線源時(shí)間域垂直磁場(chǎng)全區(qū)視電阻率求解

趙福元, 周 磊, 李寧生, 仵 陽(yáng), 虎新軍, 安百州

(1.寧夏回族自治區(qū)地球物理地球化學(xué)勘查院，銀川 750001；2.長(zhǎng)江大學(xué) 油氣資源與勘探技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 430100)

0 引言

在數(shù)字濾波的廣泛應(yīng)用下，時(shí)間域一維瞬變電磁測(cè)深響應(yīng)的求解已經(jīng)比較成熟，從頻率域中轉(zhuǎn)換到時(shí)間域中的方法也比較多且各具特色。在瞬變電磁測(cè)深法視電阻率的定義和求解方面，以往多采用早晚期近似的方法, 這就忽略了過(guò)渡區(qū)的電性信息，從而使得瞬變電磁測(cè)深存在盲區(qū)，而全區(qū)視電阻率則可以很好地解決這一問(wèn)題。由于瞬變電磁場(chǎng)與電阻率之間的關(guān)系比較特殊,一般都非常復(fù)雜且呈非線性，因此很難獲得其解析表達(dá)式[1]。頻率域電法中主要是利用CSAMT中場(chǎng)單分量定義[10-11]，時(shí)間域中,嚴(yán)良俊等[2]在長(zhǎng)偏移距瞬變電磁測(cè)深中通過(guò)研究垂直磁場(chǎng)和電阻率的單值關(guān)系，給出了全區(qū)視電阻率的定義，并從感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)轉(zhuǎn)化為垂直磁場(chǎng)進(jìn)行計(jì)算效果很好；白登海[3]主要是根據(jù)中心方式磁場(chǎng)垂直分量時(shí)間變化率的核函數(shù)表現(xiàn)特征，在瞬變過(guò)程中的早期、早期到晚期的轉(zhuǎn)折點(diǎn)和晚期階段,得到早、晚期視電阻率，最后通過(guò)轉(zhuǎn)折點(diǎn)得到完整的全區(qū)視電阻率曲線；楊生[4]在中心回線裝置中，采用迭代反演計(jì)算方法得到全區(qū)視電阻率；李建平[5]主要是在回線裝置下，利用分解的水平電偶極子求取全區(qū)視電阻率；王華軍[6]利用電導(dǎo)率、發(fā)射回線邊長(zhǎng)與觀測(cè)時(shí)間的平移伸縮特性，直接計(jì)算全區(qū)視電阻率；陳清禮[7]利用二分搜索算法，直接用實(shí)測(cè)的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)計(jì)算出不同時(shí)刻的視電阻率，該算法快速精確，計(jì)算所得全區(qū)視電阻率相對(duì)誤差不超過(guò)0.1%。上述這些計(jì)算方法都只是針對(duì)偶極子或回線激發(fā)源而言，沒(méi)有專門針對(duì)線源的計(jì)算。實(shí)際工作中，若在近區(qū)接收端距離發(fā)射端足夠近或回線邊長(zhǎng)足夠長(zhǎng)時(shí)，可以近似看作線源，利用線源的理論來(lái)解釋。這樣在近區(qū)可以擴(kuò)大觀測(cè)區(qū)域，同時(shí)能獲得更好的信號(hào)強(qiáng)度，然后采用改變時(shí)間窗的方法來(lái)達(dá)到探測(cè)不同深度目標(biāo)體的目的，這是頻率域中所無(wú)法比擬的。

1 全區(qū)視電阻率計(jì)算方法

瞬變電磁場(chǎng)響應(yīng)的計(jì)算一般有兩種途徑：①在時(shí)間域里直接求解，②在頻率域中求解，然后將結(jié)果轉(zhuǎn)換到時(shí)間域。

目前，頻率域中一維正演求解方法已比較完善，從頻域到時(shí)域的轉(zhuǎn)換方法也比較多，如最早主要采用傅里葉變換進(jìn)行轉(zhuǎn)換，但這種方法對(duì)核函數(shù)抽樣太多，產(chǎn)生更多的濾波系數(shù)，計(jì)算速度慢。筆者是在求解頻率域的響應(yīng)時(shí)，使用基于漢克爾變換理論的正余弦濾波算法進(jìn)行離散化求解，精度高、速度快。求解時(shí)間域響應(yīng)時(shí)采用余弦變換求解[8]。對(duì)于線源而言，若規(guī)定電流源在y方向無(wú)限延伸，則頻域線源層狀介質(zhì)下垂直磁場(chǎng)Hz(ω)表達(dá)式為：

(1)

利用基于漢克爾變換理論的正弦變換濾波算法的原理先對(duì)其離散化后有：

(2)

前人研究表明[8]：由于用余弦變換從頻率域正演的結(jié)果轉(zhuǎn)換到時(shí)間域的過(guò)程中存在實(shí)、虛部的選取，利用Hz(ω)的虛部導(dǎo)出的hz(t)具有較高的精度。因此可得：

(3)

為了檢驗(yàn)經(jīng)過(guò)基于漢克爾變換的余弦變換濾波算法的計(jì)算精度和頻率域轉(zhuǎn)時(shí)間域的余弦變換的精度，利用均勻半空間的解析解進(jìn)行了計(jì)算對(duì)比。

由前人的推導(dǎo)可以得到線源時(shí)間域垂直磁場(chǎng)和垂直磁場(chǎng)隨時(shí)間變化率的解析表達(dá)式為：

(4)

圖1 hz(t)解析解與數(shù)值解對(duì)比Fig.1 The contrast between numeric solutions and analytic solutions

圖2 hz(t)與電阻率的關(guān)系Fig.2 The corresponding relationship between field and resistivity

計(jì)算時(shí)激發(fā)電流為1 A，均勻半空間電阻率為100 Ω·m，收發(fā)距為100 m。

計(jì)算結(jié)果表明：利用余弦變換從頻率域轉(zhuǎn)換到時(shí)間域具有很高的精度，濾波算法與解析算法的曲線幾乎是重合的，所得的結(jié)果也同納比吉安計(jì)算的結(jié)果相同。計(jì)算結(jié)果的相對(duì)誤差均不超過(guò)1%，晚期的響應(yīng)也比較穩(wěn)定,但是該算法的計(jì)算速度較慢。

在收發(fā)距為1 km，激發(fā)電流為10 A，選取不同的時(shí)間道，計(jì)算了hz(t)與真電阻率之間的關(guān)系(圖2)。由圖2可以看出：在不同的時(shí)間道,場(chǎng)hz(t)與真電阻率的對(duì)應(yīng)關(guān)系是嚴(yán)格單調(diào)的，呈“一對(duì)一”關(guān)系，這使得由場(chǎng)值反推得到的電阻率值是唯一的。

表1 三層地電模型參數(shù)

圖3 A型曲線Fig.3 T Type A curve

圖4 H型曲線Fig.4 T Type H curve

圖5 K型曲線Fig.5 T Type K curve

對(duì)式(3)進(jìn)行變形后有：

可得：

(5)

令：

(6)

2 模型計(jì)算

這里給出了三層典型模型的計(jì)算結(jié)果。

在幾種典型的層狀模型下，由垂直磁場(chǎng)定義的全區(qū)視電阻率在不同的收發(fā)距(分別為10 m、100 m、1 000 m)情況下模擬的結(jié)果如圖3～圖6所示(計(jì)算時(shí)的電流強(qiáng)度為1 A)。計(jì)算時(shí)的三層理論地電模型參數(shù)如表1所示。

圖6 Q型曲線Fig.6 T Type Q curve

圖7 不同收發(fā)距時(shí)的求解Fig.7 The results at different transmitter-receiver distances

圖8 含噪聲時(shí)不同收發(fā)距的結(jié)果Fig.8 The results at different transmitter-receiver distances after adding noise(a)r=1 km;ρ=100 Ω·m;(b) r=2 km;ρ=100 Ω·m;(c) r=4 km;ρ=100 Ω·m;(d) r=6 km;ρ=100 Ω·m

從圖3～圖6可以看出，利用垂直磁場(chǎng)定義的全區(qū)視電阻率效果很好，高、低阻界面反映清晰，和MT的形態(tài)比較接近，但是曲線沒(méi)有像MT那樣的假極值。曲線形態(tài)幾乎不受收發(fā)距的影響，和水平電場(chǎng)定義的視電阻率[9]相比較，晚期結(jié)果也沒(méi)有分叉，結(jié)果很穩(wěn)定?？梢钥闯?，在極近區(qū)，研究垂直磁場(chǎng)定義的視電阻率有重要意義。

3 結(jié)果分析及討論

圖9 收發(fā)距與最小起始觀測(cè)時(shí)間的關(guān)系Fig.9 The relationship between T-R distance and minimum observation time

圖10 不同收發(fā)距時(shí)hz(t)與電阻率的關(guān)系Fig.10 The corresponding relationship between hz(t) and resistivity at different transmitter-receiver distances

垂直磁場(chǎng)定義的視電阻率簡(jiǎn)單而且唯一，并且在近區(qū)結(jié)果穩(wěn)定，不存在不收斂和無(wú)解的情況，因此利用垂直磁場(chǎng)定義視電阻率是可行的,但是在收發(fā)距較大時(shí)，早期的結(jié)果也會(huì)出現(xiàn)偏差。筆者利用均勻半空間電阻率為100 Ω·m的模型計(jì)算了在較大收發(fā)距時(shí)的結(jié)果(圖7)。從圖7中可以看出，隨著收發(fā)距的增大，早期對(duì)應(yīng)的視電阻率下降很大，而晚期對(duì)應(yīng)的結(jié)果一直很穩(wěn)定，這和文獻(xiàn)[9]中水平電場(chǎng)的情況剛好相反。

為了模擬實(shí)際問(wèn)題，也加入了5%的隨機(jī)噪聲后計(jì)算的結(jié)果如圖8所示。從圖8中可以看到，收發(fā)距在1 km時(shí)，噪聲對(duì)早期的結(jié)果幾乎沒(méi)有影響，但是隨著收發(fā)距的不斷增大，早期結(jié)果與理論值出現(xiàn)很大的偏差，而且振蕩截止的時(shí)間也越來(lái)越晚。因此，收發(fā)距越大，早期數(shù)據(jù)偏差越大，受到噪聲的影響也大。

由于噪聲對(duì)垂直磁場(chǎng)的影響相對(duì)比水平電場(chǎng)的影響小，文中以偏離理論值達(dá)到2%時(shí)的相對(duì)誤差為限，與無(wú)噪聲下的理論結(jié)果對(duì)比后得到最小起始觀測(cè)時(shí)間與收發(fā)距的關(guān)系，由圖9可以看出：在一定收發(fā)距下，如果時(shí)間小于該收發(fā)距下所對(duì)應(yīng)的時(shí)間，則計(jì)算的結(jié)果會(huì)不穩(wěn)定，超過(guò)了所允許的誤差而不能被接受，這在實(shí)際應(yīng)用中具有參考、指導(dǎo)意義。如果在較大收發(fā)距情況下，對(duì)于線源來(lái)說(shuō)沒(méi)有意義。

為了說(shuō)明上述出現(xiàn)的現(xiàn)象，即垂直磁場(chǎng)定義的全區(qū)視電阻率在早期收發(fā)距大的情況下，結(jié)果不是很理想。因此選定早期時(shí)間為0.001 s，模型為均勻半空間模型，電阻率為100 Ω·m，計(jì)算不同收發(fā)距情況下的結(jié)果如圖10所示。從圖10中可以看出，收發(fā)距為100 m的時(shí)候，隨著真電阻率的變化，相鄰真電阻率對(duì)應(yīng)的場(chǎng)值之間的差異比較明顯，因而計(jì)算時(shí)能夠區(qū)分出來(lái)正確的值。當(dāng)收發(fā)距為1 km的時(shí)候，隨著真電阻率的變化，相鄰真電阻率對(duì)應(yīng)的場(chǎng)值之間的差異減小，所以求解時(shí)無(wú)法區(qū)分正確的值，從而得到錯(cuò)誤的解。收發(fā)距達(dá)到10 km時(shí)，在常用的電阻率范圍內(nèi)，場(chǎng)值幾乎沒(méi)有變化。這就是收發(fā)距越大，電阻率偏差的越大的原因。

從以上討論可以看出，垂直磁場(chǎng)定義的視電阻率比較穩(wěn)定，在極近區(qū)可以加大采集的時(shí)間窗，選擇較大的最晚時(shí)間，因?yàn)橥砥诘捻憫?yīng)結(jié)果很穩(wěn)定，受噪聲影響小，所以它可以在極近區(qū)達(dá)到很大的探測(cè)深度。

任何方法都有其利弊，在求解場(chǎng)值時(shí)，我們從頻率域向時(shí)間域的轉(zhuǎn)化過(guò)程中本身經(jīng)過(guò)濾波算法就已經(jīng)存在誤差，因此最終的求解可能和真實(shí)結(jié)果稍有偏差。

4 結(jié)論

由于源的特殊性，其各個(gè)場(chǎng)分量與電阻率均有一定的關(guān)系，筆者利用垂直磁場(chǎng)分量求解并定義全區(qū)視電阻率，最后在一維層狀介質(zhì)模型下進(jìn)行模擬計(jì)算，從模擬結(jié)果來(lái)看，這種算法是可行的。研究結(jié)論如下:

1)在時(shí)頻轉(zhuǎn)換過(guò)程中，利用余弦變換從頻率域轉(zhuǎn)換到時(shí)間域，具有很高的精度，但相對(duì)計(jì)算速度較慢。

2)利用了二分搜索算法求解全區(qū)視電阻率，表明該方法計(jì)算速度極快，而且精度也較高，收斂性好。

3)通過(guò)正演模擬，對(duì)時(shí)間域線源在計(jì)算時(shí)產(chǎn)生的一些結(jié)果進(jìn)行討論：在時(shí)間域無(wú)限長(zhǎng)線源這一條件下，利用垂直磁場(chǎng)分量定義的全區(qū)視電阻率能夠準(zhǔn)確地區(qū)分高、低阻分界，從而反映出地下電阻率變化的信息。另外，從模擬結(jié)果可以看出，利用垂直磁場(chǎng)定義的全區(qū)視電阻率在收發(fā)距發(fā)生變化時(shí)，其結(jié)果會(huì)受到一定影響，如在比較有意義的極近區(qū)可以加大采集的時(shí)間窗，選擇較大的最晚時(shí)間可以取得較穩(wěn)定的結(jié)果。再者，垂直磁場(chǎng)定義的視電阻率較之以往水平電場(chǎng)定義視電阻率[9]來(lái)說(shuō)受到噪聲的影響也比較小。因此，在實(shí)際應(yīng)用中，利用垂直磁場(chǎng)的信息效果可能會(huì)更好。