一道小題壓軸題的拓展研究

廣東省中山紀(jì)念中學(xué)(528454) 馬紅芳 李勇剛

題目若凸四邊形ABCD的四邊長分別為2 cm,3 cm,4 cm,5 cm,則其面積的最大值是( ).

上述題目是筆者所在校的一次測試用題,正確的答案是B,是經(jīng)較為復(fù)雜的計算得來的.但是一個學(xué)生告訴我,他很快就得出這道題的答案.筆者很好奇,于是就問這位同學(xué)如何秒殺這道題.學(xué)生說:“直接就是四邊長相乘后開根號,答案正好選B.”筆者問他有何依據(jù)嗎? 他很誠懇的跟我說,沒有明確的依據(jù),就是直覺,他說:“面積是二次的,四條邊的相乘然后開方剛好也是二次,而且這個方法對于矩形也成立.”他的話引起筆者的思考,他的這個方法對于這個題目是巧合還是合理呢? 若是合理的,這種方法對于一般的凸四邊形適用嗎? 于是筆者決定和學(xué)生一起探索這個問題所對應(yīng)的一般問題.

問題的一般化若凸四邊形ABCD的四邊長分別為AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,求其面積的最大值.

解析設(shè)∠A=θ,∠C=φ,在?ABD中,由余弦定理,BD2=a2+d2?2adcosθ; 在?BCD中,由余弦定理,BD2=c2+b2?2bccosφ; 故有a2+d2?2adcosθ=c2+b2?2bccosφ,從而

四邊形ABCD的面積即

①2+②2得

化簡整理得

故當(dāng)cos(θ+φ)=?1 即θ+φ=π時,S的值最大,也就是當(dāng)A,B,C,D四點共圓時,四邊形ABCD的面積最大,記最大面積為Smax,則

由此我們可以得到如下結(jié)論:

結(jié)論若凸四邊形的四邊長分別為a,b,c,d,當(dāng)凸四邊形的四個頂點共圓時,四邊形的面積最大,最大面積為其中p為四邊形周長的一半.

若四邊形ABCD的四邊長a,b,c,d按從小到大排列成等差數(shù)列時,不妨設(shè)a≤b≤c≤d,則有a+d=從而有于是可以得到如下推論:

推論1若四邊形的四邊長a,b,c,d按從小到大排列成等差數(shù)列,則四邊形的四個頂點共圓時,它的面積最大,面積最大值為

本文開始的問題中,四邊形的四邊長從小到大排列剛好構(gòu)成等差數(shù)列,故面積的最大值恰好為四邊長相乘后開根號,故對這道題目,這種算法是合理的.

由上面推論1 推導(dǎo)過程可知,只要四邊形的兩條邊的和等于另外兩條邊的和,推論1 的結(jié)論仍然成立.

推論2四邊形的四邊長a,b,c,d,若其中兩條邊的和等于另外兩條邊的和,則四邊形的四個頂點共圓時,它的面積最大,面積最大值為

若四邊形退化為三角形,即四邊形某條邊長退化為0 時,四邊形就退化成三角形,由于三角形一定有一個外接圓,于是我們就可以得到三角形的面積公式之海倫公式.

推論3若三角形的三邊長為a,b,c,則三角形的面積為其中p為三角形周長的一半.

作為教師,我們的作用是傳道授業(yè)解惑,然而我們每個人的知識是有限的,雖然我們積累的所教科目的知識一般來說比學(xué)生多,但是不可否認(rèn),我們教的學(xué)生很多,總有一部分學(xué)生的思維比我們更活躍,作為教師這是我們最愿意看到的.在教學(xué)的過程中我們?nèi)裟芴撔穆犎W(xué)生的想法,認(rèn)真對待他們的有一些依據(jù)的奇思妙想,也就是思維的靈感,從學(xué)生的角度講,可以鼓勵學(xué)生積極思考,把問題研究透徹,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣,培養(yǎng)學(xué)生的積極探索品質(zhì);從教師的角度講,可以真正的做到教學(xué)相長!