一類隨機(jī)環(huán)境中單邊二重生滅鏈的常返性

任 敏

(宿州學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,安徽 宿州 234000)

0 引 言

隨機(jī)環(huán)境中的隨機(jī)過程是隨機(jī)過程的一個(gè)重要分支，隨機(jī)環(huán)境中的隨機(jī)游動(dòng)(RWIRE)是它的特例，M.V.Kozlov首次提出了RWIRE[1]，其后F.Solomon研究了全直線上環(huán)境是獨(dú)立同分布的RWIRE[2]，隨后許多數(shù)學(xué)工作者研究了隨機(jī)環(huán)境中的隨機(jī)游動(dòng)，取得許多成果[3-8]。作為隨機(jī)環(huán)境中單邊隨機(jī)游動(dòng)的推廣——隨機(jī)環(huán)境中的二重生滅鏈及單邊二重生滅鏈卻很少有人研究。隨機(jī)環(huán)境中二重生滅鏈?zhǔn)俏锢韺W(xué)上的一個(gè)很重要的模型，具有很強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)意義。D.Szse和S.Alili較為系統(tǒng)地研究了二重隨機(jī)游動(dòng)的若干性質(zhì)[9-10]，汪榮明給出了二重生滅鏈的馬氏性[11]，鄭希民研究了獨(dú)立同分布的隨機(jī)環(huán)境中的單邊二重生滅鏈的常返性[12]。本文研究在0點(diǎn)上具有反射壁的獨(dú)立而不同分布隨機(jī)環(huán)境中的單邊二重生滅鏈的常返、正常返和零常返，給出了該生滅鏈的正常返和零常返的判別準(zhǔn)則。

1 定義與符號(hào)

模型定義取值于Z+={0,1,2,…}上的隨機(jī)過程{Xn,n≥0}為隨機(jī)環(huán)境中的單邊二重生滅鏈。若

P(X0=0,X1=1)=1

P(Xn+1=k|X0=0,X1=1,…,Xn-1=i,Xn=j)=Pij,k

且滿足

其中0<βj,αj<1(j≥1),{βj}j≥1和{αj}j≥1分別是2列獨(dú)立的隨機(jī)變量。隨機(jī)變量列e={βj,αj,j≥0}是隨機(jī)環(huán)境，其每個(gè)現(xiàn)實(shí)稱為環(huán)境。

因?yàn)?<βj,αj<1(j≥1)， 可知Xn是不可約二重馬氏鏈,要討論該二重馬氏鏈的常返性，只需要討論在某一點(diǎn)的常返性即可。不失一般性，討論0點(diǎn)的常返性。

假設(shè)所討論的隨機(jī)環(huán)境e滿足以下條件

條件2 存在非負(fù)遞增的數(shù)列{an,n≥1}和非負(fù)且期望有限的隨機(jī)變量ξ滿足

(b)P(|lnσn|>x)≤P(ξ>x),?x≥an,?n

(c){|lnσn|2,n≥0}是一致可積的

2 主要結(jié)果

定理1設(shè){Xn,n≥0}是滿足上述條件的隨機(jī)環(huán)境e中的單邊二重生滅鏈，若Elnσ存在，則有

(i)Elnσ≥0?{Xn,n≥0}常返

(ii){Xn,n≥0}非常返?Elnσ<0

(iii)Elnσ>0?{Xn,n≥0}正常返

(iv)Elnσ=0?{Xn,n≥0}零常返

(v)Elnσ≥0?{Xn,n≥0}常返

(vi)Elnσ<0?{Xn,n≥0}非常返

(vii)Elnσ>0?{Xn,n≥0}正常返

(viii)Elnσ=0?{Xn,n≥0}零常返

3 主要結(jié)果的證明

為證明定理給出下面幾個(gè)引理

引理3[8]設(shè){Xn,n≥0}是獨(dú)立隨機(jī)變量序列，若存在期望有限的隨機(jī)變量X和非負(fù)數(shù)列{an,n≥0}滿足

2)P(|Xn|>x)≤P(X>x),?n,?x≥an則有

引理4[3]設(shè)F(x)是1個(gè)分布函數(shù)，{Fn(x),n≥1}是分布函數(shù)列，f(x)和g(x)是實(shí)數(shù)集到實(shí)數(shù)集上的連續(xù)函數(shù)并且滿足

如果

則有

引理5[10]在環(huán)境e滿足上述條件時(shí)，則有

引理6設(shè)Xn是固定環(huán)境中的二重生滅鏈，則

下面證明定理1。

(2)定理1中結(jié)論(ii)是定理1中結(jié)論(i)的逆否命題，故定理1中結(jié)論(ii)成立。

下面證明定理2。

又

下面證明必要性。對(duì)于(v),若{Xn,n≥0}常返，則必有Elnσ≥0， 否則Eln<0由(vi)的充分性可知{Xn,n≥0}是非常返的，結(jié)論矛盾。同理(vi)的必要性成立，由定理1和定理2的結(jié)論(v)可知(vii)、(viii)成立。

(1)Elnσj≥0?{Xn,n≥0}常返

(2)Elnσj<0?{Xn,n≥0}非常返

(3)Elnσj>0?{Xn,n≥0}正常返

(4)Elnσj=0?{Xn,n≥0}零常返

(1)Elnσ≥0?{Xn,n≥0}常返

(2)Elnσ<0?{Xn,n≥0}非常返

(3)Elnσ>0?{Xn,n≥0}正常返

(4)Elnσ=0?{Xn,n≥0}零常返

證明僅證當(dāng)0

從而由引理6可知推論2中結(jié)論(2)的充分性成立。

下面證明必要性。對(duì)于推論2中結(jié)論(1)，若{Xn,n≥0}常返，則必有Elnσ≥0，否則Elnσ<0。由推論2中結(jié)論(2)的充分性可知Elnσ≥0是非常返的，結(jié)論矛盾。同理推論2中的結(jié)論(2)的必要性成立。結(jié)合推論2中的結(jié)論(1)和定理2知推論2中的結(jié)論(3)、(4)成立。