數(shù)形互譯，搭起“解決問題”之橋

王君

數(shù)形互譯包含兩個轉(zhuǎn)化——形到數(shù)與數(shù)到形。第一，形到數(shù)是指從紛亂的實際問題中，收集、觀察、比較、篩選有用的信息，抽象成數(shù)學(xué)問題。第二，數(shù)到形是指根據(jù)已抽象出來的數(shù)學(xué)問題，分析其中的數(shù)量關(guān)系，探索解決問題的方法求解。在教學(xué)“解決問題”時，為了厘清題中的數(shù)量關(guān)系，畫圖可以幫助學(xué)生更好地理解題意，從而降低難度。但基于“課堂效率”短視，很多老師迫切希望提高一時的效率，往往容易走入這樣的誤區(qū)：一節(jié)好課應(yīng)該是高密度的，能練習(xí)、講解更多的題，呈現(xiàn)更多的內(nèi)容。不過畫圖花費的時間較長，如果一節(jié)課動不動就讓學(xué)生畫一畫，這樣一來就練習(xí)不了幾題，講解不了幾題。這一耗時的缺點往往會掩蓋了“數(shù)形結(jié)合”教學(xué)的一切優(yōu)點。導(dǎo)致教師片面地追求速度，忽視了數(shù)形結(jié)合對學(xué)生理解其中的基本數(shù)量關(guān)系的作用，單純地讓學(xué)生陷入了機械記憶和簡單模仿的窘境。而事實卻恰恰相反，“磨刀不誤砍柴工”——“數(shù)形互譯”就像是磨刀的過程。從長遠來看，這反而是提高課堂效率的途徑之一。

1 從形到數(shù)，從數(shù)到形，數(shù)形互通

1.1 建立概念，篩選信息，提出問題

小學(xué)生思維是以形象思維為主，隨著年級的升高，進而逐步向抽象思維過渡。學(xué)生只有先從形的方面進行形象思維，通過觀察操作，進行比較分析，在感性材料基礎(chǔ)上進行抽象，才能獲得數(shù)的知識。也只有在“從形到數(shù)”這一步上花夠功夫，厚積薄發(fā)，數(shù)到形的逆轉(zhuǎn)才能讓孩子在解決問題之路上走得更扎實。在小學(xué)階段，以形思數(shù)的數(shù)形結(jié)合思想是十分普遍。低段教材主要側(cè)重對數(shù)的意義的理解和數(shù)的乘、除、加、減的四則計算等，教材上都配有相應(yīng)的實物圖形。其編寫意圖就是滲透數(shù)形結(jié)合思想，利用形象直觀的“形”幫助學(xué)生理解抽象的“數(shù)”。所以，在低年級的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合是常用的手段之一，因為它能有效地為毫無數(shù)學(xué)概念的孩子建立數(shù)感。

1.1.1 以形思數(shù)，建立概念

數(shù)學(xué)概念是發(fā)展思維、培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力的基礎(chǔ)。概念是思維形式之一，也是判斷和推理的起點，所以概念教學(xué)對培養(yǎng)學(xué)生的思維能力能起重要作用。一年級上冊教科書P24、P26上如此簡單的兩幅圖（如圖1、圖2），不僅是數(shù)學(xué)加法減法的入門，同時也是加減法意義最完美的詮釋。圖1中把4只氣球放在一起，表示合并起來，用加法解決。圖2中1個氣球飛走了，表示去掉，用減法解決。對剛?cè)雽W(xué)的孩子來說，兩幅沒有文字的圖充分詮釋了加減法的意義，能引領(lǐng)孩子們輕松自主領(lǐng)悟。教師在上課前通透這兩幅圖的用意，設(shè)計充分利用這兩幅圖意義的教案，課堂中適時地進行點撥總結(jié)提煉其隱含的加減法的概念。

1.1.2 以形想數(shù)，篩選信息

解決問題時需要的相關(guān)信息是通過嚴(yán)謹(jǐn)選擇合適的信息為解決問題所用，不受無關(guān)信息的干擾。純圖片情境在低年級是必要的，但不能也不可能長期停留于此。例如數(shù)學(xué)一年級下冊教科書P20中的例題5（如圖3），題中“踢進了4個球”指的是進球數(shù)與人數(shù)無關(guān)，屬于無關(guān)信息。這是一道圖文結(jié)合的題目，是學(xué)生經(jīng)歷從純圖片信息向圖文信息的過渡。在純圖畫情境教學(xué)時，需要反復(fù)通過圖到文字意思的練習(xí)，通過概括、比較、提煉，理解題目的含義。進入到這個過渡期，仍然借助圖片為思維支架，充分展開想象，篩選信息，分析其中的數(shù)量關(guān)系。

1.1.3 以形譯數(shù)，提出問題

通過不斷的感悟積累，對以圖片形式呈現(xiàn)的解決問題的題目，學(xué)生已形成了清楚的概念認(rèn)知，并具備了一定的信息篩選能力，通過分析其中的數(shù)量關(guān)系，進而提出數(shù)學(xué)問題。在一年級上冊P108頁總復(fù)習(xí)的練習(xí)中，出現(xiàn)了如圖4的題目。面對繁多的信息，學(xué)生通過篩選找到適當(dāng)?shù)男畔⒌那闆r下，可提出加法或減法解決的相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題。學(xué)生通過觀察圖片，從圖片中的不同角度收集、觀察、比較、篩選有用的信息，由形到數(shù)，抽象成數(shù)學(xué)問題這是對一學(xué)期學(xué)習(xí)的解決問題的總結(jié)、升華，為以后數(shù)到形的轉(zhuǎn)化打下扎實的基礎(chǔ)。

小學(xué)生正處于形象思維向抽象思維過渡的階段，且低年級學(xué)生以形象思維為主，而數(shù)學(xué)又是抽象的。因此，在20以內(nèi)加減法解決問題教學(xué)中就應(yīng)從“從形到數(shù)”穩(wěn)扎穩(wěn)打，學(xué)以致用，為以后的“從數(shù)到形”儲備力量。

1.2 還原本質(zhì)，降低難度，提高能力

隨著年級的升高，解決問題的題目逐漸從純圖形--圖文并存--純文字進階。從形到數(shù)，從形象的圖中抽離出隱含的數(shù)量關(guān)系，借助直觀的形幫助抽象數(shù)學(xué)問題。從形到數(shù)正是從數(shù)到形的逆轉(zhuǎn)。只有從形到數(shù)扎實的功底，才能有從數(shù)到形的自然流暢、得心應(yīng)手。從數(shù)到形，可以幫助學(xué)生還原問題的本質(zhì)，降題之難，從而提高解決問題的能力。

1.2.1 以數(shù)還形，還原本質(zhì)

在解決問題過程中，知會問題情境是解決問題的必要條件，但是解決問題的充分條件是正確分析其中的數(shù)量關(guān)系。比如：“有一籃蘋果，吃了12個，還剩下5個。這籃蘋果有多少個？”純文字題高度抽象概括，字面意思難理解，如果采用以數(shù)還形，用畫圖的方法，還原問題的本質(zhì)，用“”表示吃了的12個蘋果，用“”表示還剩下的5個，用大括號把兩部分合在一起就表示這籃蘋果的個數(shù)。借助直觀、形象、生動的形，還原了問題的原貌，給孩子架起了思維的階梯，學(xué)生理解起來就輕松多了。

1.2.2 以數(shù)引形，降低難度

解決問題的文字表述看不懂，其中復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系理不清，這些讓一些學(xué)生心生畏懼，看見解決問題的題目如臨大敵。筆者曾在自己所任教的兩個班級里做過一組對比實驗，A組的題目配以圖片，B組的題目是純文字呈現(xiàn)的。實驗結(jié)果發(fā)現(xiàn)：A組的答題正確率明顯高于B組。B組中的學(xué)生自己動手畫圖基本上都答對了，且正確率顯著高于不畫圖的學(xué)生。由此可以看出，借助形的幫助，可以降低題目的難度，無形中提高了正確率。看來，簡單易畫的圖引導(dǎo)學(xué)生們主動地去獲取知識。

1.2.3 以數(shù)構(gòu)形，提高能力

習(xí)得一種方法，收獲一種思想，才能真正提高學(xué)生解決問題的能力。雖然一年級的書中題目都配有形象生動的插圖，但是有些學(xué)生還無法理解。筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生只要用了畫圖的方法解決問題的，大部分回答正確，大致如圖7、圖8這兩種情況，如圖7這樣通過畫圖數(shù)一數(shù)就可以準(zhǔn)確的知道一共有幾個女生，如圖8這樣的方法無形中滲透了一一對應(yīng)的思想，不僅通過畫圖知道了答案，而且從中探索出了植樹問題的規(guī)律：9個間隔，即女生人數(shù)比男生少1。以數(shù)構(gòu)形，不僅順利地解決了問題，無形中還悟出了規(guī)律結(jié)論，這是數(shù)學(xué)解決能力發(fā)展的表現(xiàn)。

從數(shù)到形，根據(jù)抽象的數(shù)學(xué)問題，借助形的直觀形象，厘清其中的數(shù)量關(guān)系，探索有效解決問題的方式，最后反思驗證自己的解題過程。這一過程不僅能幫助學(xué)生順利地解決問題，還能提高學(xué)生解決問題的能力。

1.3 拓展升華，類比歸納，巧妙靈活

在某些數(shù)學(xué)問題中，不僅僅是簡單地“以數(shù)思形”或“以數(shù)想形”，而是需要“數(shù)形互通”。不但想到由“形”的直觀變?yōu)椤皵?shù)”的嚴(yán)密，還要由“數(shù)”的嚴(yán)密聯(lián)系到“形”的直觀。從數(shù)到形再由形到數(shù)的兩步轉(zhuǎn)化，實質(zhì)就是“以形譯數(shù)”、“以數(shù)化形”的結(jié)合。

1.3.1 數(shù)形互通，拓展升華

數(shù)形互通有助于對知識進行自主地拓展升華。如圖9的這題，學(xué)生通過畫圖充分理解此題的意思，母雞用“△”表示，“○”表示小雞，得到了這樣的圖：○○○△○○○○○。通過與題中的數(shù)量相對應(yīng)地畫出了形象直觀的圖。但不能至于此，數(shù)形結(jié)合是一種方法，幫助學(xué)生理解題意，降低題目難度，但是停留于此表象而不進行總結(jié)提升，學(xué)生也得不到發(fā)展。學(xué)生根據(jù)自己畫的簡易圖，從而得出一共有3+1+5=9（只）或4+6-1=9（只）。

1.3.2 數(shù)形互通，類比歸納

并非所有解決問題的題目都能根據(jù)題意畫圖解決的，但是這樣的問題通過類比，借助數(shù)形互通，也可以幫助學(xué)生明晰題意。如圖10這題，其中信息顯示的是讀的頁數(shù)多少，求的是剩的頁數(shù)誰多誰少。翻書去觀察不夠直觀，有一學(xué)生用兩個同樣的水杯（如圖11），兩杯都裝滿水，用喝得多剩得少，喝得少剩得多來作類比解釋。雖然解釋這道題的方法很多，不見得這方法多巧妙。學(xué)生找不到直觀的圖進行說明，就類比了“喝水”的同類問題，呈現(xiàn)出了直觀的圖，又因為相同道理，歸納總結(jié)得出這樣的結(jié)論就與喝水問題的結(jié)果一樣。

1.3.3 數(shù)形互通，巧妙靈活

數(shù)形互通——數(shù)到形到數(shù)——兩次的轉(zhuǎn)化，始于“以數(shù)思形”“以形想數(shù)”，凌駕于它們之上，也是它們的結(jié)合。學(xué)生能達到巧妙靈活地應(yīng)用數(shù)形互通的方法，為今后的高年級的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下了扎實的基礎(chǔ)。從開始笨拙的模仿，到巧妙靈活的階段，是一個過程，為解決問題所需。從上不難看出：“數(shù)形互通”的過程，既是問題解決的過程，又是學(xué)生的形象思維與抽象思維協(xié)同運用、互相促進、共同發(fā)展的過程，由于抽象思維有形象思維作支撐，從而使解法變得十分簡明扼要且巧妙。

2 感悟方法，創(chuàng)造機會，尊重差異

數(shù)形結(jié)合是學(xué)生順利解決問題的一塊敲門磚，它可將一些看似復(fù)雜的問題變得簡單易懂，也常使一些難于下手的問題迎刃而解。教師是學(xué)生學(xué)習(xí)道路上的引路人，在解決問題教學(xué)中教師應(yīng)給予充分的重視。在平時教學(xué)中應(yīng)充分注意以下幾點：

2.1 多維體驗，感悟方法

“數(shù)形結(jié)合”是一種數(shù)學(xué)思想，學(xué)生在數(shù)學(xué)思想方面的感悟能力總比方法策略的模仿遜色許多。孩子的思維是在活動中發(fā)生的，并隨著學(xué)生活動的深入而得到發(fā)展。孩子們只有親自參加活動，在操作活動中不斷地感悟，才能促進孩子們觀察、試驗、猜測、驗證及推理概括的能力。而且只有通過觀察體驗、對比體驗、親自體驗等多維度的體驗方式，讓學(xué)生充分感悟“數(shù)形結(jié)合”的方法，從而提高分析問題的能力，幫助解決數(shù)學(xué)問題。

2.2 多元激勵，創(chuàng)造機會

由于數(shù)形結(jié)合的思想不是表現(xiàn)為數(shù)學(xué)活動的結(jié)果，而是表現(xiàn)在思維方式與過程中和體現(xiàn)在解決問題中手段的有效性、策略的合理性上，因而難以從學(xué)生顯性的學(xué)習(xí)行為中覺察。低年級學(xué)生不愛畫圖、怕困難的心理，是實行數(shù)形結(jié)合方法最大的阻力。教師應(yīng)發(fā)揮其導(dǎo)向作用，通過課堂公開表揚的激勵、作業(yè)評價上的激勵等多元的激勵方式，鼓勵孩子在作業(yè)本上展示并保留數(shù)形結(jié)合的思維過程，為孩子們創(chuàng)造“數(shù)形結(jié)合”的機會。

2.3 多層推進，尊重差異

在同一班級中，學(xué)生的個體差異是存在的，思維水平也各有高低。相同的數(shù)學(xué)知識、方法、思想，可是對不同的人來說，他們的感悟和接受能力都是不同的。我們尊重學(xué)生的自主發(fā)展，但是好方法也需要老師引導(dǎo)推薦，這樣學(xué)生才能走近數(shù)形結(jié)合的思想方法。在這過程中教師應(yīng)充分給予不同層次的學(xué)生們空間和時間，積極創(chuàng)造有利于不同水平的學(xué)生學(xué)習(xí)機會。特別對學(xué)困生，不能硬逼強求，應(yīng)關(guān)注他們的內(nèi)心動態(tài)，保護他們的積極性，靜待花開。

學(xué)生要真正領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合的思想方法的精髓不是一朝一夕的事情，因此，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想方法應(yīng)從低年級開始，循序漸進，堅持不懈。事半功倍，只有不吝時間在本質(zhì)上展開教學(xué)，才能更堅實地構(gòu)筑起解決問題之橋。