最小二乘法中的不確定度評估及應(yīng)用

劉茹 李昕 李均勝

摘? 要：本文分析了當(dāng)被測量的估計值由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)用最小二乘法擬合的直線或曲線上得到時，預(yù)期的估計值或表征曲線擬合參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度的評定方法，并實(shí)例演示了計算過程，最后得到預(yù)期估計值的測量不確定度。

關(guān)鍵詞：最小二乘法;不確定度評定

中圖分類號：TH-39? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A? ? 文章編號：1005-2550（2020）03-0063-03

Abstract： In this paper， the evaluation method of standard uncertainty of estimated value or characteristic curve fitting parameter is analyzed when the estimated value of measured is obtained from the experimental data by the line or curve fitting with least squares， an example is given to demonstrate the calculation process， and the uncertainty of measurement of the estimated value is obtained.

Key Words： Least squares; Evaluation of uncertainty

1? ? 引言

傳感器廣泛應(yīng)用于社會發(fā)展及人類生活的各個領(lǐng)域，如工業(yè)自動化，農(nóng)業(yè)現(xiàn)代化，環(huán)境監(jiān)測、交通運(yùn)輸?shù)龋ㄟ^傳感器將被測量的信息，按一定的規(guī)律轉(zhuǎn)換為電信號或其他所需形式的信息輸出。在計量工作中，我們需找出傳感器輸入信息與輸出信息的規(guī)律，常用最小二乘法擬合曲線，得到傳感器的參考工作曲線方程，該曲線最接近傳感器的實(shí)際工作曲線，通過參考工作曲線方程及傳感器的輸入信息，得到的輸出值是否準(zhǔn)確，直接關(guān)系到傳感器測量的準(zhǔn)確度，因此需評定參考工作曲線的不確定度。本文結(jié)合位移傳感器的校準(zhǔn)實(shí)例，評定了其估計值的測量不確定度。

2? ? 最小二乘法中的不確定度評估原理

設(shè)傳感器的輸入量 x 與輸出量 y 有線性關(guān)系y=a+bx，對其獨(dú)立測得若干對數(shù)據(jù)（x1，y1），（x2，y2），……，（xn，yn），n>2，欲得到預(yù)期估計值及其標(biāo)準(zhǔn)不確定度，要用到最小二乘法，設(shè)y=a+bx，誤差方程為：

3? ? 最小二乘法不確定度評估實(shí)例

3.1? ?數(shù)學(xué)模型

以位移傳感器為例，用最小二乘法求出擬合直線方程：

3.1? ?數(shù)學(xué)模型

3.2.1 擬合直線斜率引入的不確定度分量

3.2.2 由傳感器輸出值測量引入的不確定度分量

校準(zhǔn)用萬用表電壓測量誤差0.01%+0.0005V，服從均勻分布，則：

3.2.3 由擬合直線截距引入的不確定度分量

式中 s 為殘余標(biāo)準(zhǔn)查，計算方法為式（10）。

3.2.4 校準(zhǔn)數(shù)據(jù)分析

以型號為SA572-S69的胸部位移傳感器的校準(zhǔn)結(jié)果為例，校準(zhǔn)數(shù)據(jù)如下：

由最小二乘法得到傳感器的擬合直線方程為

L=15.197Y+0.8703 計算得殘余標(biāo)準(zhǔn)差：

則合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度：

說明測量不確定度與傳感器的輸出電壓有關(guān)，用式（14）計算得各校準(zhǔn)點(diǎn)的不確定度值見表2：

4? ? 結(jié)語

表2給出的預(yù)估值的擴(kuò)展不確定度是以最小二乘直線為基礎(chǔ)求出的，最小二乘直線是根據(jù)殘差平方和最小原則求得的，最接近于傳感器實(shí)際工作曲線，求其預(yù)估值的不確定度對于傳感器的后續(xù)使用更有參考意義。