基于VMD-PARAFAC的軸承故障欠定盲源分離*

李志農(nóng)，楊曉飛，陳長(zhǎng)征

(1.南昌航空大學(xué) 無(wú)損檢測(cè)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南昌 330063；2.沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，沈陽(yáng) 110870)

在機(jī)械設(shè)備故障監(jiān)測(cè)中，盲源分離是一種有效的信號(hào)處理方法，在源信號(hào)和傳遞路徑未知的情況下，僅對(duì)觀(guān)測(cè)信號(hào)處理即可估計(jì)出源信號(hào)，因此，盲源分離思想在故障診斷領(lǐng)域中得到了廣泛應(yīng)用.Haile等[1]將BSS方法應(yīng)用在旋轉(zhuǎn)機(jī)翼的故障特征提取中；Elia等[2]將BSS方法與循環(huán)平穩(wěn)方法結(jié)合起來(lái)對(duì)變速箱中軸承的磨損情況進(jìn)行監(jiān)測(cè)；Araujo等[3]將BSS方法與傳遞函數(shù)結(jié)合起來(lái)對(duì)振動(dòng)系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)進(jìn)行識(shí)別；周昊等[4]提出了一種基于粒子群優(yōu)化算法的盲源分離方法，用于提取風(fēng)機(jī)主軸承故障信號(hào)特征，取得了良好的診斷效果；席劍輝等[5]提出一種基于聯(lián)合近似對(duì)角化和獨(dú)立分量分析的盲源分離方法，實(shí)現(xiàn)對(duì)軸承故障聲發(fā)射信號(hào)的分離.

但是在多數(shù)情況下，由于受到硬件成本和空間的限制，系統(tǒng)中只能安裝一個(gè)傳感器，傳感器個(gè)數(shù)小于源信號(hào)個(gè)數(shù)，即為欠定盲源分離，因此，研究單通道復(fù)合故障的分離方法更具有廣泛的現(xiàn)實(shí)意義.李志農(nóng)等[6]結(jié)合小波分析和核典型相關(guān)分析(KCCA)各自的特點(diǎn)，提出一種基于小波-KCCA非線(xiàn)性欠定盲源分離方法；Wang等[7]提出了一種基于EEMD和ICA的欠定盲源分離方法，成功地對(duì)軸承故障信號(hào)進(jìn)行分離.但是，EEMD會(huì)導(dǎo)致計(jì)算量的增加，同時(shí)也無(wú)法應(yīng)用于嘈雜的工業(yè)環(huán)境.VMD[8]的出現(xiàn)為故障特征提取提供了新的機(jī)遇，VMD可以非遞歸地將多分量信號(hào)分解為多個(gè)帶限本征模態(tài)函數(shù)，從而提高效率.同時(shí)滾動(dòng)軸承的振動(dòng)信號(hào)頻率正好受頻帶限制，帶寬受限的先驗(yàn)信息可確保在嘈雜的環(huán)境中保持高效.Tang等[9]將VMD和ICA相結(jié)合來(lái)解決軸承復(fù)合故障的欠定盲源分離問(wèn)題.首先采用VMD算法對(duì)單通道的復(fù)合信號(hào)進(jìn)行分解，得到若干BLIMFs，然后將這些BLIMFs作為輸入矩陣，采用ICA算法對(duì)故障信號(hào)進(jìn)行分離.

傳統(tǒng)方法主要采用模態(tài)分解方法(如經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解、集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解以及變分模態(tài)分解等)，對(duì)單通道的觀(guān)測(cè)信號(hào)進(jìn)行分解，得到若干子信號(hào)分量，然后將其作為新的輸入信號(hào)，采用ICA算法或其改進(jìn)算法對(duì)新的觀(guān)測(cè)信號(hào)進(jìn)行分解，從而分離出故障源信號(hào).ICA算法是基于矩陣的分解，通常需要施加一些約束條件，如正交性、獨(dú)立性和恒模特性等才能保證分解的唯一性.在實(shí)際工程中，很難滿(mǎn)足這些苛刻的條件，導(dǎo)致矩陣分解的非唯一性，以致很難保證盲源分離結(jié)果的準(zhǔn)確性.

PARAFAC是一種基于張量的分解方法，在寬松條件下可以實(shí)現(xiàn)分解的唯一性[10]，因此，本文結(jié)合VMD和PARAFAC的各自?xún)?yōu)點(diǎn)，提出一種基于VMD-PARAFAC的軸承復(fù)合故障欠定盲源分離方法.同時(shí)，將提出方法與傳統(tǒng)的基于VMD-ICA的故障盲源分離方法進(jìn)行對(duì)比分析，以此驗(yàn)證所提方法的有效性.

1 欠定盲源分離

盲源分離方法能夠在源信號(hào)以及傳輸通道參數(shù)未知的情況下，僅根據(jù)輸入信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性即可從觀(guān)測(cè)信號(hào)中恢復(fù)源信號(hào)，其計(jì)算過(guò)程可以表示為

X(t)=AS(t)+E(t)

(1)

式中：S(t)=[s1(t)，s2(t)，…，sM(t)]T為M個(gè)源信號(hào)；X(t)=[x1(t)，x2(t)，…，xN(t)]T為N個(gè)觀(guān)測(cè)信號(hào)；A為M×N維混合矩陣；E(t)為誤差.

因?yàn)樵葱盘?hào)及混合矩陣的先驗(yàn)知識(shí)未知，所以必須做出如下假設(shè)：1)源信號(hào)在統(tǒng)計(jì)上彼此獨(dú)立；2)混合矩陣A是列滿(mǎn)秩矩陣；3)源信號(hào)數(shù)M小于或等于觀(guān)測(cè)信號(hào)數(shù)N.

在實(shí)際工程中，為解決多故障的欠定盲源分離問(wèn)題，首先采用VMD算法對(duì)觀(guān)測(cè)信號(hào)分解，得到若干BLIMFs，將欠定盲源分離轉(zhuǎn)化為非欠定盲源分離，然后將BLIMFs矩陣構(gòu)造成三階張量形式作為PARAFAC模型的輸入，最后采用三線(xiàn)性交替最小二乘(trilinear alternating least squares，TALS)算法[11]對(duì)PARAFAC模型進(jìn)行擬合，得到混合矩陣的估計(jì)，進(jìn)而得到解混合矩陣和源信號(hào)估計(jì).

2 VMD-PARAFAC模型建立

2.1 VMD算法

VMD是自適應(yīng)信號(hào)分解的時(shí)頻分析方法，可以通過(guò)特殊變分模型的迭代求解將多分量信號(hào)分解為多個(gè)BLIMFs.

觀(guān)測(cè)信號(hào)X(t)可以分解為有限數(shù)量的子信號(hào)uk，每個(gè)子信號(hào)有不同的中心頻率ωk和有限帶寬.首先通過(guò)希爾伯特變換獲得uk的單邊頻譜，即

(2)

式中：δ(t)為狄利克雷函數(shù)；*為卷積運(yùn)算.

通過(guò)混頻將每種模式的頻譜轉(zhuǎn)移到基帶中，即

(3)

接下來(lái)，可以通過(guò)對(duì)式(3)中解調(diào)信號(hào)的L2范數(shù)估計(jì)每個(gè)模態(tài)的帶寬.最后，將VMD構(gòu)建為約束變分模型，即

(4)

式中，{uk}={u1，u2，…，uk}和{ωk}={ω1，ω2，…，ωk}分別為每個(gè)模態(tài)和模態(tài)對(duì)應(yīng)的中心頻率.

為了獲得上述變分模態(tài)的最優(yōu)解，引入二次懲罰因子α和拉格朗日乘數(shù)λ(t)到VMD中，使上述限制性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為非限制性問(wèn)題的求解，即

對(duì)于豎縫式魚(yú)道而言，在確定池室細(xì)部結(jié)構(gòu)時(shí)，不僅要考察水流流態(tài)與流速分布，還要關(guān)注各級(jí)魚(yú)室內(nèi)的能量耗散情況。如果魚(yú)室參數(shù)設(shè)計(jì)不合理，水流消能不夠充分，容易導(dǎo)致魚(yú)類(lèi)消耗大量的體力，不能順利上溯。法國(guó)的Larinier[5]對(duì)豎縫式魚(yú)道的消能效率進(jìn)行了深入研究，提出單位消能率的概念，并給出了各級(jí)水池內(nèi)的單位水體消能率E不得超過(guò)150～200 W/m3的建議。因此，對(duì)池室內(nèi)單位水體消能率進(jìn)行計(jì)算是必要的。

(5)

使用方向交替乘子算法[12]迭代交替更新{uk}、{ωk}、λ.

2.2 PARAFAC模型

將上述得到的分量uk構(gòu)造新的觀(guān)測(cè)信號(hào)Z(t)，把Z(t)分成不重疊的L段數(shù)據(jù)塊，每段包含Nl=K/L個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，用l=1，2，…，L表示數(shù)據(jù)塊的個(gè)數(shù)，則觀(guān)測(cè)信號(hào)可表示為

Z(l，t)=WS(l，t)+E(l，t)

(6)

式中：Z(l，t)=[z1(l，t)，z2(l，t)，…，zN(l，t)]T為新的觀(guān)測(cè)信號(hào)；W為白化矩陣.

每段觀(guān)測(cè)信號(hào)的協(xié)方差矩陣RZ可表示為

RZ(Tl)=WRS(Tl)WT

(7)

式中，RS為源時(shí)滯協(xié)方差M×M階矩陣.

假設(shè)源信號(hào)S(t)=[s1(t)，s2(t)，…，sM(t)]T之間互不相關(guān)，則RS為對(duì)角陣.將每段觀(guān)測(cè)信號(hào)的協(xié)方差矩陣RZ(Tl)疊加在一起，構(gòu)成三階張量形式，記為Rn1，n2，l，其中，n1=1，2，…，N，n2=1，2，…，N，l=1，2，…，L.W中的元素記為wn×m，構(gòu)建一個(gè)M×L維矩陣C，其表達(dá)式為

(8)

由式(7)可得

Rn1，n2，l=Wdiag(C)WT

(9)

(10)

通過(guò)TALS算法對(duì)張量Rn1，n2，l分解，得到矩陣W，進(jìn)而估計(jì)出源信號(hào).VMD-PARAFAC算法的流程圖如圖1所示.

3 仿真分析

為驗(yàn)證所提方法的有效性，構(gòu)造一組仿真信號(hào)來(lái)模擬軸承復(fù)合故障信號(hào)，故障頻率設(shè)為50和90 Hz，仿真源信號(hào)可表示為

(11)

圖1 VMD-PARAFAC算法流程圖

為了得到虛擬觀(guān)測(cè)信號(hào)，選擇一個(gè)隨機(jī)矩陣A=[0.859，0.461]，根據(jù)X(t)=AS(t)得到一組觀(guān)測(cè)信號(hào)，再對(duì)觀(guān)測(cè)信號(hào)添加20 dB的噪聲.采樣頻率設(shè)為2 000 Hz，采樣點(diǎn)數(shù)為2 000，則觀(guān)測(cè)信號(hào)的時(shí)域波形和頻譜如圖2、3所示.從圖3可以看出，觀(guān)測(cè)信號(hào)的頻譜中包含了50和90 Hz的故障特征頻率，說(shuō)明兩個(gè)仿真故障源信號(hào)完全混疊在一起，無(wú)法準(zhǔn)確判斷故障類(lèi)型.

圖2 仿真信號(hào)的波形

圖3 仿真信號(hào)的頻譜

用傳統(tǒng)的VMD-ICA方法和所提VMD-PARAFAC方法分別對(duì)觀(guān)測(cè)信號(hào)進(jìn)行處理，得到估計(jì)信號(hào)的頻譜圖如圖4、5所示.從圖4可以看出，兩個(gè)仿真故障源信號(hào)完全混疊在一起，采用VMD-ICA方法沒(méi)有達(dá)到良好的分離效果.但是，從圖5可以清楚地看到，兩個(gè)混疊的故障信號(hào)被分離出來(lái)，故障特征頻率與設(shè)定的完全相同，充分證明了所提方法的有效性.

圖4 仿真估計(jì)信號(hào)的頻譜(VMD-ICA)

4 實(shí)驗(yàn)研究

實(shí)驗(yàn)所用數(shù)據(jù)采自北京化工大學(xué)，實(shí)驗(yàn)裝置如圖6所示.主加速度傳感器安裝在軸承箱的頂部和側(cè)面，獲得2個(gè)通道的振動(dòng)信號(hào).以軸承外圈-滾動(dòng)體的復(fù)合故障為研究對(duì)象，根據(jù)文獻(xiàn)[9]給定的軸承參數(shù)和轉(zhuǎn)頻可以計(jì)算出外圈和滾動(dòng)體各自的故障頻率，分別為86.3和102.3 Hz.實(shí)驗(yàn)采樣頻率設(shè)為100 kHz，選取一組傳感器數(shù)據(jù)中的50 000個(gè)點(diǎn)作為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).圖7、8分別為觀(guān)測(cè)信號(hào)的波形和頻譜.

圖5 仿真估計(jì)信號(hào)的頻譜(VMD-PARAFAC)

圖6 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)和傳感器的位置

圖7 觀(guān)測(cè)信號(hào)的波形

圖8 觀(guān)測(cè)信號(hào)的頻譜

從圖8僅能看出外圈的故障特征頻率為86.9 Hz，滾動(dòng)體故障特征頻率被完全掩蓋，無(wú)法看出滾動(dòng)體的故障特征頻率.

采用基于VMD-ICA的盲源分離方法和VMD-PARAFAC的盲源分離方法對(duì)觀(guān)測(cè)信號(hào)進(jìn)行處理，估計(jì)信號(hào)的頻譜分別如圖9、10所示.根據(jù)圖9可以看出，外圈故障特征頻率為86.9 Hz，與理論計(jì)算的特征頻率一致.滾動(dòng)體的故障特征頻率為94.6 Hz，與理論計(jì)算的故障特征頻率相差較大，無(wú)法看出滾動(dòng)體的故障特征.根據(jù)圖10可以看出，外圈故障特征頻率為86.9 Hz，剛好對(duì)應(yīng)理論計(jì)算的特征頻率，滾動(dòng)體的故障特征頻率為100.7 Hz，與理論計(jì)算的故障特征頻率102.3 Hz有一點(diǎn)偏差，可能與軸承滑動(dòng)和安裝誤差有關(guān).但也能充分說(shuō)明所提方法能夠?qū)S承外圈-滾動(dòng)體復(fù)合故障信號(hào)進(jìn)行分離.

圖9 估計(jì)信號(hào)的頻譜(VMD-ICA)

圖10 估計(jì)信號(hào)的頻譜(VMD-PARAFAC)

5 結(jié) 論

通過(guò)上述分析可以得出以下結(jié)論：

1)基于平行因子分解唯一性的獨(dú)特優(yōu)勢(shì)，將PARAFAC與VMD結(jié)合起來(lái)，應(yīng)用到軸承外圈-滾動(dòng)體復(fù)合故障欠定盲源分離中.該方法首先采用VMD算法對(duì)觀(guān)測(cè)信號(hào)分解，得到多個(gè)BLIMFs分量，然后將這些分量矩陣構(gòu)造成張量形式，作為PARAFAC算法的輸入，最后采用TALS算法對(duì)PARAFAC模型進(jìn)行擬合，得到混合矩陣估計(jì)，從而估計(jì)出源信號(hào).

2)所提方法與傳統(tǒng)的VMD-ICA盲源分離方法進(jìn)行了對(duì)比分析，仿真和實(shí)驗(yàn)分析也證明該方法具有實(shí)用價(jià)值.