擬計算時，綜合考慮計算效率和計算精度，將網(wǎng)格劃分精度選為較細化。

為了驗證模擬的可靠性，在5～100 MPa載荷范圍內(nèi)以5 MPa間隔，一共選取20組均布應力施加于石墨烯薄膜上，由于在實際應用時，是根據(jù)傳感器的變形所導致的電阻變化來測應力，因此根據(jù)COMSOL的位移結(jié)果，計算各個理論相對應的應力值，比較與COMSOL施加應力值的誤差，則不同位移下的均布應力理論解與仿真值如圖4所示。

圖4 不同位移下的均布應力

由圖4可知，Beams方程解與仿真值最接近，誤差很小，三階攝動解次之，其余理論解與仿真值的誤差較大；且隨著石墨烯薄膜的變承受的均布應力逐漸增加，理論解與COMSOL仿真值的絕對誤差越來也大。而在2007年，原子力顯微鏡(AFM)與薄膜膨脹試驗(Beams鼓泡試驗)被用來研究石墨烯薄膜的納米力學性質(zhì)，因此可以利用COMSOL來模擬計算單層石墨烯薄膜在均布應力下的變形特性。

2.2 同面積下不同形狀的石墨烯薄膜在均布應力下的模擬研究

選擇直徑為5 μm的圓形石墨烯薄膜，根據(jù)其面積計算相同面積下矩形和正方形薄膜的尺寸(矩形薄膜長寬比為2.5∶1)。在石墨烯薄膜上施加范圍為5～100 MPa，間隔為5 MPa的均布應力，計算其應力應變。在3種不同形狀的石墨烯薄膜中，選取如圖5所示的二維截線，計算其變形前后的長度，據(jù)此計算石墨烯薄膜的應變。

(a)圓形薄膜的二維截線

(b)方形薄膜的二維截線

(c)矩形薄膜的二維截線

不同均布應力下，不同形狀的石墨烯薄膜的應變、最大應力和中心點的位移如圖6所示。

由圖6可以看出，在相同均布應力下，圓形石墨烯薄膜的應變最小，正方形與矩形的應變接近，但三者差距不明顯；方形薄膜上的最大應力值最大，矩形薄膜次之，圓形薄膜最?。坏珗A形薄膜中心點的位移最大，方形石墨烯薄膜中心點的位移略微次之，矩形石墨烯薄膜中心點的位移最小，且遠低于前兩種形狀的石墨烯薄膜。同均布應力作用下矩形石墨烯薄膜中心點的位移最小，但其應變很高，是因為在變形前矩形二維截線最短，約為圓形石墨烯薄膜和正方形石墨烯薄膜二維截線的一半，即使其中心點的位移較小(約為其余兩種情況的一半)，也會導致其應變很高——與圓形和正方形石墨烯的應變接近。矩形薄膜和方形薄膜的最大應力值較高，是因為相比于圓形薄膜，這兩種形狀薄膜更容易產(chǎn)生應力集中現(xiàn)象，已知單層石墨烯薄膜的斷裂強度約為130 GPa，則在上述模擬中，當均布應力為25～30 MPa間的某個值時，圓形石墨烯薄膜會產(chǎn)生破壞；當均布應力為20～25 MPa間的某個值時，矩形石墨烯薄膜會產(chǎn)生破壞；當均布應力為15～20 MPa間的某個值時，正方形石墨烯薄膜會產(chǎn)生破壞。

(a)不同形狀石墨烯薄膜在均布應力下的應變

(b)不同形狀石墨烯薄膜在均布應力下的最大應力值

(c)不同形狀石墨烯薄膜的中心點在均布應力下的位移

因此，當利用石墨烯的壓阻效應制作石墨烯壓力傳感器時，主要考慮的是其應變，在高應力環(huán)境下，綜合量程與靈敏度，同面積下應選擇圓形石墨烯壓力薄膜。

2.3 相同二維截線長度下石墨烯薄膜在均布應力下的模擬研究

在上述模擬中，正方形、圓形和矩形石墨烯薄膜的面積一樣，但計算應變時選取二維截線長不一樣，則考慮分析當二維截線長相同時，不同形狀的石墨烯薄膜在均勻應力下的應力應變。計算時，二維截線的選取位置與上述模擬一致，3種形狀石墨烯薄膜的二維截線長均為5 000 nm，矩形的長為8 000 nm，施加范圍為5～100 MPa，間隔為5 MPa的均布應力，如圖7所示。

(a)不同形狀石墨烯薄膜在均布應力下的應變

(b)不同形狀石墨烯薄膜在均布應力下的最大應力值

(c)不同形狀石墨烯薄膜的中心點在均布應力下的位移

由圖7可以看出，在相同的均布應力作用下，應變、應力最大值還是中心點的位移，均是矩形最大，正方形次之，圓形最小，且該尺寸下矩形和正方形石墨烯薄膜能承受的最大均布應力均在10～15 MPa之間，而圓形石墨烯薄膜能承受的最大均布應力在25～30 MPa之間。導致該結(jié)果的原因是，當二維截線相同時，矩形石墨烯薄膜的面積最大，正方形次之，圓形最小。由此可推想，是否當矩形石墨烯薄膜的寬度一定時，長度越長則應變、應力最大值和中心點的位移越大。

2.4 不同長寬比的矩形薄膜在均布應力下的模擬研究

選擇矩形薄膜的寬分別為5 000 nm、4 000 nm和3 000 nm，長寬比分別為6∶5、7∶5、8∶5、9∶5和10∶5，計算在范圍為5～100 MPa，間隔為5 MPa的均布應力作用下石墨烯薄膜的應力、應變和位移，結(jié)果如圖8～圖10所示。

(a)不同長寬比的矩形薄膜在均布應力下的應變

(c)不同長寬比的矩形薄膜中心點在均布應力下的位移

(a)不同長寬比的矩形薄膜在均布應力下的應變

(b)不同長寬比的矩形薄膜在均布應力下的最大應力值

(c)不同長寬比的矩形薄膜中心點在均布應力下的位移

由圖8～圖10可以看出，隨著矩形石墨烯薄膜長寬比的增大，既矩形石墨烯薄膜長度的增加，在相同的均布應力作用下，石墨烯薄膜的應變、最大應力值和中心點的位移均逐漸增加。當長寬比從6∶5增至7∶5時，石墨烯薄膜的應變、最大應力值和中心點的位移的增加幅度較大；當長寬比從7∶5增值8∶5時，石墨烯薄膜的應變、最大應力值和中心點的位移的增加幅度較小，但可在圖中清楚的看出；當長寬比為8∶5、9∶5和10∶5時，三者的結(jié)果較接近，看不出很明顯的變化。則對于矩形石墨烯壓力薄膜，當長寬比大于1.6時，改變長寬比對其影響不大。

(a)不同長寬比的矩形薄膜在均布應力下的應變

(b)不同長寬比的矩形薄膜在均布應力下的最大應力值

(c)不同長寬比的矩形薄膜中心點在均布應力下的位移

3 結(jié)論

本文結(jié)合已有的大撓度變形理論，檢驗了COMSOL有限元仿真模擬，并利用COMSOL軟件研究了同面積下不同形狀的石墨烯薄膜的壓力敏感特性，討論了長寬比對矩形石墨烯薄膜壓力敏感特性的影響。得出以下結(jié)論：面積相同時，矩形石墨烯薄膜最敏感，膜上的最大應力值最高；圓形薄膜在均布應力下的應變最小，但與矩形和正方形薄膜的應變相近。而石墨烯薄膜的形狀即為空腔的形狀，因此在高應力狀態(tài)下應將傳感器制成圓形空腔，在較低應力狀態(tài)下可制成正方形或矩形空腔，且矩形空腔的長寬比不宜大于1.6。