基于遺傳算法的機械手時間-脈動優(yōu)化軌跡規(guī)劃

牛韜，嵇道揚，馬晨波，孫見君

（1.江蘇速力達精密科技有限公司， 江蘇 南京 211299）

（2.南京林業(yè)大學機械電子工程學院， 江蘇 南京 210037）

機械手的軌跡規(guī)劃作為軌跡跟蹤控制的基礎(chǔ)[1]，是通過給定的路徑點，在滿足相關(guān)運動學和動力學約束的條件下，得到通過路徑點的軌跡，并計算出機械手運動過程中的位移、速度、加速度等參數(shù)，其優(yōu)劣對機械手的工作效率、運行平穩(wěn)性等起著決定性作用。由于路徑點之間的軌跡復雜繁多，人們希望從中找到一條最優(yōu)的軌跡。其中，注重效率的時間最優(yōu)軌跡規(guī)劃的研究開展最早[2-3]，也最為熱門。張紅強[4]采用B樣條曲線構(gòu)造機器人的軌跡，提出了一種基于改進混沌優(yōu)化算法的機器人時間最優(yōu)軌跡設計方法，并在關(guān)節(jié)空間與笛卡爾空間對PUMA560前三關(guān)節(jié)軌跡進行了優(yōu)化計算。付榮[5]等人根據(jù)機械臂運動學約束，提出了關(guān)節(jié)空間基于粒子群優(yōu)化（PSO）的時間最優(yōu)3-5-3多項式插值軌跡規(guī)劃算法。但是，時間最優(yōu)的軌跡往往具有較大的脈動，脈動過大對機械手有不利的影響，會帶來振動、機械磨損、壽命縮短、軌跡跟蹤誤差增大等問題[6-7]。機械手最優(yōu)脈動軌跡的研究應運而生，楊錦濤[8]等人用S形速度曲線代替梯形速度曲線，對B樣條進行插補，插補后得到笛卡爾空間的位置、速度、加速度參數(shù)，得到脈動最優(yōu)的軌跡曲線，并反推到關(guān)節(jié)空間進行仿真驗證。隨著現(xiàn)代工業(yè)生產(chǎn)要求的提高，單獨一種目標的最優(yōu)軌跡規(guī)劃很難滿足應用中的綜合要求，考慮兩種或者兩種以上性能的優(yōu)化可以得到更適合實際生產(chǎn)應用、綜合性能更優(yōu)的軌跡規(guī)劃方案[9-12]。

本文提出了一種基于遺傳算法的機械手時間-脈動最優(yōu)軌跡規(guī)劃方法。采用三次B樣條曲線對關(guān)節(jié)坐標內(nèi)路徑點的位移時間序列進行插值，得到待優(yōu)化的軌跡曲線；以相鄰路徑點之間的時間間隔為設計變量，以機械手的運動學約束為約束條件，使用加權(quán)系數(shù)法定義目標函數(shù)，涵蓋機械手運行時間和機械手軌跡脈動兩個部分，基于遺傳算法求解帶約束的多目標優(yōu)化問題，得到運行時間和脈動綜合最優(yōu)的軌跡，并通過仿真分析進行了驗證。

1 問題描述

機械手的軌跡規(guī)劃按規(guī)劃空間不同分為笛卡爾空間軌跡規(guī)劃和關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃。笛卡爾空間軌跡規(guī)劃在機械手的工作坐標系中進行，規(guī)劃對象是末端執(zhí)行器的軌跡曲線，經(jīng)過規(guī)劃后末端執(zhí)行器沿著規(guī)劃好的曲線運動。關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃在機械手的關(guān)節(jié)坐標系中進行，規(guī)劃對象是各個關(guān)節(jié)的角度，規(guī)劃后各個關(guān)節(jié)按照規(guī)劃方式運動，從而帶動機械手在工作空間中完成各種運動。

機械手的軌跡規(guī)劃按照規(guī)劃方式不同分為連續(xù)路徑軌跡規(guī)劃和點到點軌跡規(guī)劃[13]。在機械手末端執(zhí)行器的位姿有瞬時變化，如焊接、噴涂等作業(yè)中，機械手多采用連續(xù)路徑軌跡規(guī)劃。而在路徑簡單，對精度要求不高的工作中，如搬運、碼垛等作業(yè)中，則會采用點到點的方式進行軌跡規(guī)劃。

本文以ABB公司的IRB6640型機械手作為研究對象，此機械手有六個自由度，承載能力為180kg，在輪轂加工的過程中承擔將汽車輪轂在數(shù)控機床間的搬運工作，路徑較為簡單，因此，選擇在關(guān)節(jié)空間進點到點軌跡規(guī)劃。

在進行軌跡規(guī)劃的過程中，根據(jù)機械手要完成的工作，設定個路徑點和個與之對應時刻，給定機械手末端執(zhí)行器的位置時間序列（Pi，ti），其中，i=1，2，…，m。通過運動學逆運算，得到六個旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的角位移時間序列（Qij，ti），其中，i=1，2，…，m，j=1，2，…，6，Qij表示與第i個路徑點對應的第j關(guān)節(jié)的角位移。用三次B樣條曲線，對六個旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的角位移進行插值，得到關(guān)節(jié)運動軌跡函數(shù)qj(t)，其中，j=1，2，…，6，qj(t)表示第j個關(guān)節(jié)角位移-時間函數(shù)。相應的，角速度、角加速度、脈動函數(shù)表示如下：

在進行軌跡規(guī)劃時，每一組不同的時間序列T=[t1，t2…tm]（或者表達成時間間隔序列△T=[△t1，△t2…△tm-1]，△Ti=ti+1-ti，i=1，2，…，m-1），都會得到不同的關(guān)節(jié)運動軌跡。為實現(xiàn)對不同軌跡的評價，進而實現(xiàn)軌跡優(yōu)化，從機械手的工作效率和運行平穩(wěn)的角度出發(fā)，定義如下的評價指標：

其中，E1為機械手按某一軌跡運行的總時間，用來衡量機械手的工作效率，E2為機械手按某一軌跡運行的總脈動。本文旨在找出一組時間序列，得到一條時間-脈動綜合最優(yōu)的機械手運動軌跡。

2 三次B樣條曲線構(gòu)造關(guān)節(jié)軌跡

B樣條曲線是一類分段光滑，且在各段交接處也有一定光滑性的函數(shù)曲線。B樣條曲線具有導數(shù)連續(xù)性、局部支撐性、可拓展性等優(yōu)點，被廣泛應用于機械手的軌跡規(guī)劃中[14-15]。本文采用三次B樣條曲線對關(guān)節(jié)空間的路徑點進行插值。

n次B樣條曲線的數(shù)學表達式為：

其中，0≤t≤1，Ni為控制點，F(xiàn)i,n(t)為n次B樣條基函數(shù)，其表達式為：

由n次B樣條曲線插值得到的第k段關(guān)節(jié)軌跡：

當n=3時，將式（8）整理成矩陣形式，表達式如下：

其中，k=1，2，…，m-1，m≥2。

已知機械手的某關(guān)節(jié)需要經(jīng)過m個路徑點qi（i=1，2，…，m），完整的軌跡需要由m-1段曲線連接組成，曲線方程由m+2個未知的控制點Ni（i=1，2，…，m+1）所唯一控制。將已知條件m個路徑點qi帶入式（9），可以列出m個方程。若想求出所有的控制點Ni的解還需要增加兩個邊界條件，可以根據(jù)軌跡曲線的需要給定，一般是設置機械手關(guān)節(jié)的第一段軌跡的起始點和最后一段軌跡的終止點的速度為零。由已知的m+2個方程，可以求出m+2個控制點的確定解。

求得控制點后，根據(jù)式（8）能夠得到關(guān)節(jié)的運動軌跡，進而求導可以得到關(guān)節(jié)的角速度、角加速度、角加加速度曲線。

3 基于遺傳算法的最優(yōu)時間-脈動求解

遺傳算法（Genetic Algorithm，GA）是一種進化算法，其基本原理是仿效生物界中的“物競天擇、適者生存”的演化法則，從代表問題可能潛在的解集的一個種群開始的，而一個種群則由經(jīng)過基因編碼的一定數(shù)目的個體組成[16]。初代種群產(chǎn)生之后，按照適者生存和優(yōu)勝劣汰的原理，逐代演化產(chǎn)生出越來越好的近似解，在每一代，根據(jù)問題域中個體的適應度大小選擇個體，并借助于自然遺傳學的遺傳算子進行組合交叉和變異，產(chǎn)生出代表新的解集的種群。這個過程將使得種群像自然進化一樣，后生代種群比前代更加適應環(huán)境，末代種群中的最優(yōu)個體經(jīng)過解碼，可以作為問題近似最優(yōu)解。在給定的搜索空間內(nèi)，遺傳算法對多個解進行同時搜索，能夠避免解停滯在局部最優(yōu)的區(qū)間，適用于多目標，非線性，多模型的復雜系統(tǒng)的優(yōu)化問題。

采用加權(quán)系數(shù)法，將多目標E1與E2的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換成單目標優(yōu)化問題，定義算法所需的適應度函數(shù)如下：

軌跡的優(yōu)化以機械手的運動學約束作為約束條件，即以角速度、角加速度、角加加速度的最大值為約束條件。角速度約束如下：

基于遺傳算法的機械手時間-脈動最優(yōu)軌跡規(guī)劃優(yōu)化計算，其流程如下：

(1)編碼：遺傳算法在進行搜索之前先將解空間的解數(shù)據(jù)表示成遺傳空間的基因型串結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)，這些串結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)的不同組合便構(gòu)成了不同的點。

(2)生成初代種群：隨機產(chǎn)生20組時間序列，一組時間序列對應一條軌跡，對應每組時間序列稱為一個個體，20個個體構(gòu)成了初代種群。

(3)適應度計算：適應度表明個體或解的優(yōu)劣性，20組時間序列帶入式（11）的適應度函數(shù)計算適應度。

(4)選擇、交叉、變異：選擇的目的是為了從當前群體中選出適應度高的個體，使它們有機會作為父代為下一代繁殖子孫。被選作父代的個體，通過交叉和變異獲得新的下一代的個體，新的20個個體組成新一代的種群。設置交叉概率pc=0.8，變異概率pm=0.1。

(5)判斷是否滿足終止條件：設置終止條件迭代代數(shù)為100代。若滿足，進行步驟（6）；若不滿足，循環(huán)執(zhí)行步驟（3）和步驟（4），直至滿足終止條件。

(6)解碼：對末代種群做逆編碼操作，選擇其中的最優(yōu)時間序列，即為解得的最優(yōu)解。最優(yōu)時間序列對應的機械手軌跡則為時間-脈動最優(yōu)軌跡。

4 仿真與結(jié)果分析

為了驗證該軌跡規(guī)劃方法的可行性，本文以IRB6640型機械手為研究對象，預設7個在工作過程中需要經(jīng)過的路徑點（見表1），考慮運動學約束（見表2），在關(guān)節(jié)空間進行時間-脈動最優(yōu)軌跡規(guī)劃。因為IRB6640型機械手前三個關(guān)節(jié)為大關(guān)節(jié)，且前三個關(guān)節(jié)就能控制末端執(zhí)行器的位置，故本文僅以前三個關(guān)節(jié)為例，考慮脈動也僅考慮前三個關(guān)節(jié)的脈動。

表1 關(guān)節(jié)路徑點

表2 運動學約束

J2 90 50 70 J3 90 45 70

設置機械手7個路徑點之間的時間間隔為1s，2s，3s，3s，2s，1s；調(diào)整系數(shù)k=50；加權(quán)系數(shù)取值如下，α=0.8、0.7、0.6、0.5、0.4、0.3、0.2，相應的，β=0.2、0.3、0.4、0.5、0.6、0.7、0.8。分別對這七種情況進行優(yōu)化，得到的結(jié)果如表3所示。

由表3可知，當α值越大時，運行時間評價指標權(quán)重越大，得到的軌跡曲線，運行時間就越短，但是前三個關(guān)節(jié)的脈動總和就越大；相反的，當β值越大時，脈動評價指標權(quán)重越大，得到的軌跡曲線，脈動很小，但是運行時間較長。具體的，當α從0.8降到0.5，再降到0.2，運行時間從6.92s上升到9.57s，再上升到11.51s，分別上升了38.3%和66.3%；前三個關(guān)節(jié)的脈動總和從507.51下降到238.49，再降到176.72，分別下降了53.0%和65.2%。

當α為0.8、0.5、0.2時，對前三關(guān)節(jié)軌跡規(guī)劃進行了仿真，仿真的結(jié)果如圖1、圖2、圖3所示。

圖1 關(guān)節(jié)1軌跡規(guī)劃對比

圖2 關(guān)節(jié)2軌跡規(guī)劃對比

圖3 關(guān)節(jié)3軌跡規(guī)劃對比

在圖1、圖2、圖3中，各個關(guān)節(jié)的角速度、角加速度、角加加速度均在約束條件范圍內(nèi)；各個關(guān)節(jié)的啟停角速度均為0；各個關(guān)節(jié)的角位移、角速度、角加速度連續(xù)，而角加加速度存在數(shù)值突變的情況。當α=0.8，β=0.2時，所得軌跡接近時間最優(yōu)軌跡，運行時間短，脈動大；當α=0.5，β=0.5時，運行時間和脈動的權(quán)重相同，軌跡為同等考慮運行時間和脈動的軌跡；當α=0.2，β=0.8時，所得軌跡接近脈動最優(yōu)軌跡，運行時間長，脈動小。

5 結(jié)論

本文運用了三次B樣條曲線對機械手進行關(guān)節(jié)空間的軌跡規(guī)劃，該方法保證了關(guān)節(jié)位移、速度、加速度的連續(xù)，克服了多項式插值法的只能進行較少點之間插值的不足；采用加權(quán)系數(shù)法定義目標函數(shù)，采用遺傳算法求解滿足運動學約束條件下的時間-脈動軌跡，仿真結(jié)果驗證了算法的有效性；在實際生產(chǎn)的過程中，可根據(jù)應用情況的不同，采用不同的加權(quán)因子和優(yōu)化策略，得到滿足生產(chǎn)要求的機械手優(yōu)化軌跡。

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