一類連續(xù)分段線性Hamilton 系統(tǒng)在線性擾動下極限環(huán)個數(shù)的估計

鄧 蕊，李寶毅，張永康

（天津師范大學數(shù)學科學學院，天津300387）

1 引言與主要結論

分段微分系統(tǒng)在控制理論和機械工程等領域具有廣泛應用，因此對于分段微分系統(tǒng)極限環(huán)個數(shù)的估計成為常微分方程定性理論中的熱點問題.目前，多數(shù)文獻考慮將平面分成左右或上下2個半平面，或幾個扇形區(qū)域，研究分段系統(tǒng)的極限環(huán)個數(shù)問題[1-5]，關于平行的k 條直線將平面分成k+1個帶狀區(qū)域的分段微分系統(tǒng)的研究相對較少.1991 年，Lum 等[6]猜想由1 條直線將平面分成2個區(qū)域的連續(xù)分段線性系統(tǒng)至多存在一個極限環(huán)，1998 年，F(xiàn)reire 等[7]證明了此猜想，并于2002 年運用相同的方法研究2 條平行直線將平面分成3個區(qū)域的平面對稱連續(xù)分段線性系統(tǒng)[8]，給出了一類連續(xù)的分段線性系統(tǒng)分別存在1個、2個、3個極限環(huán)的充分條件.文獻[9]給出了由2 條平行線將平面分成3個區(qū)域的分段光滑近Hamilton 系統(tǒng)的一階Melnikov 函數(shù)的計算公式，并證明了Kukles系統(tǒng)在某一閉軌附近可分支出2個極限環(huán).本文將平面用2 條平行直線分成3個區(qū)域，研究一類連續(xù)的分段線性Hamilton 系統(tǒng)在線性擾動下的極限環(huán)個數(shù)，利用Chebyshev 系統(tǒng)的性質[10-11]計算一階Melnikov 函數(shù)零點的個數(shù)，從而估計出該分段線性Hamilton 系統(tǒng)極限環(huán)個數(shù)的上確界.

在平面內定義2 條直線l1= {（x，y）|x = -1}，l2={（x，y）|x = 1}. 這2 條直線將平面分為3個區(qū)域D1∪D2∪D3，其中：D1={（x，y）|x≤-1}，D2={（x，y）|-1 ＜x ＜1}，D3={（x，y）|x≥1}.考慮分段Hamilton 系統(tǒng)

其中：0 ＜ε?1，且

易知，在直線上l1，有?H1（x，y）/?x≡?H2（x，y）/?x，?H（1x，y）/?y≡?H（2x，y）/?y；在直線l2上，有?H（2x，y）/?x≡?H3（x，y）/?x，?H2（x，y）/?y≡?H3（x，y）/?y.連續(xù)的分段線性Hamilton 系統(tǒng)（1）ε=0存在一族跨越3個區(qū)域的逆時針走向的周期閉軌族Γh=Γh1∪Γh2∪Γh3∪Γh4，如圖1 所示.

圖1 系統(tǒng)（1）ε=0 的周期閉軌Fig.1 Periodic closed orbits of System（1）ε=0

設周期閉軌Γh與直線l1、l2的交點分別為A1（-1，其中u∈（0，+∞）.由h=H1（x，y）=H1（x，y）|A1=H1（x，y）|A2=-（u2+1），可得軌線在區(qū)域D1上的參數(shù)方程為

其中：θ∈[β-π，π-β]，β=由h4（h）= h2（h）= H2（x，y）= H2（x，y）|B1= H2（x，y）|A1=-（u2+2）=h-1，可得軌線在區(qū)域D2上的參數(shù)方程為

本文得到如下結論.

定理對于系統(tǒng)（1）ε，當其一階Melnikov 函數(shù)M1（h）?0 時，

（1）若擾動是連續(xù)的，即P1（-1，y）≡P2（-1，y），Q1（-1，y）≡Q2（-1，y），P2（1，y）≡P3（1，y），Q2（1，y）≡Q3（1，y），則系統(tǒng)（1）ε在周期閉軌族Γh附近分支出極限環(huán)個數(shù)的上確界為2；

（2）若擾動是非連續(xù)的，則系統(tǒng)（1）ε在周期閉軌族Γh附近分支出極限環(huán)個數(shù)的上確界為4.

2 一階Melnikov 函數(shù)

引理1[9，12]系統(tǒng)（1）ε的一階Melnikov 函數(shù)為

M1（h）=I1+μ2I2+μ2μ3I3+μ2μ3μ4I4=I1+I2+I3+I4其中：P4（x，y）=P2（x，y），Q4（x，y）=Q2（x，y）.

注因為分段Hamilton 系統(tǒng)（1）ε=0是連續(xù)的，所以μ2=μ3=μ4=1.

利用式（2）～式（5）可得

因此，由引理1 可得

其中：

引理2式（6）中c1、c2、c3、c4、c5關于18個多項式系數(shù)pij、qij（1≤i≤3，0≤j≤2）是獨立的.

證明記Δ1=d（c1，c2，c3，c4，c5）/d（pij，qij），1≤i≤3，0≤j≤2，則

容易驗證Δ1是滿秩矩陣，所以c1、c2、c3、c4、c5關于pij、qij（1≤i≤3，0≤j≤2）獨立.證畢.

若擾動是連續(xù)的，則有

由方程組（7）可得

將式（8）代入式（6）可得

引理3式（9）中關于10個多項式系數(shù)p10、q10、pi1、qi1、p12、q12（i=1、2、3）是獨立的.

證明記q12），i=1、2、3，則

Δ2是滿秩矩陣，因此結論成立.證畢.

3 定理的證明

定義[10，13]設{ f0（x），f1（x），…，fn-1（x）}為開區(qū)間L 上的有序解析函數(shù)組，若對于任意k=1，2，…，n，非恒為零的實系數(shù)線性組合λ0f0（x）+λ1f1（x）+…+λk-1fk-1（x）在L 上的孤立零點個數(shù)（計重數(shù)）至多為k-1，則稱{ f0（x），f1（x），…，fn-1（x）}在L 上為擴展的完備Chebyshev 系統(tǒng)（簡稱ECT-系統(tǒng)）.

引理4[10]{f0（x），f1（x），…，fn-1（x）}在開區(qū)間L 上為ECT-系統(tǒng)的充分必要條件為，對任意k=0，1，…，n -1，Wronskian 行列式Wk（x）=W[f0（x），f1（x），…，在L 上無零點.

定理的證明（1）若擾動為連續(xù)的，系統(tǒng)（1）ε的一階Melnikov 函數(shù)如式（9）所示.

由v2=u2+4 得dv/du=u/v，由tan α=sin α/cos α=u得（1+tan2α）dα/du=1，即dα/du=1/（u2+1），所以有

注意到tan β=v，于是

所以有

其中：

引理5當u∈（0，+∞）時，φ1（u）＞0 恒成立.

證明當u∈（0，0.5]時，φ1（u）的圖像見圖2，φ1（u）＞0 顯然成立.

圖2 φ1（u）在u∈(0，0.5]的圖像Fig.2 Function image of φ1（u）when u∈(0，0.5]

當u∈（0.5，+∞）時，注意到

則β*= β - π∈（-13π/20，-π/2），故α + β*∈（-21π/40，0）?（-π，0）.又因為故0 ＜v/u-1 ＜2/u2.從而對于φ1（u）的每項，有

由式（10）～式（15）可得，當u∈（0.5，+∞）時，φ1（u）＞0.證畢.

（2）若擾動為非連續(xù)的，系統(tǒng)（1）ε的一階Melnikov函數(shù)如式（6）所示.

設f0（u）= u，f1（u）= v，f2（u）= u3- v3，f3（u）=α（u2+1），f4（u）=β*（v2+1）.計算得

顯然W0（u）、W1（u）、W2（u）在L=（0，+∞）上無零點.

同理，由fi（u）計算得W3（u）= [（v - u）φ2（u）]/[v9（u2+1）3]，其中

引理6當u∈（0，+∞）時，φ2（u）＞0 恒成立.

證明當u∈（0，1]和（1，2]時，φ2（u）的圖像見圖3（a）和（b），φ2（u）＞0 顯然成立.

圖3 φ2（u）在u∈(0，1]，（1，2]的圖像Fig.3 Function image of φ2（u）when u∈(0，1]，（1，2]

當u∈（2，+∞）時，注意到

故v/u-1 ＞2u-2-2u-4，且v/u=（1+4u-2）1/2＞1+1.6u-2（等價于0.8 ＞2.56u-2）.從而對于φ2（u）的每項，有

由式（16）～式（29）可得，當u∈（2，+∞）時，φ2（u）＞0.證畢.

計算得W4（u）=-φ3（u）/[（u2+5）6（u2+1）6v16]，對u∈（0，10]和（10，+∞）分別討論，通過類似于引理6 的證明過程可得如下引理7 成立.

引理7當u∈（0，+∞）時，φ3（u）＞0 恒成立.

由引理6、引理7 和引理4 可知，M1（h）=0 在開區(qū)間（0，+∞）上零點個數(shù)的上確界為4，即若擾動是非連續(xù)的，則系統(tǒng)（1）ε在周期閉軌族Γh附近分支出極限環(huán)個數(shù)的上確界為4.